第2章 数码系统-数据在计算机内部的表示形式

1n或/a新

本章主要内容

•数据表示形式的多样性

•二进制数值数据的编码格式

•信息传输过程中的检错与纠错码

醺2.1数据表示形式的多样性

•数值、文字、符号、语音、形、

统称数据，在计算机内部，都必须用

化编码的形式被存储、加工；传送o

•数字化编码二要赘'熨"

-少量简单的基本符号八-cb*

*I?NL丁/

----^定的组合规则

•表示大量复杂多样的信息

2.1.1适合于人的数据表示形式

•如时钟、十进制、语音数据、

•输入计算机之前的数据、机输出的数

据都要力争符合人的习惯。

适合计算机的表示形式-编码

•采用二进制的理由

一符号个数最少，物理上容易实现（数字电路）。

用二个状态如导通/截止，高/低电压等来表示，

比用十个状态方便。

一用二进制码表示数值数据运算规则简单。加法

和乘法各只有4条运算规则o

一十进制与二进制转换简单。

一与二值逻辑的真、假两个值对应简单。

•高电压一1,低电压----0。

二进制天符号数据算术运算规则

(1)加法运算规则22

60101需然小］

0+0=0例w

0+1=1+)0001

1+0=1

1+1=0并产生进位

(2)减法运算规则已夕

0-0=0例"吟1011

0-1=1弁产生借位%”・)0101

叫正1\一

0110

1-1=0

二进制数据算术运算规则

(3)乘法运算规则例如：11o011o

0X0=0X)^—

0X1=0O§

1

1X0=001

1X1=1安用63001

(4)除法运算规则

1101例如：1110101/1001

1001/1110101

/1001v

,'1001〉

01001

1001

)/、or

您进位记数法与进制转换

•进位记数法

•任何一个数都可以写成以下算式：

N=ZD*r（i=-k5-k+1；.

-N代表一个数值也为卜

-r是这个数制的基（Radix）0r=2,8,10,16,1

-i表示这些符号排列的位号

-Dj是位号为i的位上的一个符号

是位号为i的位上的一个1代表的值

-»*"是第i位的所代表的实际值

-X表示m+k位的值求累加和

计算机中常用的数制

常用数制基数r基本符号第i位的权值

二进制20,1

八进制80,12345,6,78i

十六进制160,1,2,3,4,5,67,8,9,16。

ABC,D,E,F;

十进制10纷0,1,2,3,4,5,6,7,8,910j

十__八__十六进制数据的二进制编码

十进制数八进制数十六进制数十进制数八进制数十六进制数

000000008靖10007

1001000191001

20100010丁A1010

3011多0011B1011

4>100”01000七c1100

5丁101二0101D1101

6.110"0110E1110

71110111F1111

(101101011)2=(101101011)2

(101101011)2=(101101011)2

1

-\0=(16B)16

十进制数

二一十进制编码（BCD码）表示法是指用

位二进制数字来表示一位十进制数字。

•多位十进制数字表示为这种编码的数串。

-由于24=16个状态，而二进制只要10个状态，因

此需要舍去其中6种状态。va7

-根据舍去状态的不同（有多种方案），BCD码分为

有权码和无权码。

当布C石马无权码

十进8421242152114311十进余3码格鲁码格密码

制数码码码码制数(1)(2)

0.刁

00000000000000000001100000000

1000100010001000110100100010100

2001000100011001120101飞00110110

3丫

30011001101010100011000100010

401000100011110004011101101010

50101101110000111U5100011101011

601101100101010116100110100011

701111101110011007101010000001

810001110111011108101111001001

匕10011111111111119110001001000

X

匕符号数据的表示形式

•键盘上可以输入的符号:

一大小写英文字母：52个

一数字0〜9:10个

-专用符号

-控制符号

•ASCII和EBCDLC码（略）

每个字符在内存中占用一个字节。

ASCH字符编码集

b6b5t)4000001010011100101110111

hah2h1>n\

0000NULDLESP0@PJ5P

Q*'

0001SOHDC1■i1A.aq

tt

0010STXDC22.Rbr

0011ETXDC3#cScsQ

0100EOTDC4砚DTt

lA

0101ENQNAK%5Eeu

FCJ

0110ACKSYN&6VfV

0111幺BELETBGWgw

1000CAN尸8HXhX

fHT■

too以必EM9IYIy

★■

-VTJSUB■JZjz

■

ESC+5K[k(

1110010/FF

FS5<L\II

\CR

1101♦工GS■—M]m}

/伸心\SORS■>NAn

1111?

