新教材高中数学必修第一册5 .4 .3 正切函数的性质与图象

5.4.3正切函数的性质与图象

【学习目标】1.掌握正切函数的周期性和奇偶性2能借助单位圆画出尸tan尤的图象.3.掌握

正切函数的性质.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点函数y=tan尤的图象与性质

解析式y=tmx

图象

定义域

值域

最小正周期

奇偶性奇函数

单调性在每个开区间（3+E，升（止Z）上都是增函数

对称中心（券，）（）

对称性OkGZ

TT

思考正切函数》=1211%的图象与X=fai+],有公共点吗？

答案没有.正切曲线是由被互相平行的直线x=E+全AGZ）隔开的无穷多支曲线组成的.

-思考辨析判断正误

1.正切函数的定义域和值域都是R.（X）

2.正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.（V）

JT

3.正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是I=%兀±2，%£Z.（X）

4.正切函数是增函数.（X）

题型探究探究重点素养提升

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一、正切函数的图象的画法

例1我们能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数y=tanx,

江（甘，⑥的简图吗？

解三个关键点：（一.T），（0,0）,仔1），

两条平行线：x=~yx=2,

反思感悟“三点两线法”作正切曲线的简图

⑴''三点”分别为（配一去一1）,（析，0）,（E+金1）,其中ZGZ;两线分别为直线彳=也

7171

一］和直线x=E+g,其中左ez.（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交）.

（2）作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得

一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可.

二、正切函数的单调性及其应用

例2⑴比较下列两个数的大小（用或填空）：

2兀10兀

（l）tan-tan一^一；

②tan中________tan（一^|^）.

答案①<②<

AT1_LLZ-N10713兀r八2兀37171

角牛析①tan-^-=tan—,且

又尸tanx在（0,§上单调递增,

匕ri、I2兀3兀口口2兀1OTC

rj\以tan-<tan即tan-<tan

6兀7Ctan（T2兀

②tang=tan亍tan

因为。4号苫，又丫=1211_¥在（（J,§上单调递增,

匕匕）\।兀27r6兀（13兀）

所以tan5<tan-y,则tany<tan^--J.

⑵求函数y=tan&+§的单调递增区间.

解令z=$+；,贝!|y=tanz.

由于函数》=12!12在（一冷+配，微+E）（左GZ）上是增函数，且Z=$+£是增函数，

由-3+EV%+/<B+E,%£Z,

3冗7C

解得一爹+2EVX<2+2左兀,%£Z.

所以函数y=tan&+*的单调递增区间为（一芋+2kn,彳+2防，（左eZ）.

延伸探究

求函数y=3tan（一；x+§的单调递减区间.

解y=3tan（—&+；）可化为

y=-3tan（%一

兀］兀兀

由左兀一］<那一］<左兀+1kGZ,

得2fal—^<x<2k7i+竽，止Z,

故单调递减区间为（2E—与2E+引（左金Z）.

反思感悟（1）运用正切函数单调性比较大小的方法

①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

②运用单调性比较大小关系.

（2）求函数y=tan（s+9）的单调区间的方法

y=tan（aa+9）（①>0）的单调区间的求法是把a）x+（p看成一个整体，解一i+Evs+eV'+E,

即可.当①<0时，先用诱导公式把Q化为正值再求单调区间.

跟踪训练1求函数y=tan（2x一§的单调区间.

解,.,y=tanx在（一叁+%兀，叁+"）（%£Z）上是增函数，

.兀I,—兀兀IT1__

・・——"2~rkii<2x——十E,Z,

tin兀।%兀57T.ATT

即一五十5yxqi+E,&ez.

函数y=tan（2x—舒的单调递增区间是（一金+竽，碧十用（左GZ）,无单调递减区间.

三、正切函数图象与性质的综合应用

例3设函数/（x）=tan&-亨.

（1）求函数人元）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;

（2）求不等式一1WfgW/的解集.

Y7171

解（1）由

571

得xW亍+2祈（女£Z）,

所以“X）的定义域是卜卜W卑+2E,kezj.

因为ct）=2»所以最小正周期T=~=~^=2TI.

2

由一1+kii＜2一^2+即（k£Z）,

兀5兀

得一1+2%兀＜1＜于+2kli（k£Z）.

所以函数人x）的单调递增区间是（一号+2配，竽+2E）（左GZ）,无单调递减区间.

