2020-2021学年七年级数学下期末数学试卷和解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是

（）

A.5,1,3B.2,4,2C.3,3,7D.2,3,4

2.计算3.8X107-3.7X107,结果用科学记数法表示为（）

A.0.1X107B.0.1X106C.1X107D.1X106

3.下列运算中，正确的是（）

A.x3,x2=x5B.（x2）3=x5C.2X34-X2=XD.-（x-1）=

-x-1

4.下列关于不等式2x+4>4x的解集在数轴上表示正确的是（）

111।।—।111111-

A.-10123B.-10123

—1-I」।1I—_►n―1—1~।~~►

Cr.-10123U.-10123

5.如图，已知L〃L,NA=40°,N1=60°,则N2的度数为（）

A

A.40°B.60C.80°D.100

6.二元一次方程x-2y=l有无数多个解，下列四组值中不是该方

程的解的是()

A.fX'°1B.尸c.尸口.产-1

厂-彳ly=lly=0(y="1

7.已知四个命题：①若a<b,则-5+a>-5+b；②直角三角形只

有一条高线；③对顶角相等；④三角形的一个外角一定大于三角

形的内角.其中真命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.下列从左到右的变形是因式分解的是()

A.(x+1)(x-1)=x2-IB.(a-3)(a+7)=a2+4a-21

C.x2+x+l=(x+1)2D.3x3-6X2+4=3X2(x-2)+4

42

9.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()

A.17B.15C.13D.13或17

10.AABC中BC边上的高作法正确的是()

11.下面是创意机器人大观园中十种类型机器人套装的价目

表.“六一”儿童节期间，小明在这里看好了⑤型机器人套装，爸

爸说：“今天有促销活动，八折优惠呢！你可以再选1套，但两套

最终不超过1500元.”那么小明再买第二套机器人最多可选择的

类型有（）

型号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨（10）

价格/元180013501200800675516360300280188

A.5种B.8种C.9种D.6种

12.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆

放,则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用含a、

b的式子表示）（）

A.(a+b)2B.(a-b)2C.2abD.ab

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

13.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如

果Nl=35°，那么/2是度.

14.如图，在aABC中，ZC=40°，CA=CB,过A点作EA〃BC,则

ZEAB=____________

15.如图，将AABC平移到B，C，的位置（点B'在AC边上）,

若NB=55。，ZC=100°,则NAB，A'的度数为

16.若(x-3)3=a+bx+cx2+dx3,则a+b+c+d=

17.若-2a74与5a"2b2ra也可以合并成一项，贝ij镇二.

18.若方程组，3x+5尸k+2的解X、y的值互为相反数，则k的值

I2x+3y=k

为.

19.三角形的两边长分别为8和6,第三边长是一元一次不等式

2x-1<9的正整数解，则三角形的第三边长是.

20.观察下列关于自然数的等式：

32-4X12=5①

52-4X22=9②

72-4X32=13③一

根据上述规律请你猜想的第n个等式为（用含n的

式子表示）.

三、解答题

21.(1)计算：(-2015)°+2*

'1-2(x-1)>x

解不等式组…7©把解集在数轴上表示出来’并求它的

整数解.

-6-5-4-3-2-10123456

22.已知：x=3是方程2x-ay=9的一个解，解决下列问题：

ly=l

(1)求a的值；

化简并求值：(a-1)(a+1)-2(a-1)2+a(a-3).

四、解答与证明题

23.已知：如图，DG±BC,AC±BC,EF±AB,Z1=Z2,求证：CD

±AB.

证明：VDGXBC,AC±BC(已知)

ZDGB=ZACB=90°(垂直定义)

.•・DG〃AC()

AZ2=()

VZ1=Z2(已知)

AZ1=Z(等量代换)

.•.EF/7CD()

AZAEF=Z()

VEFXAB(已知)

AZAEF=90°()

AZADC=90°()

ACD±AB()

24.仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x,-4x+m有一个因式是（x+3）,求另一个

因式以及m的值.

解：设另一个因式为（x+n）,得

x2-4x+m=（x+3）（x+n）

则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n

•[n+3=-4

liri=3n

解得：n=-7,m=-21

「・另一个因式为（x-7）,m的值为-21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2X2+3X-k有一个因式是，求另一个因式以及k

的值.

五、应用探究题

25.已知：ZM0N=40°,0E平分NMON,点A、B、C分别是射线

OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点0重合)，连接AC交射线

(1)如图1,若AB〃ON,则

①NAB0的度数是；

②当NBAD二NABD时，x=；当/BAD二NBDA时,

如图2,若ABXOM,则是否存在这样的x的值，使得4ADB中有两

个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.

26.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种

型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段销售数量销售收入

A种型号B种型号

第一周3台5台1800元

第二周4台10台3100元

(进价、售价均保持不变，禾润二销售收入-进货成本)

(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共

30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400

元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是

（）

A.5,1,3B.2,4,2C.3,3,7D.2,3,4

考点：三角形三边关系.