SIUS/O—0

物符号数据（字符、汉字）的显示

字符、汉字等只能以图形的方式显

看。一般以点阵的形式显示。如:：

8*8的点阵16*16的汉字点阵

鲤）汉字的输入、存储

•汉字存储必须遵守国家标准。

-英文符号采用ASCII码，1Byte。

-常用的汉字有6000多个，故需要2B来存储。为

了区分汉字和英文符号，所以在机器中，描述

汉字时每个字节的最高位为1。因此汉字编码

有机内码和机外码之分。

-机外码常用的有国标码

GB2312O

机内码=国标码+8080H

—例如

国标码二进制机内码机内码*

（十六进制）（十六进制）

3B7A0011101110111011BBFA

0111101011111010

一键盘输入。拼音、五笔字型等

一语音输入。

一手写输入。

扫描输入O

您图形数据表示形式

•图形可分为,

一规则图形，如直线，圆、圆弧等。

一不规则图形，如照片、地图等。

•可以用点阵表示任何图形，但需要较多的

空间。者颦*MO3

•对于规则图形，可以存储有关的特征和规

则即可

一直线，可以存储起点、终点和线条的类型即可。

醺2.1.3数据格式的相互转换

•通过键盘向计算机输入的数字肯定是用

ASCII码形式表示的十进制数，必须通过软

件将其转换成二进制数。反之，计算机的

运行结果输出时，常常需要通过软件转换

成十进制数。x瑚"6S'

-由于二进制数冗长，读写不方便等缺点，常使

用八进制或十六进制来进行书写等。

•需要在不同进制数之间转换。

醺十进制转二进制

整数部分除2取余小数部分乘2取整

2111----------1低*2

215-----------1高10.25*2-'

2|2----------°”00.5*2

低产不

21高

%畛守

除尽为止/；

求得位数满足要求为止

(11)=(1011)(0.625)=(0.101)

1021JL0U乙2

(11.625)10=(1011.101)2

二进制转十进制

•从二进制数求其十进制的值，逐位码权累

加求和。

321

(1011.101)2=1*2+0*2+1*2+1*2。+

1*2-1+0*2-2+1*21'

/嘀尸厂/那产

l=8+0+2+1+0.5+0.0+0.125

=11.625

匕二到八或十六进制转换

到八从小数点向左右三位一

(10011100.01)

010

到十六从小数点向左右四位一分组

(100111001.01)2=(9Cf4)16

'^V--乙JLU

0100

说明：整数部分不足位数对转换无影响，

小数部分不足位数要补零凑足，否则出错。

./J、

2(00II,IlIOOIIIIOOO)=9T(9731)•

7”(onIII000100)=8(9701)•

ww睇瓶=隆辛士东、，

下列表格内容请记下来

389512

4161J|1024

532161024*64

O2.2机器数的编码格式

•机器数是指数据在计算机内部的二进制编码

形式（有多种）。Y事卜一

•真值是指原来书写形式表示的数（实际值）o

•选择机器数的原则X筋d'

