《信号与系统》课件第5章

第5章离散信号与系统的时域分析5.1离散时间信号及基本运算5.2离散系统的数学模型和模拟5.3离散系统的零输入响应5.4离散系统的零状态响应习题5

前面几章中，我们分析了连续时间信号和连续时间系统，学习了系统分析的一些重要方法。与连续时间信号相对应，离散时间信号与系统的分析同样也是十分重要的研究领域，特别是在电子计算机和数字化技术迅速发展的今天，离散时间系统的研究显得更加重要。

离散时间信号与系统的分析方法在许多方面与连续时间信号与系统的分析方法相似。例如，在连续系统中，描述系统的数学模型是微分方程，而在离散系统中，描述系统的数

学模型是差分方程;在连续系统中，卷积积分可用于时域求解零状态响应，在离散系统中，卷积和也起到相同的作用;

在连续系统中，常采用变换域的方法来分析，有频域、s域，而在离散系统中则对应有z域分析。因此，在学习离散时间信号与系统的时候，经常把它与连续时间信号与系统的分析方法对应起来进行理解，以及对不同之处进行区分。这样，才能更好掌握离散系统，并对连续系统的内容有更深入的认识。

本章我们着重介绍离散时间信号与系统的时域分析方法。

5.1离散时间信号及基本运算

5.1.1离散时间信号的描述1.离散时间信号的定义对于连续时间信号f(t)，除有个别间断点外，都是时间t的连续函数，其波形都是光滑曲线。实际中，还有一类信号为离散时间信号(DiscreteSignal)，它仅在一些离散时刻tk(k=0，±1，±2，…)上才有定义(定的函数值)，而在两个有定义的时刻tk和tk+1之间没有定义。

对连续时间信号f(t)进行取样后，便可得到离散时间信号。如果采用均匀的等时间间隔T进行取样，则T称为取样间隔，信号只在kT时刻有定义，故用f(kT)表示离散时间信号。f(kT)一般简写为

f(k)。这里的k是纯离散整数变量，它既可代表离散的时间，也可代表次序的整数序号，所以f(k)具有普遍意义，离散时间信号

f(k)也被称为数值序列。

2.离散时间信号的表示方法

离散信号f(k)的表示通常有三种形式：序列形式、图形形式、解析式形式。

1)序列形式

将离散信号f(k)按k的先后次序罗列一个有序的数列，在k=0的位置用下划线(_)标识。如果序列任一边有无限大的范围，则用省略号(…)表示，如

2)图形形式

和连续信号一样，离散信号也可以用图形来表示。如图5.1－1所示。

3)解析式形式

解析式就是用数学函数式的方法来表示，例如:图5.1－1离散信号的图形形式

3.离散时间信号分类

(1)双边序列：对所有的k，即-∞<k<∞，f(k)≠0。

(2)右边序列：当k>M时，f(k)=0。

(3)左边序列：当k

<M

时，f(k)=0。

(4)因果序列：当k

<0时，f(k)=0。

(5)反因果序列：当k

<0时，f(k)=0。

(6)有限序列：仅当a<k

<b时，f(k)≠0。

(7)周期序列：每N个采样点重复一次，即f(k)=f

(k±mN)(m=1，2，3，…)。

5.1.2离散信号的一些基本运算

1.序列相加

两个序列相加，是指两序列同序号的序列值逐项对应相加，其和为一个新的序列，即

2.序列相乘

两个序列相乘，是指两序列同序号的序列值逐项对应相乘，其乘积为一个新的序列，即

【例5.1－1】已知序列

3.序列折叠

将序列

f(k)相对于纵轴翻折，得到一个新的序列f(-k)，即为序列折叠。如图5.1－2所示。图5.1－2序列折叠

4.序列移位

序列移位也称为移序，是指序列沿横轴逐项依次移位。若m为正整数，则

(1)f(k+m)表示序列f(k)逐项依次左移m位。

(2)f(k-m)表示序列f(k)逐项依次右移m位。

如图5.1－3所示。图5.1－3序列移位

5.序列差分

序列差分是与连续信号中的微分对应的运算，序列f(k)的一阶前向差分Δf(k)定义为

以此类推，还可得到更高阶的前向和后向差分。

6.序列的求和(累加)

序列差分是与连续信号中的积分对应的运算，序列求和定义为

如图5.1－4所示。图5.1－4序列求和

5.1.3常见的离散信号

1.单位序列δ(k)

单位序列δ(k)定义为

单位序列δ(k)又叫做单位函数或单位样值序列，仅在k=0处取值为1，其它位置均为0，如图5.1－5(a)所示。它与连续信号的δ(t)相比，δ(t)在t=0时取值为∞。

