2018-2019学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（4分）道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为(

A.C.

2.（4分）把代数式2,-18分解因式，结果正确的是（）

A.2(x2-9)B.2(x-3)2

C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)

3.（4分）一元二次方程，+4x+l=0配方后可化为)

A.(x+2)2=5B.(x-2)2-5=0C.(x+2)2=3D.(X-2)2-3=0

2_2

4.（4分）化简工尸—的结果为（)

x+xy

x+yx-y

A.-工B.-yC.D.

Xxx

5.（4分）关于x的分式方程2二2三且一有增根，则a的值为（

x+3x+3

A.-3B.-5C.0D.2

6.（4分）如图，把线段A8经过平移得到线段CD,其中A,8的对应点分别为C,D.已

知A(-1,0),3(-2,3),C(2,1),则点。的坐标为()

5(-2.3)

4(-1,0)

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

7.（4分）如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在

A3外选一他点C,然后测出AC,的中点M、N,并测量出的长为18祖，由此他

就知道了A、8间的距离.下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（)

A

A.AB=36mB.MN//ABC.MN=—CBD.CM=Lc

22

8.（4分）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提

前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）

480480480480

A.x+x+20B.xx+4-2°

480_480

C.D.=2

xx+20我x-4连x。

9.（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△即C.若点A,D,E在同一条直

线上，则NE4c的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

10.（4分）如图，nABCD的对角线AC,8。交于点。，AC±AB,AB=遥，BO=3,那么

AC的长为（）

A.2A/5B.V5C.3D.4

11.（4分）如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A,交y轴于点B,点P在线段

AB上（不与点A,B重合），过点P分别作和OB的垂线，垂足为C,D.当矩形OCPD

的面积为1时，点P的坐标为（）

y

A.（工，2）B._1

24

C.（b1）或（工，2）D.（1,1）或（工，A）

242

12.（4分）如图，平行四边形A8CZ）中，对角线AC、8。相交于O,BD=2AD,E、F、G

分别是OC、OD.的中点，下列结论:

①2E_LAC；

②EG=GF；

③AEFG当AGBE；

④EA平分/GEF；

⑤四边形是菱形.

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，）

13.（4分）分解因式：a-2o+l=.

2_Q

14.（4分）分式^——的值为0,那么x的值为.

x+3

15.（4分）若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是边形.

16.（4分）已知关于x的方程，+乙-3=0的一个解为1,则它的另一个解是.

17.（4分）如图，在矩形A2CD中，BC=20cm,点尸和点0分别从点B和点。同时出发,

按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cmis和2cm/s,当四

边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为s.

18.（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB=6,AD_LBC,点E为线段上的动点，连

接CE,以CE为边作等边连接。R则线段。尸的最小值为.

三、解答题（本大题共7个小题，共78分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（18分）解下列方程

（1）堂.-剪”45；

x2x

（2）x（x-2）=x-2；

（3）f+4x=8.

20.（8分）如图，在oABCZ）中，点E,尸在对角线AC上，且AE=CF.求证：

（1）DE=BF-,

（2）四边形E是平行四边形.

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不

仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行

因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.

下面是小涵同学用换元法对多项式（X2-4X+1）（X2-4X+7）+9进行因式分解的过程.

解：设/-4x=y

原式=（y+1）（y+7）+9（第一步）

=/+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(x2-4x+4)2(第四步)

请根据上述材料回答下列问题：

(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结

果：;

(3)请你用换元法对多项式(X2+2X)(X2+2X+2)+1进行因式分解.

22.(10分)在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。是8c的中点，E是4。的中点，过点A作

AF//BC交BE的延长线于点F.

(1)求证：LAEF丝ADEB；

23.(10分)如图是一张长20cm>宽12c7九的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为无C7?z

的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒.

(1)这个无盖纸盒的长为cm,宽为cm；(用含尤的式子表示)

(2)若要制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，求尤的值.

24.(12分)如图①，四边形A3C。和四边形CEPG都是正方形，且BC=2,CE=2加,

正方形ABC。固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转a角(0°<a<360°).