一只照顾机器（运算方便、节省存储空间），不照顾

人（是否便于理解怜

•按小数点位置是否固定，厂机器数分为定点数

和浮点数（实数）。，■/3

•为了有效、方便地表示正负数，定点数表示

又分为原码、反码、补码、移码等编码方案。

瞰.2.1二进制定点数的原码表示

•二进制数据编码方法应达到目标：

-①如何能方便地表示正数、零和负数，

-②尽可能地有利于简化对它们实现算术运算用

到的规则。)―cJ

1、符号表示位势＜oO^

-数的符号只有“+”和“一”,〉

一每一位二进制信息只有“0”和“1"o

-可以用“0”表示“+”，“1”表示”。

-由于符号是放在最左边，所以存放数据的单元

中的最高位用于表示该数据的符号。

•例如：

Nl=+O.1011N2=-0.IlOfd/7

•则它们在机器中可以表示为：

匕

2、运算中符号处理

•运算中存在的问题:是否与数值一起参与"(/

运算，结果给下一次运算带来什么影响等。

3AS7

•将符号位与数值位一起编码的方法分为原

码、补码、反码、移码等。

3、原码表示岳2

•原码表示法中机器数分为符号和数值两部分。

一符号用“o”表示该数为正，“1”表示该数为负。

-数值部分为真值的绝对值。

符号数值部分的绝对值

•例如1x=+o.ion,丫=-0.noi,求[x]原，[丫]原。

解根据定义得：

[X]l=0-1011[Y]^=l.1101

•用公式表示：

-对于小数X,其原码表示定义为：

rX1〉X〉=O4费"/

[X]=J/

.l-xO>=x>-1

•性质值o的原码表示。

端@[+0]原=0.0000,

[―0]厚=1.0000

•从上可知，0的原码表示形式不是唯一的。

・性质2若［X］原=X0.X］X2X3・•・Xn，X。表示原码

机器数的符号位,它满足：

r0x>a殄'，

匕

•对于n位定点整数X,其原码定义为:

rX2n>X>=0

LXA［」原二<

〔2-X0>=X>-2n

•优点：简单，宜观，易懂。

•缺点：做加减法时7，需要将符号位和数值

部分分开处理。」〜

6

r

。

用o

+11+1++1

出z

玮>c,

糜c□

座\I

<8

9

靠

+1+,a1+1

胞%1o

侏r>卜

雅yd

卜

财

壮

AT

嘴

滞:、

—O

般

楣3

+++十<A

贰/

壮'P

嘴

畋

羚

•米

域.

Rw

鲤）2.2.2二进制定点数的补码表示

•从上表可以看出

-由于负数的原码表示，在两操作数符号相异时,

应作加运算实际上改为减运算；本应作减运算

实际上改为加运算。

•倘若能找到一种机器数的表示法，对它所

表示的正负数，要求做加法就作加法，且

结果为正确的机器数表示；对于做减法，

减去一个负数等于加上与这个负数值对应

的正数，减去一个正数，等于加上与这个

正数值相等的负数。

•女予处：VA

-减法也能转变为加法。

-符号位与数值部分一起参与运算

-简化了运算规则

•先看两个十进制数的运算：

「479-38=41w79+62=141

•如果使用两位十进制数的运算器（如算

盘），多余的100因为超出了运算器的位数

和范围而自动丢掉，结果为41。

匕

•在数学上可以用同余式表示:

79+(-38)=79+62=41

•进一步定义为：

-38=62(mod

•称-38的补码(对模100而言)是62。

•结论：负数用补码表示时，可以把减法转化

为加法00。

眼皓

外扇

城札

四艇华

札快

。黎

里侏回个

世

裁好裁—

U

曲杂麟靠

U叵

M

酒

CM

CM

K罂格型格

楣

蟀标爸

叫改W八

婀回小

辅b

U

雕)