移位n个单位的单位序列δ(k-n)为

如图5.1－5(b)所示。图5.1－5δ(t)和δ(k-n)的图形

单位序列δ(k)有以下性质:

(1)加权特性。

因此，任意离散信号f(k)可表示为一系列延时单位函数的加权和，即

(2)采样特性。

2.单位阶跃序列ε(k)

单位阶跃序列ε(k)定义为

其波形如图5.1－6(a)所示。与连续信号ε(t)相比，单位阶跃序列ε(k)在k=0处取值为1，而ε(t)在t=0时是不确定的。

移位n个单位的单位阶跃序列ε(k-n)为

如图5.1－6(b)所示。图5.1－6ε(t)和ε(k-n)的图形

单位阶跃序列ε(t)有以下特性:

(1)截取特性。

(2)ε(t)与δ(t)的关系。

(3)矩形序列。

其波形如图5.1－7所示，矩形序列可以用两个单位阶跃序列表示，即图5.1－7gN(k)的图形

3.单边实指数序列

式中，a为实数。当a的取值范围不同时，akε(k)呈现出不同的变化规律，其波形如图5.1－8所示。图5.1－8单边实指数序列的图形

4.复指数序列图5.1－9复指数序列图形

5.正弦序列

式中，A为幅值，φ为初相，其含义与模拟正弦信号相同。Ω为正弦序列的数字角频率，它与模拟角频率ω的概率不同，它反映序列值周期性重复的速率。

对于正弦序列应注意以下几点:

(1)数字角频率Ω与模拟角频率ω的关系。

由于离散信号定义的时间为kT，因此有Ω=ωT。

模拟角频率ω的单位是rad/s，而数字角频率的单位为rad。ω表示每秒变化的弧度值，Ω则表示相邻两个样值间弧度的变化量。它们的区别如图5.1－10所示。图5.1－10模拟角频率与数字角频率的区别

(2)正弦序列的周期性。

正弦序列不一定为周期序列，周期序列的定义是f(k+N)=f(k)，N为序列的周期，只能为任意整数。

6.单边斜变(斜坡)序列

如图5.1－11所示。图5.1－11单边斜变(斜坡)序列图形

5.2离散系统的数学模型和模拟

5.2.1离散系统的数学模型———差分方程

上一节我们讨论了离散信号，如果系统的输入输出信号都是离散时间信号，则称系统为离散时间系统，简称离散系统。与连续系统相似，离散系统也可以分为线性与非线性系统，以及时变时不变系统。线性时不变连续系统用微分方程描述，线性时不变离散系统用差分方程来描述。差分方程的形式与微分方程的形式类似。

若一个线性时不变因果离散系统的激励信号为x(k)，响应信号为y(k)，则描述该系统的n阶常系数线性差分方程有两种形式:

(1)前向差分方程。

简记为

式中，n≥m，各序列的序号自k以递增方式给出，这种形式称为前向差分方程，或称为左移序差分方程。

(2)后向差分方程。

简记为

式中，n≥m，各序列的序号自k以递减方式给出，这种形式称为后向差分方程，或称为右移序差分方程。

在常系数线性差分方程中，各序列的序号同时增加或减少同样的数目，该差分方程所描述系统的输入输出关系不变。因此前向差分方程和后向差分方程的相互转换是非常容易

的。对于线性时不变因果离散系统要求n≥m才满足因果规律，除此还满足线性和时不变性质，即

同时具有齐次性和可加性的则满足线性，可表示为

时不变性:

式中，m为任意整数。

【例5.2－1】某人定期在银行存款(输入)，时间间隔为T，银行根据T时间内账户余额付一定的利息并定期寄给储蓄账户余额报表(输出)。求余额和存款额的关系方程。

解设x(k)为第k个离散时刻的存款额，第k时刻的余额为y(k)，a为每周期T的利率。则y(k)由三部分组成:前一次的余额y(k-1)、此周期的利息和本次存款额，所以

显然这是一个一阶后向差分方程，它也可以写成

这个方程称为一阶前向差分方程。两种表示方式是等价的。

【例5.2－2】如图5.2－1所示梯形电阻网络，设各节点对地的电压为u(k)，k=0，1，2，3，…为各节点的序号，图中a为常数，试写出节点电压u(k)的差分方程。图5.2－1梯形电阻网络

