内蒙古呼和浩特市部分学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

内蒙古呼和浩特市部分学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，是有理数的是（）A． B． C．π D．2．年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元．数1016000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A． B．C． D．5．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（）A． B． C． D．6．下列说法正确的是（）A．可能性为的事件在一次实验中一定会发生B．调查潇河的水质问题，采用抽样调查的方式C．数据2，0，，1，3的中位数是D．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是被抽取的100名学生家长7．将一次函数的图象绕它与y轴的交点顺时针旋转后所得到的直线表达式为（）A． B．C． D．8．若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为非负数解，则满足条件的所有整数m的和为（

）A．6 B．10 C．11 D．159．如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交的延长线于点E，若，则的长为（

）A． B． C． D．10．对于函数，下列说法①图象关于y轴对称；②有最小值；③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与函数的图象有三个交点时，．正确的有（）个A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：．13．甲、乙、丙三个好朋友照毕业照时准备站成一排拍照合影留念，则甲和丙相邻的概率为．14．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为．15．在中，，，D为边上一点，点F是射线上一点，与射线相交于点E，点G是的中点，若，则．16．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最大值为．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算求解：(1)计算：；(2)先化简：，再选择一个合适的a值代入求值．18．如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．(1)求证：四边形AECD为菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．19．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；．A课程成绩在这一组是：70

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．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数AB7083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．20．数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

21．如图．将函数图象向上平移b个单位后恰好与有唯一公共点B，并交于点A交x轴于点C．(1)求b的值；(2)连接，若，求不等式的解集．22．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜，B蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：CD总计A200Bx300总计240260500(2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．23．如图，在中，，以为直径的交，边于点D、F．过点D作于点E．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若半径为5，且，求的长．24．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

参考答案与解析

1．B【分析】本题考查实数的分类，重点区分有理数和无理数，有限小数和无限循环小数是有理数，也可以说分数和整数统称为有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、是无理数，本选项不符合题意；B、是分数，是有理数，本选项符合题意；C、是无理数，本选项不符合题意；D、是无理数，本选项不符合题意；故选：B．2．C【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，通过选项中的图形判断可得C选项中的图形为中心对称图形，故选：C．【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．3．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：1016000=1.016×106．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．C【分析】根据同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式进行计算，即可得到答案，此题考查了同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解题的关键．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．5．B【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由邻补角得出，结合图形代入求解即可．【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．6．B【分析】根据概率的意义，全等调查与抽样调查，中位数，逐一判断即可解答．【详解】解：A、可能性为的事件在一次实验中不一定会发生，故A不符合题意；B、调查潇河的水质问题，采用抽样调查的方式，故B符合题意；C、数据2，0，，1，3的中位数是1，故C不符合题意；D、某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是被抽取的100名学生家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了概率的意义，全等调查与抽样调查，中位数，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．7．C【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，也考查了等腰三角形的判定与性质，先求解与坐标轴的交点A，C的坐标，再确定C旋转后的对应点B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：如图，∵，当，则，当，则，∴，，∴，∴，∵直线绕点C顺时针旋转与x轴交于点B，∴，∴，∴，设旋转后的解析式为，把B点坐标代入得：，∴，∴旋转后的解析式为：．故答案为：C．8．B【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况可求出；再解分式方程得到，再根据分式方程的解为非负数得到且，由此推出满足题意的m的值可以为0，1，2，3，4，据此可得答案．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，∴，∴；去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，∵关于y的分式方程的解为非负数解，∴，∴且，∴综上所述，且，∴满足题意的m的值可以为0，1，2，3，4，∴满足条件的所有整数m的和为，故选B．【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解得情况求参数，正确解不等式组和解分式方程是解题的关键．9．D【分析】过点作的垂线交的延长线于点，根据正方形的性质求得，根据，求得，从而求得，然后根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，中，，，，，，，，，中，．故选D【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．C【分析】本题考查二次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用图象逐个判断即可求解．利用数形结合思想求解是解答的关键．【详解】解：画出函数的图象，如图：由图可知，①图象关于y轴对称，故①正确；②有最小值，∵，∴有最小值，故②正确；③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误；④当时，直线与函数的图象有三个交点；当直线与函数的图象相切时，直线与函数的图象有三个交点，联立方程组，整理，得，由得，由图象得：当时，直线与函数的图象有四个交点，故④错误，综上，正确的有2个，故选：C．11．【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负即可求解．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴∴，故答案为：．12．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可求解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解的方法是解答的关键．13．【分析】用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得．【详解】解：根据题意画出树状图如下：

