2024届安徽省皖江名校联盟高三下学期二模数学试题及答案

姓名___________座位号_________________________（在此卷上答题无效）数学本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2i1．已知复数zA．1，则z的共轭复数z（B．1）iC．1D．1R2．已知集合AA．a12,3，Bxxa，AIðBA，则实数a的取值范围是（）B．a1C．a3D．a33．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（）A．若m∥，∥，则m∥C．若m∥，，则mB．若m，，则m∥D．若m∥，m，则4．已知数列a的前n项和为Snn21，等比数列n满足ba2，25，若bam，则mn110（）31013101391319A．B．C．D．22222nx5．已知x的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项16．已知函数fxax12（a0且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）a1A．21B．,1C．0,1D．27．已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足asinAcsinAsinC2sinB，若b2，则面积的最大值为（）3333A．B．C．D．46328．已知函数yfxx0满足ffxfy1，当x1时，fx1，则（）B．若f2x11，则1x0A．fx为奇函数111C．若f24，则f1024D．若f2，则f10221024二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9．已知函数fxAsinx（0，）的部分图象如图，则（）223A．A3B．函数fx的图象关于y轴对称C．函数fx在上单调递减D．函数fx在0,2有4个极值点34x22y2210．已知双曲线C：1（a0，b0）左右焦点分别为F，F，FF47。经过F的12121ab直线l与C的左右两支分别交于P，Q，且△2为等边三角形，则（）x2y2A．双曲线C的方程为1820B．△PFF的面积为8312C．以QF1为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D．以2为直径的圆与以实轴为直径的圆相切11．已知正方体ABCDABCD的棱长为1，P，Q分别为棱CD，BC上的动点，则（）1111111A．四面体PQAB的体积为定值C．四面体的体积最大值为B．四面体1D的体积为定值D．四面体的体积最大值为1316三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是________．13．已知抛物线为________，的面积为________（Oyax2的焦点F，直线l过F与抛物线交于A，B两点，若A4，则直线l的方程x1sinxx1x，当时fx的最大值与最小值的和为________．14．已知函数fx四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）已知函数fxx210x3fx．（1）求函数fx在点f1处的切线方程；（2）求fx的单调区间和极值．1615分）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：A0.46B0.65C0.84学生获胜概率获胜积分（1）求甲班至少获胜2场的概率；（2）记甲班获得积分为X，求X的分布列与数学期望．1715分）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面ACF平面BDE；»1（2）点M为DF上一点，若二面角CAME的余弦值为，求．31817分）x2y2已知点P在椭圆C：1的外部，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．42xxyy11；（1）①若点A坐标为x,y，求证：直线PA的方程为111420x0y01；②若点P的坐标为x,y，求证：直线AB的方程为042（2）若点P在圆1917分）x2y24上，求△面积的最大值．axby①（其中a，b，c，dPx,y变换在平面直角坐标系中，利用公式ydy为点Px,y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，ababc，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母cdcdA，B，…表示．（1）在平面直角坐标系中，将点P3,4绕原点O按逆时针旋转得到点P3求点P的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点Px,y绕原点O按逆时针旋转角得到点Px,y（到原x（3）向量x,y，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐yabxyabx标公式①可以表示为：与向量的乘积，设A是一，则称是二阶矩阵ycdycdyrrrr个二阶矩阵，m，n是平面上的任意两个向量，求证：Amn．数学参考答案题号答案1234567891011DCDACACCBDBDBCD2i1z2ii，故z1，故选D．1ixxa，所以a3，故选C．2AIðBA，所以AðB，又ðBRRR3D．4a2，n2时，aSS2n1，ba3，ba9，b10，故101nnn1122531012m110，m，故选A．2k2x52n256，故n8，故通项为k18kx8kCkk82kx82k（k0，1，…，88k2k82k1，解得k5．所以选k1C．x1ya的图像与直线y2a，有两个公共点，当0a1时，由图象得6102a1，故0a；当a1时，由图象得2a2，不符合条件．所以选A．2143a2c2b2ac，故B，所以B，由a2c22ac，得ac，72333面积的最大值为ac，故选C．438x1，y1，则f11；令x1，y1，则f1．令y1，得x2121，fxfx，故yfxx0为偶函数．任取x，x，12，则121则fxf2f1f2，故yfxx0在上为减函数．由已知1112．若f2f2x11，可得f2x1f1，故2x11，解得1x0，且x，2109f2110f2则f1024f2f294，故选C．