高中数学选择性第3章3.1.5贝叶斯公式练习

3.1.5贝叶斯公式一．选择题（共10小题）1．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.82．英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：P（B）＝P（B|A）•P（A）+P（B|）•P（）．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.13．托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率．假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（）A． B． C． D．4．医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（）A． B． C．1% D．10%5．托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（A|B）＝，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）A．0.1% B．8% C．9% D．99%6．英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.057．通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为（）A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.56258．已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（）A． B． C． D．9．袋中有硬币5枚正品，3枚次品（次品的两面都制成了国徽），从袋中任取一枚硬币，将其抛掷3次，已知每次都出现国徽，则这枚硬币是正品的概率为（）A． B． C． D．10．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）11．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为．12．对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2台加工的次品率为4%，第3台加工的次品率为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：7：8，任取一个零件，它是次品的概率为；如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为．14．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是．15．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则当接收信号为0时，发送信号为1的概率为．三．解答题（共3小题）16．有3箱同种型号的零件，第1，2，3箱里面分别装有10件、9件、8件，且一等品分别有4件、3件和4件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件．如果先取出的零件是一等品，求它是从第1箱中取出的概率．17．设有编号为①②③的三个箱子，①箱内装有n1个白球和m1个黑球，②箱内装有n2个白球和m2个黑球，③箱内装有n3个白球和m3个黑球，今任意取出一箱，再从此箱中任取一球（每一箱或每一球均设具有等可能被抽取到），结果发现为白球．试求在事件“此球为白球”（记为B）的条件下，事件“此球属于①箱”（记为A1）的条件概率P（A1|B）．18．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，．现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．

3.1.5贝叶斯公式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8【考点】贝叶斯公式；条件概率与独立事件．【答案】D【分析】设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，即可得到P（A），P（B），设E表示汽车中途停车修理，利用贝叶斯公式能求出结果．【解答】解：设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，则P（A）＝，P（B）＝，设E表示汽车中途停车修理，则P（E|A）＝0.02，P（E|B）＝0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为：P（A|E）＝＝＝0.8．故选：D．2．英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：P（B）＝P（B|A）•P（A）+P（B|）•P（）．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1【考点】贝叶斯公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【答案】C【分析】利用条件概率的概率公式求解即可．【解答】解：设用该试剂检测呈现阳性事件B，被检测者患病为事件B，未患病为事件，则P（B|A）＝0.99，P（A）＝0.01，P（B|）＝0.1，P（）＝0.99，∴随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为：P＝0.99×0.01+0.1×0.99＝0.1089．故选：C．3．托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率．假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（）A． B． C． D．【考点】贝叶斯公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】C【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为Ai，事件A的概率为P（Ai），从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P（B），再分别分析i＝0，1，2三种情况求解即可．【解答】解：设从甲中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为Ai，事件A的概率为P（Ai），从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P（B），由题意可知，①P（A0）＝＝，P（B|A0）＝＝，②P（A1）＝＝，P（B|A1）＝＝，③P（A2）＝＝，P（B|A2）＝＝，根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为P（A2|B）＝＝．故选：C．4．医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（）A． B． C．1% D．10%【考点】贝叶斯公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常为阴性与感染者为阴性的和．【解答】解：由已知得某小区感染了该病的人有，未感染的人有．该试剂将感染者判为阳性的概率为，将感染者判为阴性的概率为．将正常者判为阳性的概率为，将正常者判为阴性的概率为．则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为．所以A选项正确．故选：A．5．托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（A|B）＝，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）A．0.1% B．8% C．9% D．99%【考点】贝叶斯公式；条件概率与独立事件．【答案】C【分析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，由已知条件求出P（A），P（B|A），P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac），结合题中的信息，求出P（A|B），即可得到答案．【解答】解：记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，则P（A）＝0.1%，P（B|A）＝99%，P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）＝0.01098，所以P（A|B）＝＝，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%．故选：C．6．英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05【考点】贝叶斯公式；条件概率与独立事件．【答案】A【分析】利用条件概率的概率公式求解即可．【解答】解：设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，则P（B|A）＝0.99，P（A）＝0.02，，，故所求概率P（B）＝0.99×0.02+0.05×0.98＝0.0688．