《信号与系统》课件第1章

第1章信号与系统的基本概念1.1绪言绪言任务二常用低1.2信号的描述及其分类1.3信号的基本运算信号的基本运算1.4系统的描述及其分类1.5连续系统的时域模拟1.6线性非时变系统分析方法概述习题1

1.1绪言

信号与系统的概念，几乎所有的技术领域都涉及，从家庭设备到非常尖端的工程革新。随着科学技术的发展，信号的形式不断增多(语音、图像、数据、文字等)，对信号传输与处理的要求不断更新，系统的规模和功能日益庞大和复杂。

在社会活动或日常生活中，人们常常使用语言、文字、图像和数据等媒体来表达感觉、交流思想和发表意见。我们将这些具有某种内容的语言、文字、图像和数据等统称为消息。消息中有意义的内容称为信息，信息是消息的一种量度。

为了有效地传播和利用消息，常常需要将消息转换成便于传输和处理的信号。信号是消息的载体，一般表现为随时间变化的某种物理量。根据其物理形态的不同，信号分为电

信号、声信号、光信号等。例如，钟楼的报时钟声和轮船的汽笛声是声信号，交通路口的红绿灯是光信号，无线广播电台和电视台发射的电磁波是电信号，等等。不同形态的信号之间可以相互转换，例如，以亮度和色彩变化表示的光信号可以转换成以电压或电流表示的电信号；反之，电信号也可以转换成光信号。

在各种信号中，电信号是一种便于传输、控制和处理的信号。同时，在实际应用中，许多非电信号(如温度、压力、位移、流量等)都可以通过适当的传感器变换成电信号。因此，研究电信号具有重要意义。在本书中，若无特殊说明，“信号”一词均指电信号。

系统是指由若干相互联系、相互作用的事物组合而成的具有某种功能的整体，如通信系统、控制系统和计算机系统等。系统的主要任务是对输入信号进行传输和处理，将其转

换成需要的信号输出。

一般说来，一个实用系统都是由若干个子系统组成的，每个子系统有相对独立的一部分功能，通过所有子系统的共同作用来完成系统整体功能。以通信系统为例，其系统组成

框图如图1.11所示。发送端信号源发出的非光电信号经过变换器转变为光信号或电信号进入信道传输，接收端的反变换器将信号还原成非光电信号，最后被信宿接收。图1.11通信系统模型

“信号与系统”课程的主要内容包括信号分析和系统分析。信号分析侧重于讨论信号的描述、特性、运算和变换;系统分析则着眼于研究系统模型、系统描述以及在给定系统的条件下求取输入(激励)所产生的输出(响应)。

本章讨论有关信号与系统的定义、分类方法和基本特性;着重介绍信号的函数表示与波形表示;介绍系统的模型及系统的模拟;最后，对线性时不变系统的分析方法作一概述，以便为学习全书打下基础。

1.2信号的描述及其分类

1.2.1信号的描述人类的社会活动离不开传递消息。现代人们利用电报、电话、无线电广播与电视，以及目前迅速发展的以因特网为代表的信息网络技术等等进行通信，其目的都是要把某些消息借助一定形式的信号传送出去，给对方以信息。

那么，什么是信号(Signal)?广义地说，信号是随时间变化的某种物理量。在通信技术中，一般将语言、文字、图像或数据等统称为消息(Message)，在消息中包含有一定数量的信息(Information)。但是，消息的传送一般都不是直接的，它必须借助于一定形式的信号(光信号、声信号、电信号等)才能远距离地快速传输和进行各种处理。因而，信号是消息的表现形式，它是通信传输的客观对象，而消息则是信号的具体内容，它蕴藏在信号之中。

本课程只讨论应用广泛的电信号，它通常是随时间变化的电压或电流，在某些情况下，也可以是电荷或磁通。由于信号是随时间而变化的，在数学上可以用时间t

的函数f(

t)来表示，因此“信号”与“函数”两个名词常常通用。

信号的特性可以从两个方面描述，即时间特性和频率特性。信号可写成数学表达式，即信号是时间t

的函数，它具有一定的波形，因而表现出一定的时间特性，如出现时间的

先后、持续时间的长短、重复周期的大小及随时间变化的快慢等。另一方面，通常遇到的信号在一定条件下总可以分解为许多不同频率的正弦分量，即具有一定的频率成分，因而

表现为一定波形的频率特性，如各频率分量的相对大小、主要频率分量占有的范围等。

信号的形式之所以不同，就在于它们各自有不同的时间特性和频率特性，而信号的时间特性和频率特性有着对应的关系，不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现。

