2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-4　平面向量数乘运算的坐标表示 学案

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示新课程标准解读核心素养1.掌握数乘向量的坐标运算数学运算2.能用坐标表示平面向量共线的条件逻辑推理已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.问题（1）若a∥b，则它们的坐标之间有什么关系？（2）λa（λ∈R）的坐标与a的坐标之间有什么关系？

知识点一平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝（x，y），则λa＝（λx，λy），即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点二平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.提醒（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔x1y1＝x2y2，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成x1x2＝提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义.知识点三中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点P的坐标为（x，y），则x＝x1＋x221.已知向量AB＝（2，4），AC＝（0，2），则12BC＝（A.（－2，－2） B.（2，2）C.（1，1） D.（－1，－1）解析：D∵AB＝（2，4），AC＝（0，2），∴BC＝AC－AB＝（－2，－2），∴12BC＝（－1，－12.已知a＝（－6，2），b＝（m，－3），且a∥b，则m＝.

解析：∵a＝（－6，2），b＝（m，－3），且a∥b，∴－6×（－3）－2m＝0，则m＝9.答案：93.已知P（2，6），Q（－4，0），则PQ的中点坐标为.

解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为（－1，3）.答案：（－1，3）题型一平面向量数乘的坐标运算【例1】已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）12a－13解（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.（3）12a－13b＝12（－1，2）－13（2，1）＝（－12，1）－（23，13通性通法平面向量坐标运算的技巧（1）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系；（2）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算；（3）在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.1.已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（）A.（－23，－12） B.（23，12）C.（7，0） D.（－7，0）解析：A∵a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.2.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N及MN的坐标.解：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），可得CA＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），CB＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），所以CM＝3CA＝3（1，8）＝（3，24），CN＝2CB＝2（6，3）＝（12，6）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则CM＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），解得x1＝0，y1＝20；CN＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），解得x2＝9，y2＝2，所以M（0，20），N（9，2），MN＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）.题型二向量平行（共线）的判定【例2】（1）下列各组向量共线的是（）A.a1＝（－2，3），b1＝（4，6）B.a2＝（2，3），b2＝（3，2）C.a3＝（1，2），b3＝（7，14）D.a4＝（－3，2），b4＝（6，4）（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？（1）解析对于A，∵a1＝（－2，3），b1＝（4，6），则（－2）×6－3×4≠0，即a1与b1不共线；对于B，∵a2＝（2，3），b2＝（3，2），则2×2－3×3≠0，即a2与b2不共线；对于C，∵a3＝（1，2），b3＝（7，14），则1×14－2×7＝0，即a3与b3共线；对于D，∵a4＝（－3，2），b4＝（6，4），则（－3）×4－2×6≠0，即a4与b4不共线.故选C.答案C（2）解AB＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），CD＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.法一∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴AB与CD共线，通过观察可知，AB和CD方向相反.法二∵CD＝－2AB，∴AB与CD共线且方向相反.通性通法向量共线的判定方法已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且AE＝13AC，BF＝13BC，求证：证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）.由题意知AC＝（2，2），BC＝（－2，3），AB＝（4，－1），∴AE＝13AC＝（23，23），BF＝13BC＝（∴AE＝（x1，y1）－（－1，0）＝（23，23BF＝（x2，y2）－（3，－1）＝（－23，1）∴（x1，y1）＝（－13，23），（x2，y2）＝（73，∴EF＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（83，－23∵4×（－23）－（－1）×83＝0，∴EF∥题型三利用向量共线的坐标表示求参数【例3】（1）已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若ma＋4b与a－2b共线，则m＝（）A.12 C.－12 D.－（2）若向量a＝（1，1），b＝（x，1），u＝a＋2b，v＝2a－b.①若u＝3v，求x；②若u∥v，求x，并判断u与v是同向还是反向.（1）解析由题意，得ma＋4b＝m（2，3）＋4（－1，2）＝（2m－4，3m＋8），a－2b＝（2，3）－2（－1，2）＝（4，－1）.由于ma＋4b与a－2b共线，∴（2m－4）×（－1）－4（3m＋8）＝0，解得m＝－2.答案D（2）解∵a＝（1，1），b＝（x，1），∴u＝（1，1）＋2（x，1）＝（1，1）＋（2x，2）＝（2x＋1，3）.v＝2（1，1）－（x，1）＝（2－x，1）.①∵u＝3v，∴（2x＋1，3）＝3（2－x，1），∴（2x＋1，3）＝（6－3x，3），∴2x＋1＝6－3x，解得x＝1.②∵u∥v，∴（2x＋1）×1－3（2－x）＝0，解得x＝1.∴u＝（3，3），v＝（1，1），u＝3v，∴u与v同向.通性通法利用向量共线的坐标表示求参数的思路（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数；（2）利用向量共线的坐标表示直接求参数.提醒当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解.1.已知非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，则实数m＝（）A.－1或12 B.1或－C.－1 D.1解析：D非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，∴－2（m2－1）－1×（m＋1）＝0，且m≠－1，∴m＝122.已知向量a＝（－1，2），b＝（x，－6），且AB＝2a＋3b，BC＝a＋2b，若A，B，C三点共线，则实数x＝.

解析：∵A，B，C三点共线，可设AB＝λBC（λ∈R），由a＝（－1，2），b＝（x，－6）得：AB＝2a＋3b＝2（－1，2）＋3（x，－6）＝（3x－2，－14），BC＝a＋2b＝（－1，2）＋2（x，－6）＝（2x－1，－10），∴（3x－2，－14）＝λ（2x－1，－10），∴3x－2＝λ（2x－1），－14＝－10λ，∴x＝3.答案：3题型四有向线段定比分点坐标公式及应用【例4】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D是边AB的中点，G是CD上的一点，且CGGD＝2，求点G的坐标解∵D是AB的中点，∴点D的坐标为（x1＋x2∵CGGD＝2，∴CG＝2GD设G点坐标为（x，y），由定比分点坐标公式可得x＝x3+2×y＝y3+2×即点G的坐标为（x1＋x2通性通法利用有向线段的定比分点坐标公式x＝x1＋λx2已知点A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为.

解析：设点P的坐标为（x，y），由条件可知AP＝－2PB，由定比分点坐标公式可知x＝2+(-2）×41+(-2答案：（6，－9）1.已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝2e1－e2，则向量a的坐标为（）A.（4，3） B.（－4，3）C.（－4，－3） D.（0，5）解析：Ba＝2e1－e2＝（－2，4）－（2，1）＝（－4，3）.2.已知A（1，－3），B（8，12），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝（A.－1B.0 C.1D.2解析：C由A（1，－3），B（8，12），C（9，λ），可得AB＝（7，72），AC＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得AB∥AC，则7（λ＋3）－8×72＝0，解得λ＝13.已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b，则2a＋3b＝（）A.（－5，－10） B.（－4，－8）C.（－3，－