故选：A．7．通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为（）A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625【考点】贝叶斯公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】D【分析】以A表示事件“收到的字符为ABCA”，B1表示事件“传输的字符为AAAA”，B2表示事件“传输的字符为BBBB”，B3表示事件“传输的字符为CCCC”，结合贝叶斯公式，即可求解．【解答】解：以A表示事件“收到的字符为ABCA”，B1表示事件“传输的字符为AAAA”，B2表示事件“传输的字符为BBBB”，B3表示事件“传输的字符为CCCC”，由题意可得，P（B1）＝0.3，P（B2）＝0.4，P（B3）＝0.3，P（A|B1）＝0.6×0.2×0.2×0.6＝0.0144，P（A|B2）＝0.2×0.6×0.2×0.2＝0.0048，P（A|B3）＝0.2×0.2×0.6×0.2＝0.0048，根据贝叶斯公式可得，＝＝0.5625．故选：D．8．已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（）A． B． C． D．【考点】贝叶斯公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】设事件B为取出的球是红球，事件A1为该球来自甲袋，事件A2为该球来自乙袋，由全概率公式可计算出P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2），结合贝叶斯公式即可求出所求的答案．【解答】解：设事件B为取出的球是红球，事件A1为该球来自甲袋，事件A2为该球来自乙袋，则由题意知：P（A1）＝P（A1）＝，P（B|A1）＝＝，P（B|A2）＝＝，由全概率公式可得：P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）＝×+×＝，所以P（A1|B）＝＝）＝＝＝．故答案为：D．9．袋中有硬币5枚正品，3枚次品（次品的两面都制成了国徽），从袋中任取一枚硬币，将其抛掷3次，已知每次都出现国徽，则这枚硬币是正品的概率为（）A． B． C． D．【考点】贝叶斯公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】设投掷3次，每次都得到国徽为事件B，所取到的是正品为事件A，由题意得p（A）＝，p（）＝，p（B|A）＝，p（B|）＝1，利用贝叶斯公式能求出这只硬币是正品的概率．【解答】解：设投掷3次，每次都得到国徽为事件B，所取到的是正品为事件A，由题意得p（A）＝，p（）＝，p（B|A）＝，p（B|）＝1，则这只硬币是正品的概率为：p（A|B）＝＝＝＝．故选：B．10．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率是（）A． B． C． D．【考点】全概率公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【答案】C【分析】记n次传球后球在甲手中的事件为An，对应的概率为Pn，利用全概率公式列式，再借助数列递推公式求通项判断作答．【解答】解：记n次传球后球在甲手中的事件为An，对应的概率为Pn，n∈N*，P1＝0．An+1＝，则P（An+1）＝＝＝（1﹣pn）×+pn×0＝．于是得pn+1＝即pn+1﹣＝﹣，而p1﹣＝﹣，则数列{pn﹣}是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．因此pn﹣＝﹣（﹣）n﹣1，即pn＝﹣（﹣）n﹣1．所以n次传球后球在甲手中的概率是pn＝﹣（﹣）n﹣1．故选：C．二．填空题（共5小题）11．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为．【考点】贝叶斯公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件．【答案】．【分析】根据题意可得，P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）＝，结合全概率公式和贝叶斯公式求解即可．【解答】解：设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）＝．由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）＝（1+p）．由贝叶斯公式得，P（A1|A2）＝＝．故答案为：．12．对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是72%；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是25%．【考点】贝叶斯公式；概率及其性质．【答案】72%；25%．【分析】根据已知条件，结合全概率公式，以及贝叶斯公式，即可求解．【解答】解：检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2，且该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，故预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是0.5×78%+0.3×60%+0.2×75%＝72%，已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．故答案为：72%；25%．13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2台加工的次品率为4%，第3台加工的次品率为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：7：8，任取一个零件，它是次品的概率为0.0385；如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为．【考点】贝叶斯公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】0.1645；．【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式即可求得答案．【解答】解：设Ai为零件是“第i台机床加工”（i＝1，2，3），则样本空间Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，设B为“任取一零件为次品”．所以，P（B|A1）＝0.05，P（B|A2）＝0.04，P（B|A3）＝0.03，于是，由全概率公式可得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.03＝0.0385．所以P（A1|B）＝＝＝＝．故答案为：0.1645；．14．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是0.4；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是0.3．【考点】贝叶斯公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】0.4；0.3．【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率．【解答】解：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P（A）＝0.2，P（D|A）＝0.4，P（B）＝0.4，P（D|B）＝0.3，P（C）＝0.4，P（D|C）＝0.5，D＝（D∩A）∪（D∩B）∪（D∩C），由全概率公式得：P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5＝0.4，如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：P（B|D）＝＝＝＝0.3，故答案为：0.4；0.3．15．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则当接收信号为0时，发送信号为1的概率为．【考点】贝叶斯公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】．【分析】设＝“发送的信号为1”，＝“接收到的信号为1”，则P（A）＝P（）＝0.5，P（B|A）＝0.9，P（|A）＝0.1，P（B|）＝0.05，P（|）＝0.95，由全概率公式求出P（B），由此利用贝叶斯公式能求出当接收信号为0时，发送信号为1的概率．【解答】解：设＝“发送的信号为1”，＝“接收到的信号为1”，∵发送信号0和1是等可能的，∴P（A）＝P（）＝0.5，由题设P（B|A）＝0.9，P（|A）＝0.1，P（B|）＝0.05，P（|）＝0.95，∴P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝0.5×0.9+0.5×0.05＝0.475，∴当接收信号为0时，发送信号为1的概率为：P（|B）＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共3小题）16．有3箱同种型号的零件，第1，2，3箱里面分别装有10件、9件、8件，且一等品分别有4件、3件和4件，现在任取一箱，从中不放回