1.2.2信号的分类

信号可以从不同的角度进行分类。

1.确定信号和随机信号

按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信号两类。

确定信号(DeterminateSignal)是指可用一确定的时间函数描述的信号，对于指定的某一时刻，有一确定的函数值。如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。

随机信号(RandomSignal)则与确定信号不同，不能给出确定的时间函数表达式，只能用概率统计的方法描述，如噪音信号、干扰信号等。

实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都是随机信号。例如，通信系统中传输的信号带有不确定性，接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程中难免要受到各种干扰和噪声的影响，使信号产生失真。所以，一般的通

信信号都是随机信号。

但是，在一定条件下，随机信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定的随机信号，近似地看成确定信号，使分析简化，便于工程上的实际应用。本课程只讨论确定信号的分析，它也是研究随机信号特性的重要基础。

2.连续信号和离散信号

按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。

连续信号(ContinuousSignal)是指在所讨论的时间范围内，除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f(t

)表示，如图1.21所示。图1.21连续时间信号

离散信号(DiscreteSignal)是指仅在一些离散时刻有定义，而在其它时刻没有定义的信号，通常用f

(tk

)或f

(k)表示，如图1.22所示。图1.22离散时间信号

3.周期信号和非周期信号

按照信号的周期性划分，确定信号又可分为周期信号和非周期信号。

周期信号(PeriodicSignal)是指每隔一定时间T(称为周期)周而复始且无始无终的信号，如图1.23所示。它们的表达式可写为

f(t)=f(t+nT)n=0，

±1，

±2，…

满足此关系式的最小T

值称为信号的周期。图1.23周期信号

非周期信号(AperiodicSignal)在时间上不具有周而复始的特性，如图1.24所示。若令周期信号的周期T趋于无穷大，则周期信号变为非周期信号。图1.24非周期信号

当T→∞时，

1Ω电阻所消耗的总能量定义为

平均功率定义为

基于上述定义，若信号f(t)的总能量为有限值，即0<E<∞，此时平均功率为零，即P=0，则称此信号为能量有限信号，简称能量信号(EnergySignal)。

若信号f(t)的平均功率为有限值，即0<P<∞，此时总能量为无穷大，即E=∞，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号(PowerSignal)。若信号f(t)的平均功率为无穷大，即P=∞，总能量也为无穷大，即E=∞

，则此信号为非功非能信号。

一个信号可以是既非功率信号，又非能量信号，但不可能同时既是功率信号，又是能量信号。因为根据定义能量信号平均功率为零，而功率信号总能量为无穷大。

一般说来，周期信号都是功率信号，非周期信号则可以是能量信号，也可以是功率信号，或者既非能量信号，又非功率信号。属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在

有限时间范围内有一定的数值，而当t→∞时，数值为0，如图1.25所示。属于功率信号的非周期信号是t→∞时仍然为有限值的一类信号，如图1.26所示。图1.25非周期能量信号图1.26非周期功率信号

【例1.

21】如图1.27所示信号，判断其是否为能量信号或功率信号。

解

图1.27(a)信号在时间区间[-τ/2，

τ/2]可表示为f1

(t)=1，将其代入式(1.21)，有

所以该信号为能量信号。图1.27例1.21用图

．

1.3信号的基本运算

信号的基本运算包括信号的相加、相乘、时移、反折、尺度变换以及微分与积分。

1.3.1信号的相加与相乘

信号的相加与相乘运算是比较简单的运算。两个信号相加(或相乘)可得到一个新的信号，它在任意时刻的值等于两个信号在该时刻的值之和(或积)。信号相加与相乘运算可以

通过信号的波形或信号的表达式进行。

【例1.3－1】信号f

1(t)和f

2

(t

)的波形如图1.31(a)所示，试画出f

1(t)+f

2(t)和f

1(t)f

2(t)的波形，并写出其表达式。

解信号f

1(t)+f

2(t)和f

1(t)f

2(t)的波形分别如图1.31(b)和(c)所示。f

1(t)和f

2(t)的表达式为

它们的和为

它们的积为

1.3.2信号的时移、反折和尺度变换

1.信号的时移

将信号f

(t)的自变量t用t±t0

替换，成为f

(t±t0

)，称这种变换为信号的时移或移位。从波形上看，时移信号f(t-t0

)的波形可通过将f(t)的波形沿时间轴正方向(向右)移

动t0来确定;而f

(t±t0

)的波形可通过将f(t)的波形沿时间轴负方向(向左)移动来确定。图1.32分别给出了时移信号f(t+2)和f(t-2)的波形。图1.32信号的时移

2.信号反折(折叠)