1212，所以2；9fx的周期为：T2，又T126由f0，sin0，且，所以；22636由f0，所以A3，故A错误；所以fx3sin2x232因为fx2sin2x2cos2x为偶函数，B正确；x，则2x，故fx在上单调递增，C错误；4234363116因为f3，f3，f3，f3，故D正确。所以选BD。10，由双曲线定义知：PF2a，22112PFPF2a4a，故QF4a，6a，21211在△F中，由余弦定理得：16a236a2224a167，2122x2y2解得：a24，所以b2，方程为1，A错误。42413△PFF的面积为S8a283，B正确。122212112取QF1的中点M，22aa，两圆内切，故C错误。1121112取2的中点N，则22a2a，两圆外切，故D正确。122211△的面积为，Q到平面ABP的距离不是定值，故A错误；2221因为△1DQ的面积为，P到平面1的距离为，体积为，故B正确；2263233因为△QAC的最大值为，P到平面ACQ的最大距离为，2132313故四面体的体积最大值为，故C正确。323过点Q作∥，PMDG，PNCD，设CGt，PD1s，则t，s，1212t△AD1t2，PMDG1t2，sinCDGts，1t2t1st1t2st，1t21t211故四面体的体积为V1t321st1121st，其最大值为，故D正确．1t2661237.5【解析】从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；1080%8，故第80百分位数是37.5．51133x4y40，【解析】由已知得a抛物线的方程为2x4y，所以F，243直线l的方程为yx1，与x24y联立整理得x23x40，4152故x4，x1，故的面积为Sxx．1212221411【解析】4，fxsinxx1xxx1sinxxxsinx4当x时，fx0，fx递增；当x,时，fx0，fx递减；4fx，f01，f1，fxf442故最大值与最小值的和为：11．43f1151）由已知fx2x10，x所以f183f，解得f4，故fxx210x12x，f9所求切线方程为：y94x1，即y4x13x210x12x，定义域为（2）由已知函数fx5x62x212fx2x10，xx由fx，解得x2或x30随x的变化fx和fx的变化如下202,330x0,2fx＋－＋fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数fx单调递增区间为0,2和，单调递减区间为2,3当x2时，fx取得极大值f216122，当x3时，fx取得极小值f32112ln3161）记A，B，C参赛获胜事件分别记为A，B，C表示，参赛失败分别记为A，B，C，所以PA0.4，PB0.6，PC0.8，PA0.6，PB0.4，PC0.2则甲班至少获胜2场事件记为M，则MABCABCABCABCPABCPMPABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.40.60.80.40.60.20.40.40.80.60.60.80.656所以甲班至少获胜2场的概率为0.656（2）由已知X取值为0，4，5，6，9，10，11，15，4PABC0.60.40.80.192，PX0PABC0.60.40.20.048，PX6PABC0.40.40.20.032，PX5PABC0.60.60.20.072，PX9PABC0.60.60.80.288，PX10PABC0.40.40.80.128，PXPX11PABC0.40.60.20.048，PX15PABC0.40.60.80.192，所以00.04840.19250.07260.03290.288100.128110.048150.192EX0.7680.3600.1922.5921.2800.5282.8808.600171）由已知得平面ABCD平面ABEF，AFAB，所以平面ABCD因为平面ABCD，故BDAF因为ABCD是正方形，所以BDACAC，平面ACF，ACIAFA，平面ACF又平面BDE，所以平面ACF平面BDE。（2）又（1）知：AD，AF，AB两两垂直，以AD，AF，AB所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图。设，AB1，则A0,0,0，Mcos,sin,0，C0,1，E，故AM，AC0,1，AE,sin,0rrr，则m0，mAM0x,y,z111设平面的法向量为mxz011xsin1，则，ycoszsin11故，取xcosysin011r所以msin,,sinrrrx,y,z，nAE0，nAM0设平面的法向量为n222yz022xsin2，则，ycoszcos22故，取xcosysin022r所以nsin,,rr所以,n1sincos1sin1，221sincos13由已知得化简得：1sin21272sin29sin70，解得sin1或sin（舍去）2故45，即45181）①当PA斜率存在时，y0，设PA方程为：yykxx111x2y21联立整理得：12kx4kyx2y40，12与C：2211142y2412k22y240由已知得：16k21111化简得：4k2xyk2y022111因为x212124，则412k24xykx0，2111x1212即2ykx0，所以k11x，即xx2yyx22，xx12PA方程为：yy1111121xx1y故直线PA的方程为1142当PA斜率不存在时，10，直线PA的方程为x2或x2满足上式。xx1y所以直线PA的方程为11422xy2y1②由①知，设B点坐标为x,y，则直线PB的方程为2242xxyy2x4y2y021，1，由点P的坐标为x,y，则1010000420x0y故直线AB的方程为1420x40y2（2）由（1）知直线AB的方程为1，由题意知y00，x2y21联立整理得：x22x22与C：2080x168000421680320因为x20024，所以64024x2020222808016802因为Ax,y，Bx,y，则x12，121122202y20y204x20420243y2020204x43y320241x21xx所以AB201240242y2044yy20x202042y20点P到直线AB的距离为：dx240243020312000所以△面积