图①图②图③

(1)如图②，连接BG、DE,相交于点H,请判断BG和OE是否相等？并说明理由；

(2)如图②，连接AC,在旋转过程中，当AACG为直角三角形时，请直接写出旋转角

a的度数；

(3)如图③，点P为边跖的中点，连接尸8、PD、BD,在正方形CEFG的旋转过程

中，△2D尸的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理

由.

25.(12分)如图①，在平面直角坐标系中，直线A：y=-/x+6分另Li与x轴、y轴交于点

B、C,且与直线/2：y=L交于点A,以线段AC为边在直线的下方作正方形ACDE,

2

图①备用图

(1)求出A,B,C三点的坐标.

(2)求直线CD的函数表达式.

(3)在(2)的条件下，点尸是射线8上的一个动点，在平面内是否存在点0,使得

以。、C、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

四、附加题(每小题0分，共10分)

26.设机是满足不等式1W/W50的正整数，且关于x的二次方程(x-2)2+(a-m)2

2mx+cT-2am的两根都是正整数，则正整数m的个数为.

27.如图，在平面直角坐标系中，直线/为正比例函数>=尤的图象，点A1的坐标为(1,0),

过点A作x轴的垂线交直线/于点。1，以45为边作正方形4SGO1；过点Ci作直

线I的垂线，垂足为A2,交X轴于点&,以A2B2为边作正方形A222c2。2；过点C2作尤

轴的垂线，垂足为图,交直线/于点。3，以人3。3为边作正方形4323c3。3，…，按此规

律操作下所得到的正方形AMnD,,的面积是.

2018-2019学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（4分）道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）

【分析】结合中心对称图形的概念求解即可.

【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；

8、是中心对称图形，本选项正确；

C、不是中心对称图形，本选项错误；

。、不是中心对称图形，本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

2.（4分）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）

A.2（%2-9）B.2（尤-3）2

C.2（尤+3）（尤-3）D.2（x+9）（尤-9）

【分析】首先提取公因式2,进而利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：2,-18=2（%2-9）=2（x+3）（尤-3）.

故选：C.

【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题

关键.

3.（4分）一元二次方程，+4x+l=0配方后可化为（）

A.（尤+2）2=5B.（x-2）2-5=0C.（x+2）2=3D.（%-2）2-3=0

【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方

形式即可.

【解答】解：X2+4X=-1,

9

%+4x+4=3,

（x+2）2=3.

故选：C.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形

式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

2_2

4.（4分）化简-的结果为（）

x+xy

A.-ZB.-yC.0D."

XXX

【分析】先因式分解，再约分即可得.

【解答】解：寿式=吃）（x，y）=口

x2+xyx（x+y）X

故选：D.

【点评】本题主要考查约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形

式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分.

5.（4分）关于尤的分式方程2二2=，_有增根，则a的值为（）

x+3x+3

A.-3B.-5C.0D.2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整

式方程计算即可求出a的值.

【解答】解：分式方程去分母得：尤-2=m

由分式方程有增根，得到x+3=0,即无=-3,

把尤=-3代入整式方程得：。=-5,

故选：B.

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为

整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

6.（4分）如图，把线段A8经过平移得到线段CZ）,其中A,8的对应点分别为C,D.己

知A(-1,0),3(-2,3),C(2,1),则点。的坐标为(

y

3(-2.3)

C(2.1)

-4(-1.0)0x

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点。的坐标即可.

【解答】解：（-1,0）的对应点C的坐标为（2,1）,

平移规律为横坐标加3,纵坐标加1,

:点8（-2,3）的对应点为

的坐标为（1,4）.

故选：A.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加,

左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键.

7.（4分）如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在

AB外选一他点C,然后测出AC,BC的中点M、N,并测量出的长为18〃z,由此他

就知道了A、2间的距离.下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）

A.AB=36mB.MN//ABC.MN^—CBD.CM=Lc

22

【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；

【解答】解：CN=NB,

J.MN//AB,MN^—AB,

2

:MN=18m,

.\AB=36m,

故A、B、0正确，

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何

知识解答实际问题的能力.