解根据KCL，对于k-1节点，有

整理可得

对于k+1节点，则有

5.2.2离散系统的时域模拟

与连续系统的模拟类似，离散系统也可以用适当的运算单元模拟。对于线性时不变离散系统对应的差分方程，对其模拟通常用到的基本运算单元有加法器、标量乘法器和延时

器。它们在时域中的符号如图5.2－2所示。图5.2－2基本模拟单元

加法器和标量乘法器的功能和符号与连续系统相同，延时器则与积分器相对应。延时器实际上是一个存储器，它把信号存储一个取样时间，常采用延时线或移位寄存器。

接下来讨论离散系统的模拟图。

1.一阶离散系统

如果一阶离散系统的激励信号为x(k)，响应信号为y(k)，其差分方程为

将方程写成

于是，便可得到一阶离散系统的模拟图，如图5.2－3所示。图5.2－3一阶离散系统模拟图

2.二阶离散系统

对于二阶离散系统，如果其差分方程为

将方程写成

此时，二阶离散系统的模拟图如图5.2－4所示。图5.2－4二阶离散系统模拟图

如果二阶离散系统的差分方程形式为

则需要引入辅助函数q(k)，使

将式(5.2－12)写成

则利用式(5.2－13)和式(5.2－14)来等效差分方程，就可以作出该二阶离散系统的模拟图，如图5.2－5所示。图5.2－5一般二阶离散系统的模拟图

以此类推，可得到n阶离散系统的模拟图。可以看出，离散系统的模拟图与连续系统的模拟图结构是相同的，只是离散系统中用延时器代替了连续系统的记分器。

【例5.2－3】某离散系统的差分方程如下，试画出其模拟图。图5.2－6例5.2－3系统模拟图

得到离散系统模拟图的方法并不是唯一的，现在介绍另一种形式的模拟图。以二阶离散系统为例，设其差分方程为

将方程写成

于是，可得到系统模拟图，如图5.2－7所示。

这种模拟图的规律性强，便于推广用于高阶系统。图5.2－7另一种二阶离散系统的模拟图

5.3离散系统的零输入响应

离散系统的响应也分为零输入响应和零状态响应，零输入响应和零状态响应的叠加即为全响应。与连续系统的时域分析类似，求解零输入响应，即求解相应的齐次差分方程。但在初始条件的描述方面，连续系统的微分方程和离散系统的差分方程有所不同。离散系统全响应的初始条件y(n)可分解为零输入响应初始条件yzi(n)和零状态响应初始条件yzs(n)。

yzi

(n)表明了系统的初始储能情况，与输入激励无关;y

zs(n)仅由输入信号的作用而产生，与系统的初始储能状态无关。在计算差分方程的零输入响应时，必须判别已知初始条件哪些是仅由初始储能引起的，并递推出所需的零输入初始条件。

对于齐次差分方程的求解一般有两种方法。

1.迭代法

迭代法也叫递推法，以一阶差分方程为例。

若描述系统的差分方程为

已知初始条件yzi(0)，则先得到响应的齐次差分方程

以此类推，反复迭代，可以求出任意时刻的响应值。

迭代法适合用计算机来计算，方法简便，概念清楚，但也可以看出，对于复杂的问题要直接得到一个解析式则较为困难。

2.经典解法

经典解法的过程与求解齐次微分方程类似，但解的形式不同。微分方程齐次解具有est的形式，而差分方程的齐次解则有rk的形式，其中s和r分别是微分方程和差分方程的特

征根。

n阶常系数线性齐次差分方程的一般形式为

于是

式(5.3－3)即为差分方程的特征方程，它的根称为差分方程的特征根。

根据不同特征根，齐次差分方程解的形式有所不同，现在分几种情况来讨论。

①当特征根为单实根时，齐次方程的解的形式为

式中的n个待定系数Ai

可由n个零输入初始条件确定。

②当特征根为共轭复根，

必然有一对共轭复系数

那么零输入响应可写为

也可以表示为

式中，c1和c2

为实数。

【例5.3－2】求系统的零输入响应。

解先由已知差分方程写出相应的齐次方程

特征方程为

特征根

③当特征根有m重根r1

，齐次方程解的形式为

同样通过零输入响应初始条件来确定待定系数Ai。

5.4离散系统的零状态响应在连续系统的时域分析中，介绍了卷积的重要概念，在离散系统的时域分析中，单位函数响应与卷积方法也是非常重要的工具。与连续系统的时域分析一样，求取离散系统的零状态响应也常采用卷积分析法。