专题：应用题.

分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可.

解答：解：A、3+K5,不能构成三角形，故A错误；

B、2+2=4,不能构成三角形，故B错误；

C、3+3<7,不能构成三角形，故C错误；

D、2+3>4,能构成三角形，故D正确，

故选：D.

点评：本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第

三边，任意两边之差小于第三边.

2.计算3.8X107-3.7X107,结果用科学记数法表示为()

A.0.1X107B.0.1X106C.1X107D.1X106

考点：科学记数法一表示较大的数.

分析：直接根据乘法分配律即可求解.

解答：解：3.8X107-3.7X107

=(3.8-3.7)X107

=0,1X107

二IXICT.

故选：D.

点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式

为aXlO11的形式，其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.注意灵活运用运算定律简便计算.

3.下列运算中，正确的是()

A.x3,x2=x5B.(x2)3=x5C.2X3-FX2=XD.-(x-1)=

-x-1

考点：整式的除法；去括号与添括号；同底数嘉的乘法；塞的乘

方与积的乘方.

分析：分别利用整式的除法、去括号和添括号的法则及塞的有关

运算性质进行运算即可.

解答：解：A、x3-x2=x3+2=x5,故本选项正确；

B.(x3)2=x3X2=x6,故本选项错误；

C、2x3-i-x2=2x3-2=2x,故本选项错误；

D、-(x-1)=-x+1,故本选项错误；

故选A.

点评：本题考查了整式的除法、去括号和添括号的法则及塞的有

关运算性质，是基础题，熟记各性质与完全平方公式是解题的关

键.

4.下列关于不等式2x+4>4x的解集在数轴上表示正确的是()

A.-10123B.-10123

c―।-।­।~।~―।—।——►「一।~।~।~।~i~।~।——►

C.-10123D.-10123

考点：在数轴上表示不等式的解集.

专题：数形结合.

分析：先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示

方法画出图示即可求得.

解答：解：2x+4>4x

移项，得

2x-4x>-4,

合并同类项，得

-2x>-4,

不等式的两边同时除以-2,不等号的方向改变，得

x<2；

・•・在数轴上表示为：

_I_L」_|_।--

-10123；

故选A.

点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集.不等式的解集在

数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“三”实心

圆点向右画折线，“V”空心圆点向左画折线，“W”实心圆点向

左画折线.

5.如图，已矢口L〃L,NA=40°,Nl=60°,则N2的度数为()

A.40°B.60°C.80°D.100

考点：平行线的性质；三角形的外角性质.

分析：根据两直线平行，内错角相等可得N3=N1,再根据三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得

解.

解答：解：Vh//12,

.•.Z3=Z1=6O°,

AZ2=ZA+Z3=40°+60°=100°.

故选：D.

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

6.二元一次方程x-2y=l有无数多个解，下列四组值中不是该方

程的解的是()

A.[X°1B.(x=1C.(x=1D,(x=-1

厂-彳ly=lly=0(y="1

考点：二元一次方程的解.

专题：计算题.

分析：将x、y的值分别代入x-2y中，看结果是否等于1,判断

x、y的值是否为方程x-2y=l的解.

解答：解：A、当x=0,y=7时，x-2y=0-2X(-1)=1,是方

22

程的解；

B、当x=l,y=l时，x-2y=l-2X1=-1,不是方程的解；

C、当x=l,y=0时,x-2y=l-2X0=1,是方程的解；

D、当x=T,y=-1时，x-2y=-1-2X(-1)=1,是方程的解;

故选:B.

点评：本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元

一次方程的解，并会把x,y的值代入原方程验证二元一次方程的

解.

7.已知四个命题：①若aVb,则-5+a>-5+b；②直角三角形只

有一条高线；③对顶角相等；④三角形的一个外角一定大于三角

形的内角.其中真命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点：命题与定理.

分析：分别利用不等式的性质以及直角三角形高线的定义和对顶

角以及三角形外角的性质分析得出即可.

解答：解：①若aVb,则-5+aV-5+b,故此选项错误；

②直角三角形有3条高线，故此选项错误；

③对顶角相等，正确；

④三角形的一个外角大于它不相邻的内角.

故选:A.

点评：此题主要考查了命题与定理，正确掌握三角形的相关性质

是解题关键.

8.下列从左到右的变形是因式分解的是()

A.(x+1)(x-1)=x2-1B.(a-3)(a+7)=a2+4a-21

C.x2+x+l=(x+1)2D.3x3-6X2+4=3X2(x-2)+4

42

考点：因式分解的意义.

分析：利用因式分解的定义求解即可.

解答：解：由因式分解的定义可得x?+x+止(x+D,是因式分解.

42

故选：C.

点评：本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟记因式分解的

定义.

9.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()

A.17B.15C.13D.13或17

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.