8.（4分）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提

前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）

=2

.螫x芈x+4。

480480

.驾连=2。

【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时-实际

用时=4.

【解答】解：设原计划每天挖尤米，则原计划用时为：堂实际用时为：剪-.

xx+20

所列方程为：480_48^=4）

xx+20

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合

适的等量关系是解决问题的关键.

9.（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△££）（?.若点A,D,E在同一条直

线上，则/EAC的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】用性质的性质可知△ACE是等腰直角三角形，由此即可解决问题.

【解答】解：由题意：A,D,E共线，

又；CA=CE,ZACE=90°,

：.ZEAC=ZE=45°,

故选：B.

【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题.

10.（4分）如图，nABC。的对角线AC,8。交于点O,AC±AB,AB=^,80=3,那么

AC的长为（）

A.2A/5B.A/5c.3D.4

【分析】根据平行四边形的性质可知，OA=OC,OB=OD,由ACL4B,AB=近,BO

=3知，在RtAAOB中利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：：四边形ABCD是平行四边形，

C.OA^OC,OB=OD,

,JACLAB,AB=A/5，80=3,

.•.OB2=AB2+OA2,即32=（V5）2+<9A2,

.•Q2=4,

\'OA>Q,

：.OA=2,

：.AC=2OA=4.

故选：D.

【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四

边形的性质解决问题，学会设未知数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型.

11.（4分）如图，一次函数y=-2r+3的图象交x轴于点A,交y轴于点8,点P在线段

AB上（不与点A,B重合），过点P分别作。4和OB的垂线，垂足为C,D.当矩形OCPD

的面积为1时，点P的坐标为（）

A.(-1,2)B.(A,A)

242

C.(1,1)或(工，2)D.(1,1)或(工，立)

242

【分析】设P(a,-2a+3),则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a

值，继而求得点P的坐标.

【解答】解：：点P在一次函数y=-2x+3的图象上，

可设尸(a,-2a+3)(a>0),

由题意得〃(-2〃+3)=1,

整理得2a-3«+1=0,

解得。1=1,〃2=工，

2

-2。+3=1或-2。+3=2.

：.P(1,1)或(工，2)时，矩形OCED的面积为1.

2

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.一次函数图象上所有点的坐标都满

足该函数关系式.

12.(4分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于。，BD=2AD,E、F、G

分别是OC、OD、的中点，下列结论：

®BE±AC；

②EG=GF；

③AEFGm4GBE；

@EA平分/GEF；

⑤四边形BEFG是菱形.

其中正确的是()

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确，由直

角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误,通过证四边形BGFE是平行四边形,

可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由NA4CW30。可

判断⑤错误.

【解答】解：：四边形A8CD是平行四边形

：.BO^DO=—BD,AD=BC,AB=CD,AB//BC,

2

又；BD=2AD,

：.OB=BC=OD=DA,且点E是。C中点，

：.BE±AC,

故①正确，

■:E、尸分别是。C、的中点，

：.EF//CD,EF=LCD,

2

:点G是RtAABE斜边48上的中点，

/.GE=LB=AG=BG

2

：.EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,

故②错误，

,:BG=EF,AB//CD//EF

四边形BGFE是平行四边形，

：.GF=BE,且8G=EF,GE=GE,

：.ABGE冬AFEG(SSS)

故③正确

'：EF//CD//AB,

：./BAC=ZACD^ZAEF,

：AG=G£,

：.ZGAE=ZAEG,

：.ZAEG^ZAEF,

平分NGEF,

故④正确，

若四边形8EFG是菱形

;.BE=BG=LAB,

2

；./BAC=30°

与题意不符合

故⑤错误

【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角

形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，）

13.（4分）分解因式：a-2a+l^（g-1）2.

【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式。2-2"+b2=（a-b）2,即可把

原式化为积的形式.

【解答】解：2。+1—a"-2X1Xa+l~=（a-1）”.

故答案为：（G-1）2.

【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题

的关键.