由尹畀墨/6Z）,得x=E+多c（止Z）,

故函数於）的对称中心是（防1+1，0）,ZGZ.

得一号+EW:一字《母+%兀（%£Z）,

7T471

解得4+2falWx4行+2kn（k£Z）.

所以不等式一1W危）的解集是叫竽+2M,kezI.

反思感悟解答正切函数图象与性质问题应注意的两点

（1）对称性：正切函数图象的对称中心是停，0）（左GZ）,不存在对称轴.

（2）单调性：正切函数在每个（一与+配，胃+防，（左GZ）区间内是单调递增的，但不能说其在定

义域内是递增的.

跟踪训练2关于尤的函数八尤）=tan（无+。）有以下几种说法：

①对任意的9,於）都是非奇非偶函数；②"）的图象关于电一9,0）对称；③段）的图象关于

E—（p,0）对称；④巩x）是以兀为最小正周期的周期函数.

其中不正确的说法的序号是.

答案①

解析①若取9=far（AeZ）,则於）=tanx,此时，段）为奇函数，所以①错；观察正切函数y

=tanx的图象，可知y=tanx关于佟，0）（%GZ）对称，令_¥+夕=?得了=竽-0,分别令人=

1,2知②，③正确，④显然正确.

随堂演练基础巩固学以致用

1----------------------------------------------------------N------------

1.函数尸tan（2x+£）的最小正周期为（）

7171

A.2兀B.7iC，2D，

答案C

解析根据周期公式计算得T=黄岩，故选C.

co2

2.函数yutang—习的定义域是（）

A.卜卜丹JB.^xW一§!

答案D

JTIT3IT

解析由％—7^左兀+手左金工"导兄/航+工，％£Z.

3.函数y=tanG+^的一个对称中心是（）

A.（0,0）B.[j,0）eg,0）D.（兀，0）

答案c

解析令x+g=9，得X=]—）GZ,

所以函数尸tan（x+"）的对称中心是（竽一]，0）,AGZ.

令京=2,可得函数的一个对称中心为停，0）.

4.函数尸tan（兀-x）,尤e（一彳，号的值域为.

答案（一小，1）

解析y=tan（兀一%）=—tan%,在（一£，上为减函数，所以值域为（一小，1）.

5.比较大小：tantan

答案<

解析因为tan1^=3JTtan小IT

17TI2兀

tan~^~=tan

JC27r7T

又°<4<5时，

尸tanx在0,，内单调递增,

所以tan余tan卷，

口口13兀17兀

即tan-^―<tan

■课堂小结

1.知识清单：

（1）正切函数图象的画法；

（2）正切函数的性质.

2.方法归纳：三点两线法，整体代换，换元.

3.常见误区：最小正周期T=俞，在定义域内不单调，对称中心为（竽，0）«eZ）.

课时对点练-------注-重--双基、强-化-落-实

g基础巩固

1.函数/（x）=2tan（一尤）是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数

D.非奇非偶函数

答案A

解析7（—尤）=2tan尤=—/（X）,为奇函数.

2.y（x）=-tang+g的单调减区间是（）

A（k兀一冬防t+舒，左GZ

B.（左兀，（左+1）兀），

C.3一苧左兀+副kRZ

E+多，kGZ

答案C

解析令一彳+也<了+于<m+%兀，左£Z,

37171

解得一彳+E<尤<W+E,左ez.

所以函数/U）的单调递减区间为（防t—竽，E+事，kWZ.

3.函数段）=tan8（。>0）的图象上的相邻两支曲线截直线y=l所得的线段长为余则。的值

是（）

A.1B.2C.4D.8

答案C

解析由题意可得加）的最小正周期为张则焉甘•♦•0=4.

4.若於）=tanQ+］）,贝ij（）

A.式。）/一WU）B.加）/1）次—1）

c.#）40）次—1）D.八—1）/0）次1）

答案A

解析危）在左兀一兀+与止Z,

即左兀一,<x<E+1%£Z上是增函数，且周期为兀，

371

••Q1）=式1—兀），-^<1-71<-1<0<4，

•••旭）次T）>1）.