将信号f

(t

)的自变量t

用-t替换，成为f(-t)，称这种变换为信号的反折。从波形上看，

f(-t)的波形是f(t

)的波形相对于纵轴的镜像，如图1.33所示。图1.33信号的反折

图1.34信号的尺度变换

【例1.3－2】已知信号f(t)的波形如图1.35(a)所示，试画出

f(-2t+1)的波形。

解

一般说来，在时间轴尺度保持不变的情况下，信号f(at+b)的波形可以通过对信号f(t)波形的时移、反折和压扩变换得到，如图1.35(b)、(c)、(d)所示。图1.35例1.32用图

当然，根据变换操作顺序不同，可用多种方法由f(

t)波形画出

f(at+b)的波形。此处，对信号进行时移、反折、压扩均采用的是对变量t

的代换。

1.3.3信号的微分与积分

1.信号的微分

信号f

(t)的微分运算是指f

(t)对时间t

取导数，即

信号f(t)经微分后突出显示了它的变化部分，如图1.36所示。尤其是f(t)如果有跃变，微分后会出现冲激(第2章第2.2节介绍)，跃变的幅度值就是冲激的强度值，如图1.37所示。

2.信号的积分

信号f(t)的积分运算是指在(-∞，

t)区间内的定积分，其表达式为

信号f

(-1)(t)任意时刻的值为f(t)波形在(-∞，

t)区间上与时间轴所包围的面积。图1.38给出了信号f(t)的积分运算波形。图1.38信号的积分

由波形可见，信号经积分运算后其效果与微分相反，信号的轮廓变得平缓，利用这一作用可削弱信号中混入的毛刺(噪声)的影响。

1.4系统的描述及其分类

1.4.1系统的概念什么是系统(System)?广义地说，系统是由一些“单元”按一定规则相互连接而组成的具有一定功能的整体。例如，通信系统、自动控制系统、计算机系统、电力系统等。通常把系统的操作对象称为系统的输入或激励，而把经过处理的结果称为系统的输出或响应。

例如，通信系统的功能是传送消息，它可抽象为由7个子系统依次连接而成的模型，如图1.41所示。图1.41通信系统的组成

(1)信源：即消息源，是消息传输系统的起点，产生语言、文字、图像、数据等消息的人或设备。

(2)信源变换器：把消息转换为电信号的装置。但这样的信号还不完全适合于传输，这个信号称为基带信号。

(3)发信变换器：为了使基带信号能有效地在相应的传输媒质(信道)中传输，需要通过发信变换器，将低频信号调制变换为高频信号才能通过空间传输，这个信号称为调制信号。

(4)信道：信号传输的通道。

(5)收信变换器：信号经过信道，由发信端传送到收信端，为了得到它所携带的信息，收信端必须将信号恢复成消息，然后从消息中获知信息。这个变换是发信端变换的逆过程，收信变换器将调制信号变换成基带信号。这个过程通常称为解调。

(6)信宿变换器：将基带信号变换成消息。

(7)信宿：即收信者，是消息传送的终点。

1.4.2系统的数学模型

分析一个实际系统，首先要建立该系统的数学模型，然后根据系统的初始状态和输入激励，运用数学方法求出它的解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。它以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统的特性。

例如，由电阻、电容和电感组成的串联回路，可抽象表

示为如图1.42所示的模型。若激励信号是电压源uS(t

)，图1.42RLC串联回路

需求解电容电压uC

(t)，则由基尔霍夫电压定律(KVL)可得

考虑各元件的电压电流关系为

将它们代入式(1.41)，经整理后可得

这就是该系统的数学模型，它是一个描述系统输入、输出关系的二阶常系数微分方程。对于较复杂的系统，其数学模型可能是一个高阶微分方程。我们规定，描述系统输入、输出关系的微分方程的阶数为系统的阶数。如果描述连续系统输入、输出关系的数学模型是n阶微分方程，就称该系统为n阶连续系统。

连续系统可用微分方程来描述，如式(1.4－2)，而离散系统则用差分方程来描述，如式(1.4－3)：

由于系统分析的着眼点是分析系统输入和输出的关系，而不涉及系统内部情况，因此在分析过程中，也可以用一个方框图(BlockDiagram)来表示系统。

如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图1.4－3(a)所示。如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统，如图1.4－3(b)所示。图1.4－3系统的方框图表示