2_o

14.（4分）分式工的值为0,那么尤的值为3.

x+3-------

【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0.两个条件需同时具备,

缺一不可.据此可以解答本题.

【解答】解：由题意可得：-9=0且x+3W0,

解得尤=3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于

零且分母不等于零.注意：“分母不为零”这个条件不能少.

15.（4分）若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是六边形.

【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后解方程即可.

【解答】解：设这个多边形是〃边形，根据题意得，

2）780°=2X360°,

解得n=6.

故答案为：六.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记性质与定理是解题的

关键，需要注意，任意多边形的外角和等于360。，与边数无关.

16.（4分）已知关于尤的方程，+乙-3=0的一个解为1,则它的另一个解是-3.

【分析】根据■元二次方程解的定义，将尤=1代入原方程列出关于左的方程，通过解方

程求得k值；最后根据根与系数的关系求得方程的另一根

【解答】解：将x=l代入关于x的方程，+丘-3=0,

得：\+k-3=0

解得：k=2,

设方程的另一个根为。，

则1+。=-2,

解得。=-3,

故方程的另一个根为-3.

故答案是：-3.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解集根与系数的关系.一元二次方程的根就是一

元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数

所得式子仍然成立.

17.（4分）如图，在矩形ABC。中，BC=20cm,点尸和点。分别从点B和点。同时出发,

按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cmis和2cmis,当四

边形ABPQ初次为矩形时，点尸和点。运动的时间为4s.

【分析】根据矩形的性质，可得3c与的关系，根据矩形的判定定理，可得8P=AQ,

构建一元一次方程，可得答案.

【解答】解；设最快X秒，四边形ABP。成为矩形，由得

3%=20-2x.

解得x=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键.

18.（4分）如图，ZXABC为等边三角形，AB=6,AZ）_LBC,点E为线段4D上的动点，连

接CE,以CE为边作等边连接。R则线段。尸的最小值为叁.

一2一

【分析】连接8R由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△BCP丝ZVICE,

推出NCBF=NCAE=30°,再由垂线段最短可知当。尸时，

。/值最小，利用含30°的直角三角形的性质定理可求。尸的值.

【解答】解：如图，连接BE

:△ABC为等边三角形，AD±BC,AB=6,

：.BC=AC=AB=6,BD=DC=3,ZBAC=ZACB=60°,ZCAE=30°

；ACEF为等边三角形

：.CF=CE,ZFC£=60°

:.NFCE=NACB

：.ZBCF=ZACE

.•.在△BCF和△ACE1中

BC=AC

<ZBCF=ZACE

CF=CE

:.ABCF当LACE(SAS)

AZCBF=ZCA£=30°,AE=BF

...当。尸_LBF时，。尸值最小

此时N3FD=90°,NCBF=30°,BD=3

:.DF=LBD=W~

22

故答案为：3.

2

【点评】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30。所对直角边等

于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性.

三、解答题(本大题共7个小题，共78分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(18分)解下列方程

(1)480^-^22=45；

x2x

(2)x(x-2)=x-2；

(3)f+4x=8.

【分析】(1)直接利用去分母进而解方程得出答案；

(2)直接利用提取公因式法分解因式解方程即可；

(3)直接利用配方法解方程得出答案.

【解答】解：(1)去分母得：960-600=90x,

解得：x=4,

检验：当x=4时，2xW0,故x=4是原方程的根；

(2)x(x-2)=x-2

(x-2)(x-1)=0,

则x-2=0或x-1=0,

解得：阳=2,入2=1；

(3)%.4x=8

7

x+4%+4=8+4

（无+2）2=12,

故尤+2=±2«,

解得：苞=2正-2,%2=-273-2.

【点评】此题主要考查了因式分解法解方程和配方法解方程，正确掌握相关解题方法是

解题关键.

20.（8分）如图，在中，点、E,尸在对角线AC上，且AE=CF.求证：

（1）DE=BF；

（2）四边形。破/是平行四边形.

【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△AOE0ACBR即可推得。E=8E

（2）首先判断出。E〃BR然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得

四边形DEBF是平行四边形即可.