5.4.1离散信号的时域分解与卷积和

1.离散信号的时域分解与卷积和

任意连续信号f(t)都可以表示为冲激信号的线性组合，即

那么对于任意离散信号f(k)，由于

于是有

这样，任意离散信号f(k)可表示为单位序列δ(k)的线性组合，即

式(5.42)即为离散信号的时域分解，并定义f(k)等于其本身与单位序列的离散卷积和(简称卷和)，记为

从而得到任意两个离散信号f1(k)和f2(k)的卷积和为

可见，离散信号卷积和与连续信号的卷积积分十分相似。

2.卷积和的性质

(1)代数性质。

与连续卷积积分相同，离散卷积和的运算同样满足交换律、分配律和结合律。

交换律:

分配律:

结合律:

(2)移位性。

(3)与δ(k)的卷积和。

(4)卷积和的上下限。

①若f1(k)和f2(k)均为因果序列，即k<0时，f1(k)和f2(k)均为0，则

②一般情况下，若k<k1

时，f1(k)=0;k<k2

时，f2(k)=0，则

3.零状态响应表示为卷积和

在连续系统的时域分析中，用卷积分析法计算零状态响应，即零状态响应等于输入信号与单位冲激响应的卷积，其中单位冲激响应h(t)起着十分关键的作用。相应地，在离散时间系统中，采用卷积和计算零状态响应，即零状态响应等于输入信号与单位函数响应的卷积和，其中单位函数响应表示为h(k)，它是离散系统在单位函数δ(k)作用下产生的零状态响应，即对应零状态系统有

由时不变性质和齐次性，得

再由叠加性，得

若序列x(k)作用于零状态系统所产生的零状态响应为yzs

(k)，即

又由于

所以

则定义

式(5.4－15)表明，线性时不变离散系统的零状态响应等于输入序列x(k)与单位函数响应h(k)的卷积和。

5.4.2卷积和的计算方法

对于两个序列的卷积和计算，可以用多种方法。

1.图解法

计算卷积和也可以使用图解法，其运算过程与卷积积分的过程相似。只是求和运算代替了积分运算。设两个离散序列为f1

(k)和f2

(k)，则其卷积和计算步骤如下:

(1)换元:将f1(k)和f2(k)中的变量k更换成变量n。

(2)折叠:作出f2(n)相对于纵轴的对称折叠得到f2(-n)。

(3)位移:将折叠后的f2(-n)沿横轴平移k得f2(k-n)。

(4)相乘:f2(k-n)与f1(n)相乘得f1(n)f2(k-n)。

(5)求和:把f2(k-n)和f1(n)相乘所得的序列相加。

【例5.4－1】已知两个序列f1(k)和f2(k)如图5.4－1所示。试用图解法求离散卷积和y(k)=f1(k)*f2(k)。图5.4－1两个离散信号

解根据卷积和定义，有

先将f1(k)和f2(k)中的变量k更换成变量n，得到f1(n)和f2

(n)，如图5.4－2(a)，(b)所示。

再将f1(n)翻折得到f1(-n)，如图5.4－2(c)所示。

接下来将f1(-n)平移k得到f1(k-n)，可以看到当k<-2，序列f1(k-n)与f2(n)无相交，则y(k)=0;

当k=-2，此时序列f1(-2-n)与f2(n)有相交，如图5.4－2(d)所示，则

当k=-1，此时序列f1(-1-n)与f2(n)有相交，如图5.4－2(e)所示，则

以此类推，可得到y(k)在k=0，1，2，3，4时的值，当k>4，序列f1(k-n)与f2(n)无相交，则y(k)=0。于是y(k)=f1(k)*f2(k)={3，5，6，6，6，3，1}，如图5.4－2(f)所示。图5.4－2例5.4－1图形

2.不进位乘法

对于两个有限序列，可以利用不进位乘法较快地计算出卷积和的结果。这种方法采用与两个整数竖式乘法一样的步骤与格式进行，各个样点值要分别进行乘与加，但逢十不进位。

【例5.4－2】已知离散系统的输入序列x(k)={1，2，3，4}，单位函数响应h(k)={2，3，1}，试求其零状态响应yzs(k)=x(k)*h(k)。

解

于是，零状态响应

不进位乘法所得结果有yzs(k)有如下几个规律:

(1)序列yzs(k)的k=0的位置右边的位数等于x(k)和h(k)k=0右边的位数之和;

(2)序列yzs(k)的有效非零值位数为a，x(k)的有效非零值位数为b，h(k)的有效非

零值位数为c，则a=b+c-1;