玉b

侏M

宾

L

U

当

解斜理林

W

4球联布

P

4宾勰噩格

<

侏0侏噌皿

K岩

双领麟解。

尔W

(

料冒仁

科如郡*

•

•

匕

•补码定义：K

•对于n位小数，其补码定义为

「X1〉X>或喙了

[X]补二Y业%^"(啜P乌

12+XO>=X>-1

•对于n位整数，其补码定义为

xzj^^x〉=o

[X]补二y\G(mod2n

2n+1+X0>=X>-2n

鲤）原码与补码之间的转换方法

•1、根据定义进行计算

-原码一真值一补码

•2、原码直接求补码规则

一对于正数，原码与补码相等；

-对于负数，转换规则为：符号位不变，数值部

分求反加1（在最低位）。

•补码直接求原码的规则同上。

例［x］原=o.ion,［丫］原=1.noi,求［x］补二？

F乂补二?丁

-解酉X］补=0.ion,

补=

1［-Y」］补1.0010+0.0001=1.0011

•由［X］补求机器负数［-x］补规则：3心

-连同符号位一起求反加31（在最嘿

补二i.no有求［-x］补我W

一例［X］补=o.ion,［Y］

「丫］补二？

一解：1X］补=1.0101,，r^AA7

［―Y］补=0.0010+0.0001=0.0011

•可以证明，在无溢出的情况下，

［X］补+［Y］补=［X+Y］补爹(mod2)

•称［-X］补为［X」］补的机器负数。

•［X-Y］补=［X+(-Y)］补

中］补+E-彳一卜

二［X］补-［Y］补(mod2)

•即将减法变成加法运算。

JI

匕

下面再讨论一些性质

•①0的补码表示是唯一的

[+0]补=0.00…0

[―0]补=10.00+(-0)=0.00…0(mod2)

•②由性质1知\[X-X]补=[X]补+[-X]补=0

「所以＞[―X]补=—[X]补

-即负号在括号内夕卜是一样的。

•[X—Y]补==[X]补+[—Y]补(mod2)

匕

•③设[X]补=Xo.X]X2・・・Xn，求Xo

若1>X>=O则1>[X]^=X>=O,Xo=O;

O>=x>=-1贝！J2〉=[X]补=2+X〉=l,X0=l;

所以1>X>=0

X]补=2X0+X其中朔X。二4

」幺为'c&lO>=x>-1

X=[X]补-2X0=Xo.X1X2…X「2X°

1-\以XX1X2…X。

补码的算术移位操作

•十进制的算术移位

-设X二±00.X]X2・・・Xn，

一对X执行乘以10的运算

10*X二±0X1.X2…XnO相当于左移1位

一对X执行除以10的运算

X/10=±00.0XlX2-Xn6f相当于右移1位

•二进制真值的算术移位:

—设X二±0O.X]X2・・・Xn，

一对X执行乘以2的运算

2*X=±0X1.X2-Xn0f相当于左移1位

一对X执行除以2的运算

X/2二±00.0X1X2-Xn69相当于右移1位

•④由［X］补,求［X/2］补（即算术右移，要保持真值不变

•由性质3知X=0.Xi2…X—X。

所以X/2=0,乂风・・//2-筋3

t

=0.OX1X2---Xn+Xo/2-Xo^

•比较性质3中的X和性质4中的X/2可得

[X/2]补=X0.X0X/2…Xn

•由［X］补求［X/2］补的规贝！J：

符号位不变，连同符号位一起右移一位。

匕

•⑤算术左移1位的操作规则

-符号位参与向左移位

一左移时最高位丢失，最低位

一左移时可能发生“溢出”现象，判出”

的规则与补码加减法判断“溢出”木目

补码的演变

•①模2补码的修改

•对于上述补码，其真值范围为

实际上可扩充到X=T(为什么?)

因［一1］补=2+(―1)=1.00…0Ap'

这样补码定义可修改为：一二3/

X7做艺0

y(mod2)

2+X0三X〉T

•②模4补码-----变形补码

•由于参与运算的数X满足1>X三T,所以两

数相加减时其结果有可能超出模2补码表示

的真值范围。因此提出了模4补码，其定义

如下：<QC^

点资"2>X三0

飞登j乙'e(mod4)

和、4+X」0>X>-2

•可以证明：

-若［X］补=XooXorX/2…XnL皑*

一则Xoo正好是表示其真值的符号，即X（）o=O,表

示正数，x00=i,表＜^"7

•模2补码的性质及码制之间转换均可用于模

4补码。）病二*

•模4补码的真值范围是模2补码的一倍。

•假若仍表示1〉X三T的真值（下一个参加运

算的数要求），小数点左边就一定相同，

所以说模4补码是有两个符号位的补码-----

称为变形补码。

•利用双符号位判断定点数溢出

结果范围双符号是否溢出

1

2〉XN1黑正溢出

1〉XNO无溢出

0〉X2-111无溢出

T〉X>210负溢出

・.注意）在计算机中存储和传送数据时用一

位符号位，而在运算时数据采用两位侍号

位表示。

2.2.3二进制定点数的反码表示

•在补码表示法中已经提到补码可以通过原码

除符号位外“求反加1”得到。如果只求反不

加就得到了反码表示滋为-

1,-7Ap

•对于小数X,其反码定义为Z?P^

「X小蹴仇

:X］欣(mod2-2-n)

Y二£12-2一n+X0三X〉-1

•其中n代表小数的位数。

匕

•性质0的反码表示关2

+。」反=0.00…0

n

一0］反=2-2-+(-0)=l.

•即在反码表示中，“0”的表示不唯一。

•对于n位整数X,其反码定义为

百辞2n>X^0

/|X^(mod2n-l)

2n+1-l+X0三X〉—2n

领8位二进制代码与真值、原码

补码、反码的对应关系

二进制代码无符号数对原石马对应补码又于反码对应

应的真值的真值.的真值的真值

0000000000>yoo7

00000001111

0111111127-127-127-127-1

1000000027-0-27-(27-1)

1000000127+1-(27-1)-(27-2)

1111111028-2-(27-2)-2-1

1111111128-1-(27-1)-1-0

JI

值、原码、彳卜码、

反码的对应关系

二进制代码（真值）补码反码

+000000000000000000000001^00000000

+0000001000000010000000100000001

+1111111工011111110111111101111111

-0000000100000000000000011111111

-0000001100000011111111111111110

-11111101111111010000010100000001

-11111111111111110000001100000000

-10000000Not10000000Not

原码、补码、反码关系

•1、三种机器数的最高位为符号位，符号位

和数值部分之间约定用或“，”分隔。

•2、原码6分补码、反码转换规则

一对于正数，原码、补码、反码相等；

-对于负数，转换规则为：符号位不变，数值部

分求反，补码在最低位还加1。二

•3、补码）反码的符号位参与运算。

•4、原码和反码对0的表示不唯一。

•5、对于一个整数的表示，用多少位二进制

与所用的模数有关。

•2〜5都可以证明。

•按小数点的位置分:

定点小数定点整数

•按数有无符号分:-

带符号的不带符号的数

定点小数:

无符号小数：

I最高有效任

d°di^2•••dn-l

小教皮

匕

定点整数：

]I最高有效局

d°dd•••IIIIIdN-l

!I最高有效住

6Gd2l…I□IIF

小数点

进行算术操作时，应使用带符号的数;

数据可用原码、补码或反码表示。

•表示逻辑量或某些特征值时，应用不带

符号的数。

注意:

-1、小数点在机器中是无法表示的,是人们

编程时的一种约定。

-2、对于计算机来说，符号位与其它布什

么区别，这也只们的一种约定。

•定点数的长度（位数）分为

自定长数据表示。一般隼机器字长，参与运算

的操作数长度也是固定的，一般称作定长运算

或定长操作。

一多种定长数据表示。对每种字长的存储和单独

运算仍然是定长的。07

一如X86系列机，定长数据有：8位，16位，32位,

*64位。17.