【解答】证明：（1）,••四边形是平行四边形，

J.AD//CB,AD=CB,

：.ZDAE=ZBCF,

在△&£>£1和△CB6中，

'AD=CB

-ZDAE=ZBCF

LAE=CF

MADE沿ACBF,

：.DE=BF.

(2)由(1),可得AADE咨ACBF,

：.ZADE^ZCBF,

,：/DEF=ZDAE+ZADE,NBFE=ZBCF+ZCBF,

：.NDEF=ZBFE,

：.DE//BF,

又,：DE=BF,

...四边形。破尸是平行四边形.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性

质的应用，要熟练掌握.

21.(8分)阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不

仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行

因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.

下面是小涵同学用换元法对多项式(，-4x+l)(，-4x+7)+9进行因式分解的过程.

解：设，-4x=y

原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)

=j2+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(尤2-4x+4)2(第四步)

请根据上述材料回答下列问题：

(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的^；

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：(x

(3)请你用换元法对多项式(f+2x)(X2+2X+2)+1进行因式分解.

【分析】(1)根据完全平方公式进行分解因式；

(2)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；

(3)根据材料，用换元法进行分解因式.

【解答】解：(1)故选：C;

(2)(x2-4x+l)(x2-4x+7)+9,

设/-4x=y,

原式=(y+1)(y+7)+9,

2

=y+8y+16,

=(y+4)

=(x2-4x+4)2,

=(x-2)4；

故答案为：(x-2)4；

(3)设x2+2x=y,

原式=y(y+2)+1,

=y+2y+l,

=(y+1)2,

=(x2+2x+1)〜，

=(x+1)4.

【点评】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公

式法分解因式是解题的关键.

22.(10分)在Rt^ABC中，ZBAC=9Q°,。是BC的中点，E是的中点，过点A作

A尸〃BC交BE的延长线于点F.

(1)求证：4AEF丝ADEB；

【分析】(1)根据44s证△AFEg/XOBE；

(2)利用(1)中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件，利用“有一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到AOC尸是菱形，由“直角三角形斜边的

中线等于斜边的一半”得到AD=OC,从而得出结论.

【解答】证明：(1)-：AF//BC,

：.NAFE=ZDBE,

是的中点，是边上的中线，

C.AE^DE,BD=CD,

在△AFE和中，

,ZAFE=ZDBE

>ZFEA=ZBED-

,AE=DE

:.△AFE9ADBE(A4S)；

(2)由(1)知，4AFE咨ADBE,贝U

\"DB=DC,

J.AF^CD.

'：AF//BC,

四边形ADCF是平行四边形，

'：ZBAC=9Q°,。是BC的中点，E是的中点，

：.AD^DC=-BC,

2

，四边形AOC尸是菱形.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，

主要考查学生的推理能力.

23.（10分）如图是一张长20cM1、宽12cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xc%

的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒.

（1）这个无盖纸盒的长为（20-2x）cm,宽为（12-2x）cm；（用含x的式子

表示）

（2）若要制成一个底面积是180aJ的无盖长方体纸盒，求尤的值.

【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；

（2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为14452,即可得出关于x的一

元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【解答】解：（1）.••纸板是长为20cm宽为12ow的矩形，且纸板四个角各剪去一个边

长为xcm的正方形，

.•.无盖纸盒的长为（20-2x）cm,宽为（12-2%）cm.

故答案为：（20-2x）；（12-2x）.

（2）依题意，得：（20-2x）（12-2x）=180,

整理，得：x-16x+15=0,

解得：Al=1,X2=15（不合题意，舍去）.

答：尤的值为1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

24.（12分）如图①，四边形A3CD和四边形CEFG都是正方形，且BC=2,CE=2瓜

正方形ABC。固定，将正方形COG绕点C顺时针旋转a角(0°<a<360°).

图①图②图③

(1)如图②，连接BG、DE,相交于点H,请判断BG和。E是否相等？并说明理由；

(2)如图②，连接AC,在旋转过程中，当AACG为直角三角形时，请直接写出旋转角

a的度数;

(3)如图③，点P为边EE的中点，连接尸8、PD、BD,在正方形CEFG的旋转过程

中，△8。尸的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理

由.