一共有6种等可能结果，其中甲和丙相邻的有4种等可能结果，∴甲和丙相邻的概率为．故答案为：【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．14．##180度【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．【详解】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．∴底面周长，底面面积，侧面积，∴，∴，∴．故答案为：．15．或【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，等腰三角形三线合一的性质，以及分类讨论思想．本题无图需分类讨论，因为已知两个角的度数，所以的形状固定．分为两种情况，点F在射线上，点E在线段上，点E在射线上，点F在线段上；即可．【详解】解：如图1：在中，，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∵G是中点，∴．如图2：∵，，∴，∴，∴，∵G是中点，∴，∴∠．故答案为：或．16．28【分析】连接，由垂径定理得，再由圆周角定理得点C在以为直径的圆上（点O、A除外），以为直角作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定，，则，然后证，利用相似比求出的长，得的长，当C点与M点重合时，的面积最大，即可求解．【详解】解：连接，如图，

∵点C为弦的中点，，，∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外），以为直径作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N，当时，，则，∴当时，，解得，则，，，，，，，，，，，即，解得，，，当C点与M点重合时，面积的最大值为28，故答案为：28．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质和一次函数的与坐标轴的交点，判断出点C的运动轨迹是解答本题的关键．17．(1)(2)，当时，原式【分析】（1）先进行分母有理化，计算零指数幂，负指数幂，二次根式的化简，然后再进行加减计算即可；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，根据分式有意义的条件选择合适的值，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可．【详解】（1）；（2），，，，，当时，原式．【点睛】本题考查实数的混合运算，含特殊角三角函数值的计算，零指数幂、负整数指数幂，分式的化简求值等，综合性较强．18．(1)见详解(2)△ABC的面积为【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E为AB中点，∴，∵，∴四边形AECD是平行四边形，∵DA=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：由（1）知：，∵∠D＝120°，∴，∵E为AB中点，∴，∴△BCE是等边三角形，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．19．（1）78.75；（2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数；（3）180人．【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可；（2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程；（3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过分的比例即可．【详解】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：707171717676777878.578.579797979.5，∴A课程的中位数为，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．∴（人）答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．【点睛】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键．20．米【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案．【详解】解：过作于，设米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河宽大约为72.6米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．21．(1)4(2)【分析】（1）设平移后的函数表达式为，与联立，再根据有唯一公共点B即求解即可；（2）求得平移后的函数表达式为：，即可求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式，根据，求得A点的纵坐标，进一步求得横坐标，然后观察图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）设平移后的函数表达式为：，联立方程组得，∴，∵有唯一公共点B，∴，∴，∴（舍去），故b的值为4；（2）∵，∴平移后的函数表达式为：，令，则，解得，∴，∴，解方程，得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，代入得，，解得，∴，观察图象，不等式的解集为．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与方程的关系，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．22．(1)表格见解析，的值为200(2)w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整，并写出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的方程，然后求解即可；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到w与x之间的函数关系式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最小的调运方案．【详解】（1）作表如下所示：CD总计A200Bx300总计240260500∵两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等，∴，解得，答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200，故答案为：；；；（2）由题意可得，，∵，∴w随x的增大而增大，∵，∴，∴当时，w取得最小值，此时，此时，答：w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．23．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质证得．得出，由平行线的性质得出，则可得出答案；（2）连接，证得，然后依据相似三角形的性质得到，即可得证；（3）过点O作于点G，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，设，则．由勾股定理得出，解方程可得出答案．【详解】（1）证明：连接，如图1，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴．∴，∴，∴，又为的半径．∴是的切线；（2）证明：连接，如图2，∵是的直径，∴，∵，∴D为的中点，∵，∴，∴∴点E是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）过点O作于点G，如图3，∴，，又∵，∴四边形为矩形，∴，∵，设，，则．在中，，即，解得（不合题意，舍去），∴．【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）(﹣，)，(﹣，﹣)【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；（2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；（3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF