《现代控制理论》课件第3章

3.1线性定常齐次状态方程的解齐次状态方程：，系统输入为零。初始时刻t0的状态有：则状态方程有唯一解：初始时刻从开始：则状态方程有解：3.1.1齐次状态方程的解3.1线性定常齐次状态方程的解（1）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法假设其解为一幂级数（2）常见解法：幂级数法将（2）式代入（1）式3.1线性定常齐次状态方程的解方程解：（3）因为而等式两边t

的同次幂的系数相等，因此有3.1线性定常齐次状态方程的解模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程的解为（4）将（4）式代入状态方程式等式两边t同次幂的系数相等，因此有3.1线性定常齐次状态方程的解而则线性定常系统齐次状态方程的解为（5）

记（6）则3.1线性定常齐次状态方程的解解：

求系统的解。

例1.已知：系统的解3.1线性定常齐次状态方程的解3.1.2状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为或几何意义是：系统从初始状态开始，随着时间的推移，由转移到

,再由移到

……的形态完全由决定。1状态转移矩阵的定义3.1线性定常齐次状态方程的解

称为状态转移矩阵（矩阵指数函数）常用表示:的解，又可以表示为：3.1线性定常齐次状态方程的解在时，，已知状态转移轨线在时的状态为：如已知，在的状态为即状态从开始，将按或转移到或，在状态空间中绘出一条运动轨线。3.1线性定常齐次状态方程的解2状态转移矩阵的性质性质一：组合性性质二：性质三：性质四：交换性性质五：3.1线性定常齐次状态方程的解则有：3几个特殊矩阵指数函数(1)若为对角矩阵3.1线性定常齐次状态方程的解则有：约旦矩阵若A

为（2）线性变化变为约旦标准型3.1线性定常齐次状态方程的解则有：(3)若A为能通过线性变化变为约旦标准型则有：(4)若3.1线性定常齐次状态方程的解3.1.3状态转移矩阵的计算(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现3.1线性定常齐次状态方程的解解：,求。

例1已知：3.1线性定常齐次状态方程的解(2)变换A为约旦标准型法：则有

n个互异的特征值设A具有满足其中3.1线性定常齐次状态方程的解解:1)特征值试计算矩阵指数函数。例1已知矩阵2)计算特征向量，求取相应的变化矩阵

则有：3.1线性定常齐次状态方程的解设A具有n个重特征值则有3.1线性定常齐次状态方程的解解:1)计算特征根及特征向量，构造变换矩阵：,试计算矩阵指数函数.例2已知矩阵2)构造变换矩阵3)计算矩阵指数函数3.1线性定常齐次状态方程的解(3)拉氏变换法：有：3.1线性定常齐次状态方程的解例3.用Laplace变换法计算矩阵指数：解：则有：3.1线性定常齐次状态方程的解例4.用Laplace变换法计算矩阵指数：解：则有：3.2线性定常非齐次状态方程的解考虑系统在控制输入作用下的运动：当初始时刻，初始状态为，其解为：当初始时刻

，初始状态为，其解为：3.2.1非齐次状态方程的解3.2线性定常非齐次状态方程的解证明：两边积分得：将左乘后求导得：3.2线性定常非齐次状态方程的解更一般的形式为：系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；

一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。3.2线性定常非齐次状态方程的解注：1系统的运动包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态

引起的，即相当于自由运动。2第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强制运动。正是

由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输

入向量，使的形态满足期望的要求。3.2线性定常非齐次状态方程的解例1线性定常系统的状态方程为解：在前例中已经求得则有：3.2线性定常非齐次状态方程的解3.2.3拉氏变换法求解将两端取拉氏变换：

用到卷积定理则

对上式取拉氏反变换，2.3线性定常系统非齐次方程的解例2线性定常系统的状态方程为解：在前例中已经求得计算零

输入响应

计算零状态响应系统解3.2线性定常非齐次状态方程的解系统状态方程的解(1)x(t)是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。

(2)解的结构显示了从x(t0)到x(t)的一种变换关系。其中：称为状态转移矩阵。3.2线性定常非齐次状态方程的解系统方程：练习：求下面线性定常系统的解。初始条件：输入条件：3.3线性定常离散系统状态方程的解3.3.1线性连续系统的时间离散化典型的线性离散系统是由采样器、保持器、离散时间控制装置和连续时间受控对象组成，如图所示：离散化问题，就是基于一定的采样方式和保持方式，由系统的连续时间状态空间描述推导出相应的离散时间状态空间描述，并对两者的系数矩阵建立对应的关系式。对连续时间线性系统的时间离散系统，随着采样方式和保持方式的不同，通常其状态空间描述也不同。一般地，采样器的采样方式常取以常数为周期的等间隔采样，且采样脉冲宽度远小于采样周期，采样周期的选择须满足香农采样定理。保持方式采用零阶保持方式。3.3线性定常离散系统状态方程的解定理3.1给定线性连续定常系统离散时间状态空间描述为对应关系3.3线性定常离散系统状态方程的解例给定线性连续定常系统如下，设采样周期T=0.1,试将其离散化。解：连续系统的状态转移矩阵为对应关系离散化状态方程：3.3线性定常离散系统状态方程的解3.3.2离散系统状态空间方程的解1迭代法------递推的数值解法思路：利用给定或上一采样时刻状态值，迭代确定下一采样时刻的状态。例

给定的线性离散系统状态方程为：其中：计算状态变量在采样时刻的值。3.3线性定常离散系统状态方程的解解：3.3线性定常离散系统状态方程的解3.3.2离散系统状态空间方程的解2Z变换法对方程求取z变换：则有取z反变换：离散系统状态转移矩阵-----3.3线性定常离散系统状态方程的解例