基本不等式（第1课时）教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式(第1课时）教学设计一、教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。二、教学目标与核心素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。四、教学工具：多媒体，交互式电子白板。五、教学过程（一）引言师：前面我们类比等式的性质研究了不等式的性质及其证明和应用，今天我们来学习一个具体的不等式—基本不等式。（插入中小学智慧平台）师：我门知道，乘法公式在代数式的运算中有着重要的作用，是否也存在一些不等式，在解军决不等问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面我们就来共同研究这个问题。其实在不等式里，数学家们也总结了一大堆常用的公式。今天，我们就来学习最简单，也最常出现的一个不等式，叫作基本不等式。（展示中小学智慧平台学习任务单）（二）新课探究1、引出基本不等式师：什么是基本不等式呢？大家先来看一个在小学时就学过的一条几何性质：在一组周长相等的矩形形中，正方形的面积最大。比如，一个长方形的边长为分别为5和3，正方形的边长为4，它们的周长都是16，此时它们的面积呢？S长=15，S正=16。果然正方形的面积大于长方形的面积。在更一般的情况下、这条性质应该怎样用代数式表示呢？我们可以假设长方形的两边长分别为a和b，那么它的周长就是C=2(a+b)。长方形的面积S长=ab。由于正方形的周长与长方形的周长相同，所以C正=2(a+b)。那么正方形的每条边长就是2a+b4，也就是a+b2。那么正方形面积就是S正=a+b22。我们就可以得到a+b22≥ab。把式子注意看这个不等式：a+b2≥ab，这也就是我们今天学习的重点——基本不等式，我们来看看基本不等式严格的描述吧如果a>0,b>0,那么a+b2≥ab，当且仅当a=b2、证明基本不等式虽然根据我们的几何经验，这个不等关系是肯定成立的。可我们从未从代数上严格证明过。毕竟之前我们还是小学生，现在到了高中阶段，任何结论都必须有理有据，接下来我们就要严格的证明这个不等式。证明目标：a+b2≥ab不等式的左边是整式，右边是根式，形式不相同，很不好操作，怎么办呢？对了，同学们提到两边同时平方。如果我们能证明a+b22≥ab，那原不等式就成立了，这里我们需要注意两边同时平方的话，需要保证不等号两边都是非负数。我们来看条件，a>0,b>0，所以a+b2>0，根号ab>0，可不能接下来我们用什么方法来验证这个式子呢，对，大家想到了上节课讲过的作差法（作差法：两边相减），左-右得左-右=a+b2≥0≥0成立.基本不等式就得到了证明。注意，特别注意，在基本不等式里，a+b2≥只有当a=b时，a+b2=ab当a≠b时，a+b2>这就是当且仅当a=b时，等号成立的含义。通过严谨的代数证明，我们确保了基本不等式的正确性，也就是a>0,b>0，a+b2≥ab，可直接用于其它不等式的推导过程中，在具体使用的过程中，我们往往会见到它的变形形式2(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).2(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).3、应用基本不等式例1已知x>0，求x＋1x分析：求x＋1x的最小值，就是要求一个y0（=x0＋1x），使∀x>0，都有x＋1x≥y.观察x+1x，发现x解：因为x>0，所以1x>0x＋1x≥2当且仅当x=1x在本题的解答中，我们不仅明确了∀x>0，有x＋1x≥2，而且给出了“当且仅当x=1x，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋1x（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋1x=y0成立吗？这时能说y.是x(讨论，解答)（展台展示学生解答情况，并给予讲评）例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+（1）当积xy等于定值P时，x+所以x+当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2P（2）当和x+y等于定值S时，xy≤所以xy≤当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值1三、巩固练习（运用中小学智慧平台资源习题，平台上教师习题讲解）先出示平台习题（导学案），学生练习，再展示平台解析基本不等式练习1．当时，的最大值是（

）A．-8 B．-6 C．8 D．102．若，则取最小值时的是（）A．8 B．3或 C． D．33．已知，且，则的最小值是（

）A．10 B．15 C．16 D．184．已知.当时，求的最大值；四、全课小结解题感悟基本不等式求最值的三个条件：1.一正：符合基本不等式a+b2≥ab2.二定：不等式的一边转换为定值.3.三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.五、当堂检测（导学案内容）1．已知a，b>0，则下列不等式一定成立的是()A.a+b2≤ab B.(a−b)2>1 C.a+b≥2ab2．已知a>0,b>0,且ab=A.4B.2C.22D.13．已知x>0,y>0,xy=10,求