【分析】(1)由四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形知BC=C£>,CF=CE,ZBCD

=ZGCE=90°,从而得/BCG=/DCE,证ABCG2ADCE得BG=DE；

(2)分两种情况求解可得；

(3)由2M知当点P到BD的距离最远时，ABDP的面积最大，作PHLBD,连

接CH、CP,则P//WCX+CP,当尸、C、X三点共线时，PH最大,此时的面积

最大，据此求解可得.

【解答】解：(1)BG=DE,

四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,

:.BC=CD,CF=CE,/BCD=/GCE=90°,

：.ZBCD+ZDCG=NGCE+/DCG,即NBCG=NDCE,

:ABCG经XDCE(SAS),

：.BG=DE；

(2)如图1,ZACG=90°时，旋转角a=/OCG=45°；

如图2,当NACG=90°时，旋转角a=360°-NDCG=225°；

(3)存在,

图3

:在正方形A8CZ)中，BC=2,

:.BD=4^fiC=2亚

，当点P到BD的距离最远时，Z\BDP的面积最大，

PH±BD,连接CH、CP,贝！l/WWCW+CP,

当P、C、H三点共线时，PH最大,此时的面积最大,

：。£=2料，点尸为跖的中点，

:・EP=版,

此时CH=-^BD=\[^jCP=RCE?+EP2==]0,

•*•SABDP=LBD・PH=LX2Mx（V2+V10）=2+2遥.

22

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、旋转的性质、全

等三角形的判定与性质等知识点.

25.（12分）如图①，在平面直角坐标系中，直线小y=-L+6分别与x轴、y轴交于点

2

B、C,且与直线方y=L交于点A,以线段AC为边在直线/i的下方作正方形ACOE,

2

图①备用图

（1）求出A,B,C三点的坐标.

（2）求直线CD的函数表达式.

（3）在（2）的条件下，点尸是射线CZ）上的一个动点，在平面内是否存在点。使得

以。、C、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点8,C的坐标，联立直线/i，h

的解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标；

（2）过点A作AfUy轴，垂足为点R则△ACF0△CDO,利用全等三角形的性质可求

出点。的坐标，根据点C,。的坐标，利用待定系数法即可求出直线C。的解析式；

（3）分0C为对角线及0C为边两种情况考虑：①若0C为对角线，由菱形的性质可求

出点尸的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Pi的坐标；②若0C为

边,设点尸的坐标为Cm,2m+6）,分CP=C。和。尸=0C两种情况，利用两点间的距

离公式可得出关于m的方程，解之取其负值，再将其代入点P的坐标中即可得出点尸2,

尸3的坐标.综上，此题得解.

【解答】解：（1）当x=0时，y—--x+6—6,

2

...点C的坐标为（0,6）；

当y=0时，--^x+6=0,解得：尤=12,

...点2的坐标为（12,0）；

'_1

y=~^x+6

联立直线/1，/2的解析式成方程组，得：，

解得：…，

ly=3

...点A的坐标为（6,3）.

（2）过点A作AFLy轴，垂足为点R如图1所示.

:四边形ACDE为正方形，

：.AC^CD,ZACD^9Q°.

VZACF+ZDCO=90°,ZACF+ZCAF=90°,

：.ZDCO=ZCAF.

，ZAFC=ZC0D=90°

在△ACF和△C。。中，＜AC=CD，

,ZCAF=ZDC0

AACF^ACOO（ASA）,

：.CF=DO.

VA（6,3）,C（0,6）,

；.CF=6-3=3,

.•.点。的坐标为（-3,0）.

设直线CO的解析式为1WO）,

将C（0,6）,。（-3,0）代入＞=丘+6,得：Jb=6

l-3k+b=0

解得：（片2,

Ib=6

直线CD的解析式为y=2x+6.

（3）存在，分辆种情况考虑（如图2）：

①若0C为对角线，PQ,OC互相垂直平分,

，此时点P的纵坐标为工OC=3,