(3)序列x(k)所有项之和与h(k)所有项之和的乘积等于序列yzs(k)所有项之和。

3.函数式计算法

对于无限长序列，或需要得到卷积和的解析式时，就必须按定义式来求卷积和。这种方法称为函数式计算法，也叫解析法。

解(1)按卷积和的定义

(2)按卷积和的定义，并利用等比数列求和

(3)按卷积和的定义，并利用等比数列求和

5.4.3利用卷积和求零状态响应

1.零状态响应的求取

在5.4.1节中，已经得知线性时不变离散系统的零状态响应yzs(k)等于输入序列x(k)与单位函数响应h(k)的卷积和，即

【例5.4－4】系统框图如图5.43所示，已知h1(k)=ε(k)，h2(k)=ε(k-1)，当输入序列x(k)=ε(k-2)时，试求其零状态响应yzs(k)。图5.4－3系统框图

可以看出，求取零状态响应时，单位函数响应h(k)有着重要的作用。

2.单位函数响应h(k)

输入信号为单位函数δ(k)时离散系统的零状态响应，称为单位函数响应，用h(k)表示。若输入信号为单位阶跃序列ε(k)，则产生的零状态响应为单位阶跃序列响应，用s(k)表示，如图5.4－4所示图5.4－4h(k)和s(k)的产生

用卷积分析法计算离散时间系统在任意信号激励下的零状态响应，首先需要求出单位函数响应。

现在介绍在时域中求解单位函数响应的方法。

(1)若n阶离散系统对应的前向差分方程形式为

激励为δ(k)时，式(5.4－17)的单位函数响应为h0(k)，则

当k>0时，由于δ(k)=0，上式为齐次方程

按计算零输入响应的方法求解齐次方程(5.4－18)，要确定n个初始条件。

当k=-n时，有

因果系统当k<0时，h0(k)=0，可得h0(0)=0。

以此类推，可得

令k=0，则

可得

于是得到k>0时的n个初始条件

根据齐次方程，即式(5.4－18)的特征根为单根或重根，写出解的形式，利用n个初始条件，计算待定系数，便可得到k>0时齐次方程的解，即h0

(k)。

(2)一般n阶离散系统对应的前向差分方程形式为

当x(k)=δ(k)，系统的单位函数响应为h(k)，即有

可根据系统的线性时不变特性，得到系统的单位函数响应h(k)。

前面得到，当n阶离散系统的激励仅为δ(k)时，单位函数响应为h0

(k)，即

由时不变性质，有

由叠加性，有

于是，得到一般n阶离散系统的单位函数响应h(k)为

对于后向差分方程，可将其转换成前向差分方程再用上述方法求解单位函数响应。

【例5.4－5】已知系统的差分方程为

试求系统的冲激响应。

解(1)先考虑系统的激励仅为δ(k)，系统的单位函数响应为h0(k)，即

所以，单位函数响应的形式为

根据式(5.4－19)，可得:

将初始条件代入h0

(k)，有

即

(2)差分方程的单位函数响应h(k)为

由以上分析可见，在时域中求解单位函数响应的方法比较麻烦，下一章介绍通过Z变换的方法可以比较方便地求解系统的单位函数响应。

3.全响应的求取

由初始状态和输入激励共同作用于离散系统时所产生的响应称为离散系统的全响应，它是零输入响应和零状态响应的叠加，即

零输入响应yzi

(k)的求解一般采用经典解法，零状态响应yzs

(k)的求解则采用卷积和。

与连续系统响应类似，差分方程的齐次解也称为系统的自然响应，或固有响应;与激励同模式的那部分响应或非齐次差分方程的特解称为强制响应，或强迫响应。如果特征根

的模小于1，其自然响应随着k的增大而逐渐衰减为零，那么自然响应也称为暂态响应;如果激励为阶跃序列，故强制响应也称为稳态响应。

下面通过举例来说明离散系统时域分析法求全响应的过程。

代入零输入初始条件

得A1

=12，A2

=-10，于是，零输入响应为

(2)求单位函数响应h(k)

由h0

(1)=0，h0

(2)=1，有

(3)求零状态响应yzs

(k)

(4)求全响应y(k)

需要注意的是，当k=0和k=1时，得到的全响应初始值y(0)=9，y(1)=13.9，与题目已知的零输入初始条yzi

(0)=2，yzi

(1)=4是不同的。如果题目已知的是全响应初始条件时，必须把零输入初始条件和零状态初始条件分开，得到零输入初始条件，再求零输入响应。

习题5

5．1试画出下列离散信号的图形。

5．2试画出下列各序列的图形。

5．3信号f(k)的波形如题5－3图所示，画出下列各序列波形。题5－3图

5．4已知序列f1(k)=kε(k)，f2(k)=(2)k-1ε(k-1)，试分别写出下列各序列的数学表示式，并绘出其图形。

5．5已知序列f

(k)如题5－5图所示，试画出

的图形。题5－5图

5．6试写出题5－6图所示各序列的数学表示