2023-2024学年人教A版必修第二册 7-1-2　复数的几何意义 学案

7.1.2复数的几何意义新课程标准解读核心素养1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系直观想象2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系直观想象3.通过向量的模表示复数的模数学运算我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.问题（1）你能否为复数找一个几何模型？（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？

知识点一复数与复平面内点的关系1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.提醒复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）.知识点二复数与复平面内向量的关系如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z＝a＋bi平面向量OZ.为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数.知识点三复数的模1.定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记作｜z｜或｜a＋bi｜.3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝a2＋b2（a，b知识点四共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.2.表示：复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.提醒（1）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（2）｜z｜＝｜z｜.1.复数－1＋i在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B复数－1＋i在复平面内对应的点为（－1，1），故在第二象限.故选B.2.已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量OM＝（－1，2），则点M对应的复数为（）A.1＋2i B.－1＋2iC.2－i D.2＋i解析：B因为O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量OM＝（－1，2），则点M对应的复数为－1＋2i.故选B.3.设z＝1－2i，则｜z｜＝，z＝.

解析：因为z＝1－2i，所以｜z｜＝12＋(-2）2＝5答案：51＋2i题型一复数与复平面内点的关系【例1】在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二、四象限；分别求实数m的取值范围.解复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）.（1）由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.（2）由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.1.（变设问）本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围.解：由题意，m2－2m－82.（变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值.解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝25通性通法利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.提醒复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.1.已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（）A.（1，－2） B.（1，2）C.（－2，1） D.（－1，－2）解析：Dz在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D.2.已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在直线y＝13x＋43上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在直线y＝13x＋43上，故－a＝23＋43，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），题型二复数与复平面内向量的关系【例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.解由题意得OA＝（2，3），OB＝（3，2），OC＝（－2，－3）.设OD＝（x，y），则AD＝（x－2，y－3），BC＝（－5，－5）.由题意知，AD＝BC，所以x－2=－5，y－3=－通性通法复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.1.在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则线段AB的中点所对应的复数为.

解析：由复数的几何意义可得A（1，1），B（1，3），所以线段AB的中点为M（1，2），故线段AB的中点所对应的复数为1＋2i.答案：1＋2i2.把复数1＋i在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点A，把向量OA绕点O按逆时针方向旋转90°，得到向量OB，则点B对应的复数为.

解析：复数1＋i在复平面内对应的点为（1，1），将其向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点A（2，0），所以OA＝（2，0），所以OB＝（0，2），即点B对应的复数为2i.答案：2i题型三复数的模与共轭复数【例3】已知复数z1＝3－i，z2＝－12＋3（1）求｜z1｜，｜z2｜（2）设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.解（1）｜z1｜＝｜3＋i｜＝（3）｜z2｜＝－12－3所以｜z1｜＞｜z2（2）由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组｜因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界），而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界），所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示.通性通法复数的模的计算（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.1.已知i为虚数单位，复数z＝－2i2＋i，则｜z｜＝.

解析：∵z＝－2i2＋i＝2＋i，∴z＝2－i，∴｜z｜＝22＋(-答案：52.设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，则满足｜z｜＝1的复数z共有个.

解析：法一（代数运算）由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜＝｜y｜，联立，解得z＝±22±2法二（几何意义）由｜z｜＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆.又｜x｜＝｜y｜，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点.答案：41.在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为（－3，4），位于第二象限.2.已知z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A.（－1，2） B.（－2，1）C.（1，＋∞） D.（－∞，－2）解析：B∵z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是（－2，1）.3.已知i为虚数单位，若复数z＝1－3i，则｜z｜＝（）A.2B.2 C.4D.8解析：B｜z｜＝1+3＝2.故选B.4.已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，