图1.4－3(a)中x(t)是输入信号，

y(t)是输出信号;图(b)的方框中S{qn(t0

)}是在输入x

(t

)作用于系统的初始时刻t0系统所具有的一组初始状态，其数目等于系统的阶数n

。

1.4.3系统的分类

根据系统处理对象的不同划分，系统可分为连续时间系统与离散时间系统。从系统本身特性来划分，系统又可分为：线性与非线性、非时变与时变、因果与非因果、稳定与非稳

定等系统。本节将着重讨论线性非时变可实现系统。

1.连续时间系统和离散时间系统

输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统，简称连续系统，如模拟通信系统。输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统，如数字计算机系统。连续时间系统的数学模型是微分方程，离散时间系统的数学模型是差分方程。

2.线性系统和非线性系统

系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号(响应)，这一过程可表示为

线性系统是指具有线性特性的系统。线性包含两个概念:齐次性和叠加性。若系统输入增加k倍，输出也增加k倍，这就是齐次性，如图1.4－4(a)所示。若有几个输入同时作

用于系统，系统总的输出等于每个输入单独作用时所产生的输出之和，这就是叠加性，如图1.4－4(b)所示。同时具有齐次性和叠加性便是线性，如图1.4－4(c)所示。图1.4－4线性系统示意框图

系统线性可用式子表示如下：

一个系统的输出不仅与输入有关，还与系统的初始状态有关。设仅有激励而初始状态为零时的响应为yzs

(t)，称为零状态响应；仅有初始状态而激励为零时的响应为yzi(t)，称为零输入响应；具有初始状态和激励时的响应为y

(t)，称为全响应。那么一般线性系统必须具有：

(1)分解性：即

(2)零输入线性：当系统有多个初始状态时，零输入响应对每个初始状态呈现线性。

(3)零状态线性：当系统有多个输入时，零状态响应对每个输入呈现线性。

凡不具备上述特性的系统称为非线性系统。

【例1.4－1】试判断下列系统是否为线性系统。式中:q(0)为初始状态，

x(t)为输入激励，

y

(t)为输出响应。

解(1)首先判断分解性:系统的零输入响应和零状态响应分别为

可知系统满足分解性。

接着判断零输入线性：

当初始状态为q1(0

)时，有

(4)该系统满足分解性，但其零输入响应和零状态响应均不具有线性特性，故该系统为非线性系统。

3.非时变系统和时变系统

只要初始状态不变，系统的输出仅取决于输入，而与输入的起始作用时刻无关，这种特性称为非时变特性。

具有非时变特性的系统为非时变系统(TimeInvariantSystem);不具有非时变特性的

系统为时变系统(TimeVariantSystem)。也可以这样说，如果系统的参数都是常数，它们不随时间而变化，则称该系统为非时变(或时不变)系统，否则称为时变系统。

对于非时变系统，如果激励x

(t

)作用于系统产生的零状态响应为yzs(t)，那么，当激励延迟一段时间td

，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应波形形状不变(如图1.4－5所示)，用公式则可表示如下：图1.4－5系统的非时变特性

所以该系统为非时变系统。

上述讨论的线性系统和非线性系统、非时变系统和时变系统，是根据系统的输入(包括初始状态)和输出关系是否具有线性和非时变性定义的。另外还可以根据组成系统的元

件特性定义。由线性元件和独立电源组成的系统，称为线性系统;如果含有非线性元件，则称为非线性系统。由参数不随时间而变的元件和独立电源组成的系统，称为非时变系

统;如果含有随时间而变的元件，则称为时变系统。本课程着重讨论系统的输入和输出关系，故采用前一种定义。

必须指出，系统的线性和非时变性是两个不同的概念，线性系统可以是非时变的，也可以是时变的，非线性系统也是如此。本课程只讨论线性非时变系统。

4.因果系统和非因果系统

如果把系统激励看成是引起响应的原因，响应看成是激励作用于系统的结果，那么，我们还可以从因果关系方面来研究系统的特性。

响应不出现于激励之前的系统称为因果系统(CausalSystem)或可实现系统。例如，系统y

(t)=x(t)+x(t-3)在某时刻t0

时的响应y

(t0

)=x(t0

)+x(t0

-3)，它取决于当前的输入x

(t0

)与3个时间单位以前的输入x(t

0

-3)，响应在激励之后发生，所以是因果系统。

在因果系统中，系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。由于因果系统没有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统。所有实际的物理系统在激励没有作用之前决不会有输出响应，所以都属于因果系统。

响应能领先于激励的系统称为非因果系统(NoncausalSystem)。例如，系统y

(t)=x

(t-1)+x(t+2)在时刻t0

=0时的响应y(t0

)=x(-1)+x(2)，它不仅取决于1个单位时间以前的输入

x(-1)，还与2个时间单位以后的输入x(2)有关，即响应在前，激励在后，所以是非因果系统。非因果系统是一种非真实系统，是一种理想系统，我们在第3章中讨论的理想低通滤波器就属于这种理想系统。

5.稳定系统和非稳定系统

一个系统，如果它对任何有界的激励x(·)所产生的零状态响应yzs(·)亦为有界时，就称该系统为有界输入/有界输出(Bound-input/Bound-output)稳定系统，简称BIBO稳

定系统；否则便是非稳定系统。系统的稳定性将在第4章和第6章中讨论。

1.5连续系统的时域模拟

如前所述，把一个实际系统抽象为数学模型，便于用数学方法进行分析。另外，还可借助简单而易于实现的物理装置，对系统进行实验模拟，用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对系统响应的影响。系统模拟(SystemSimulation)不需要仿制实际系统，而只需在数学意义上的等效，使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式。

系统模拟框图是描述系统的另一种形式，它是由若干基本运算器相互连接组合起来。它可由给定的系统方程直接作出。

1.5.1基本运算器

连续系统的模拟一般只需要三种基本运算器:加法器、标量乘法器和积分器。

1.加法器

它的功能是实现若干个输入信号的相加，其框图如图1.

5－1所示。图1.5－1加法器

2.标量乘法器

它的功能是实现标量乘法运算，即把输入信号乘以标量a，其框图如图1.5－2所示。图1.5－2标量乘法器

3.积分器

它的功能是对输入信号实现积分运算，即

其框图如图1.5－3所示。图1.5－3积分器

需要一提的是，模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器，这是因为微分器会使高频噪声增大，从而使无用的噪声淹没了有用的信号，而积分器对信号起“平滑”作用，

所以实际上系统的模拟均采用积分器，而避免使用微分器。

1.5.2连续系统的模拟框图

对于连续线性非时变系统，可用线性常系数微分方程来描述，根据微分方程可作出相应的模拟框图。

一阶系统的数学模型可用如下一阶微分方程描述:

式中，

x

(t

)是输入信号，

y(t)是输出信号，它们都是时间t的函数。可将上式改写成

由式(1.5－3)知，输出信号的导数y‘(t

)可看成是两个信号的相加，一个是输入信号x(t

)，另一个是输出信号经过标量乘法器得到-a0y(t)。于是该一阶系统可以用一个标量乘法器、一个加法器和一个积分器连接组合来模拟，如图1.

5－4所示。图1.5－4一阶系统的模拟框图

二阶系统的数学模型可写成

可将上式改写成

此式把输出信号的最高阶导数放在等式左边，而把其余各项放在等式右边，这样根据一阶系统模拟框图绘制思路，可作出该二阶系统模拟框图，如图1.5－5所示。图1.5－5二阶系统的模拟框图

应用以上规则，可以推广到对n阶系统的模拟。n阶系统的数学模型可写成

将上式改写成

由此可得到n阶系统的模拟框图，如图1.5－6所示。图1.5－6n阶系统的模拟框图图1.5－7一般二阶系统的模拟框图图1.5－8例1.5－1用图

【例1.5－2】已知某连续时间系统模拟框图如图1.5－9所示，试写出该系统的微分

方程。图1.5－9例1.5－2用图

解该系统有两个积分器，故是二阶系统。

由于y(t)不是积分器的输出信号，按前面所述一般二阶系统微分方程与模拟框图的关系，把最右端积分器的输出设为中间变量q(t)，于是在图中可标出q‘(t)和q″(t)，如图

1.59所示。

左边加法器的输出为

右边加法器的输出为

根据式(1.5－8)可用式(1.5－9)和式(1.5－10)来等效的思想，便可写出该系统的微分方程为

以上介绍了连续时间系统的时域模拟方法，关于离散时间系统的时域模拟将在第5章中介绍。

1.6线性非时变系统分析方法概述

系统理论主要研究两类问题:系统分析与系统综合。系统分析是对给定的具体系统，求出它对于给定激励的响应;