00000001I-Z—"1命7*箍、。含导单

IIIIIIII(A-S-1)-z-Z-I

00000000“3'8-Z-I降、（＞含导*

00000001iZ~d暂W械等含毋单

(I-zS)-I-zZ暂置箍囊含导星

000000000【一迷

mi*nx粤UT•UIXPUI

辛宓国冬准年举*

围M亚8»—

X

匕

•2、在按字节编址的机器中，16位、32位、

64位字长的地址如何确定。

•以16位字长为例

2.2.4十进制数的编码

•原因：/6?1

一商业统计等领域，运算箱单，数据量大。在

输入/输出中十进制数<-->二进制数转换所占

的时间比例很大。为提高机器的效率，最好能

直接对十进制数进行运算和处理。

-扩大数据的表示范围和提高运算精度。

•十进制数串有两种表示形式。

•密毕/符串形式.

指一个字节存放一个十进制的数位或

符号位的ASCH码。

•在主存中，一个十进制数串占用连续多个

字节，故需要给出该数串在主存中的起始

位置和位数（串的长度）o

•一个十进制数可表示为：

无符号十进制数、有符号十进制数

•有符号十进制数是让符号位占用单独一个

字节，并把符号位放在数字位之前。

•缺点：高四位的值在进行算术运算时不具

有数值意义。

•主要用在非数值计算的应用领域中。

卜

付bACSII码

瘠2BH7

■例如+543表示如下左图。

厂一2DH》

4

2BH

t

35H

2DH30H30H39H

34H

36H38H36H35H

33H

图"图

•例如-96865可表示（4个字节/主存单元）

如上右图。

•二、压缩十进制数据串形式

-一^个字节存放两个十进制数位

-每位值可用二一十编码(BCD码)表示

-符号位占用半个字节

•如8421码，用12(CH)表示正号，用13(DH)表示负号。

•优点：节省存储空间.可直接完成十进制

数的算术运算C

•例如-78表示如下图。

字节字节字节字节

0D78D078产

图冰%图7

•在这种表示中，规定数据位数加符号位数

必须为偶数，当不为偶数时，应彳f^个0。

•问题：

1、十进制数串如何变成BCD码？

2、BCD码如何变成二进制数据？

您2.2.5浮点数表示

•定点数所表示的数值范围太小，特别是科学

计算方面，其数值范围很大，因此引入浮

M-尾数，小数表示,一

数了E，阶码，用整数表示，

决定了浮点数的7

指出小数点的位置，决

精度C

点数需歹浮点数莫国

•一个数N史y

\R-基数，不需要表示出

来,R£{2,4,8,…}

y

匕

•选择k和n的值既要保证有足够大的数值范

围，又保证有所要求的数值精度。

•IEEE754浮点数表示的标准。

符号位阶码尾数总位数

短浮点数182332

长浮点数1115264

•一个浮点数的表示形式不是唯一的。

•例如：iv>

电子质量=0.9*10-27=0.09*10-26

—••••

•为了使浮点数有一个统一的标准形式，

规定浮点数必须采用规格化形式。浮点

数规格化对尾数M提出了限制要求：

1/RW|M|〈1（具体到等号有所不同）

•对于R=2,表示形式:

9*

M正数负数m

原码0.1XXXX1.1XXXX

彳卜石马0.1XXXX1.0XXXX

•对于R=8,表示形式:

M正数负数

原码>0,001XXXX1.001XXXX

补码>0.001XXXX1.000XXXX

o浮点数规格化

•若运算结果尾数的有效数字超过最高有效

位（“溢出”），为使其规格化，需要进行右

规，右规时尾数向右移一位（小数点左移），

阶码加。玄及*

1-7Ap'

•若运算结果的尾数有效数字不在最高有效

位，为使其规格化需要进行左规，左规时

尾娄转1左移一位（小数点右移），阶码减1。

•例如（R=2）：

尾数运算结果为00.01001,数左移一位

（左规）后尾数变为00.1001,阶码减1J

•例如：/KvT7

尾数运算结果为01.10010；数右移一位

（右规）后尾数变为00.nooi,阶码加1。

•浮点数的阶码可采用移码和补码表示。

下面分析一下移码的性质及其优点其。阶码丁

•如果阶码有n+1位（包括符号位），

的移码定义为:

[X]移=2n+X_2VW2n

■设