5.下列关于函数丫内6十称的说法正确的是（）

A.在区间（一会为上单调递增

B.最小正周期是兀

C.图象关于点件0）成中心对称

D.图象关于直线》=专成轴对称

考点正切函数周期性与对称性

题点正切函数周期性与对称性

答案B

解析令%兀一与＜%+与＜左兀+与，k《Z,解得左兀一手＜1＜左兀+专，k《Z,显然（一点，笥不满足上

乙J乙UU、Uy

述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为兀，故B正确；令x+A笫kRZ,解得

尤=冷一?MZ,任取左值不能得到尸去故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数

y=tanG+§的图象也没有对称轴，故D错误.故选B.

6.函数y=3tan（ox+］）的最小正周期是则。=.

答案±2

解析丁=合=去"=±2.

7.函数y=y/1—tanx的定义域为.

答案苫，E+号（左£Z）

8.函数y=2tan（3x+J—5的单调递增区间是.

口木＜T-4,至+同，

解析令bl—5〈3X++E+5（%£Z）,得

ku7i4兀।兀八一1、

可一+五（左eZ）.

9.设函数段）=tan作一］）.

（1）求函数五尤）的最小正周期、对称中心；

（2）作出函数八x）在一个周期内的简图.

解（l）：0=g,

最小正周期7=方=牛=3兀.

CO

3

令g—,=Z（%£Z）,得1=兀+-^_（左£2）,

.•JU）的对称中心是（兀+/-,oJ/GZ）.

（2）令方冶=0,则x=n；

令方V，贝！1x=y；

，函数y=tan。一g的图象与x轴的一个交点坐标是（兀，0）,在这个交点左、右两侧相邻的两条

渐近线方程分别是x=g,户苧，从而得到函数尸危）在一个周期（甘，笺）内的简图（如图）.

10.已知函数fix）=3tan仁一力.

⑴求加）的最小正周期和单调递减区间；

（2）试比较人兀）与要|的大小.

17LJC7L.兀/丁

由加一iq—4<E+5(A：eZ),

得4fal—与<x<4析+枭人6Z).

4人兀——华，4k7i

x4左兀一竽，4析+等（左£Z）内单调递减.

所以/)=-3tan|

故原函数的最小正周期为4兀

单调递减区间为（4左兀一与，4左兀+号）（左£Z）.

r兀

(2W)=3tan|=3tan]2,

/闺=3tan6T)=3tan(一符,5兀

—3tan药

E山八兀5兀兀

因为0<12<24<2>

且丁=1211］在（0,0上单调递增,

所以tany^<tan碧，所以刎>于（

X综合运用

11.若式〃)=tan石(“dN*),则八1)+12)+…+八2019)等于()

A.~y[3B.y[3C.0D.一2小

答案C

解析由题意可知，7=詈3,

71

3

犬1)=小，犬2)=一小，

大3)=0中1)+八2)+五3)=0,

故y(l)+y(2)H-----H/(2019)=673X0=0.

12.已知函数＞=12115在区间(一看习内是减函数，贝！]()

A.0＜(oWlB.—lWco＜0

C.①三1D.oW—1

答案B

解析：y=tan0尤在(甘，宫内是减函数，

,,7L

.•.。＜0且7=-2兀，

.•.一1忘0＜0.故选氏

13.函数产一taYx+dtanx+l,xG的值域为.

答案[—4,4]

TTTT

解析,.・一4・入・不一1Wtan冗＜1.

令tan%=/,则[—1,1],

•*»y=—5+4/+1——(/—2了+5.

1T

・•・当/=-1,即1=一W时，ymin=—4,

jr

当r=l,即尤=4时，＞max=4.

故所求函数的值域为[—4,4].

14.已知函数y(x)=Atan(0x+9)(A＞O,。＞0,|研音)的图象与无轴相交的两相邻点的坐标为

6°)和管，。)且过点(°，—3)，则於)=，危)》/的x的取值范围为.

小4(3兀、「2左兀,5兀2fal.TI\

答案3tan(jx—/]丁+逐，了+2(ZGZ)

解析由题意可得处0的周期为

rp5兀7i2TT7i匕=3

T=~6~6=S=^所以°=2，

得/U）=Atangx+p）,它的图象过点哙，0）,

所以tai（1,+,=0,即tan仔+?）=0,

7171

所以］+9=E（左GZ）,得夕=M—w，左GZ,

又侬专所以。=一/，

它的图象过点（0,-3）,

所以Atan（一幻=—3,得4=3.

所以

7137T7T

得左兀+不忘］'—］＜%兀+2，左£Z,

解得华+相"+会代z,

JloJZ

所以满足式x）24的X的取值范围是［华+瑞，竽