专题：分类讨论.

分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰

三角形的腰为3；当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得

到其周长.

解答：解：①当等腰三角形的腰为3,底为7时，3+3<7不能构

成三角形；

②当等腰三角形的腰为7,底为3时，周长为3+7+7=17.

故这个等腰三角形的周长是17.

故选：A.

点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进

行分类讨论.

10.4ABC中BC边上的高作法正确的是（）

考点：三角形的角平分线、中线和高.

分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线,

顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答.

解答：解：为AABC中BC边上的高的是D选项.

故选D.

点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的

定义是解题的关键.

11.下面是创意机器人大观园中十种类型机器人套装的价目

表.“六一”儿童节期间，小明在这里看好了⑤型机器人套装，爸

爸说：“今天有促销活动，八折优惠呢！你可以再选1套，但两套

最终不超过1500元/'那么小明再买第二套机器人最多可选择的

类型有（）

型号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨（10）

价格/元180013501200800675516360300280188

A.5种B.8种C.9种D.6种

考点：一元一次不等式的应用.

分析：根据题意结合两套最终不超过1500元，得出不等式求出

即可.

解答：解：设第2套机器人价格为x元，由题意可得：

0.8（x+675）<1500,

解得：xW1200,

・•・小明再买第二套机器人最多可选择的类型有8种.

故选:B.

点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意表示出

两套机器人的实际价格是解题关键.

12.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆

放,则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是(用含a、

P

图②

A.(a+b)2B.(a-b)2C.2abD.ab

考点：整式的混合运算.

分析：用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可.

解型.解.(a+b)2_4X(a-b)2=&2+2&匕+/-afab+b.

•2444

二4ab

=ab,

故选D.

点评：本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正

方形的边长是解题的关键.

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

13.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如

果Nl=35°,那么/2是55.度.

考点：平行线的性质.

专题：计算题.

分析：先根据直角定义求出N1的余角，再利用两直线平行，同

位角相等即可求出N2的度数.

解答:解：如图，•・•/1=35°,

AZ3=90°-Zl=55°,

•・•直尺两边平行，

.-.Z2=Z3=55°（两直线平行，同位角相等）.

故答案为:55°.

点评：本题与实际生活联系，主要考查平行线的性质，需要熟练

掌握.

14.如图，在aABC中，ZC=40°,CA=CB,过A点作EA〃BC,则

ZEAB=70°.

考点：平行线的性质；等腰三角形的性质.

分析：先根据在4ABC中，ZC=40°,CA=CB求出NABC的度数，

再由平行线的性质即可得出结论.

解答：解：•.•在AABC中，ZC=40°,CA=CB,

AZABC=18Q°~40°=70°.

2

•「EA〃BC,

AZEAB=ZABC=70°.

故答案为：70.

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平

行，内错角相等.

15.如图，将AABC平移到B'Cz的位置（点B，在AC边上）,

若NB=55。，ZC=100°,则NAB，A，的度数为25

考点：平移的性质.

分析：根据三角形的内角和定理求出NA,再根据平移的性质可

得AB〃A，B，，然后根据两直线平行，内错角相等可得NAB，A，

二NA.

解答：解：VZB=55°,ZC=100°,

AZA=180°-ZB-ZC=180°-55°-100°=25°,

•「△ABC平移得到BzC,

，AB〃A/B’,

AZABZA，=ZA=25°.

故答案为:25.

点评：本题考查了平移的性质，三角形的内角和定理，平行线的

性质，熟记平移的性质得到AB〃A，B，是解题的关键.

16.若(x-3)Ja+bx+cx2+dx:则a+b+c+d=-8.

考点：代数式求值.

分析：利用赋值法，可取x=l,代入可求得答案.

解答：解：(x-3)3=a+bx+cx2+dx3,

「・可取x=l,代入可得(-2)3=a+b+c+d,

即a+b+c+d=-8.

故答案为：-8.

点评：本题主要考查赋值法的应用，即对题目中所给参数取特殊

值从而达到解决问题的方法.

17.若-2a74与5a/2b2m+n可以合并成一项，则＞二1.

考点：合并同类项；解二元一次方程组.

分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得小

n的值，根据乘方，可得答案.

解答：解：♦・•-2a%4与5a“2b2m+n可以合并成一项，

•(irFn+2

14=2irri-n

解得：了2

In=0

..m=2=1.

故答案为：1.

点评：本题考查了合并同类项，同类项是字母相同且相同字母的

指数也相同是解题关键.

18.若方程组俨+5尸k+2的解X、y的值互为相反数，则k的值为-

(2x+3y=k

3.

考点：二元一次方程组的解.

分析：先把k当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围

得到关于k的一元一次方程，求出k的值即可.

解答：解：解这个方程组的解为

\=2k-1

<

y=4-k

因为x、y的值互为相反数，

所以可得2k-l=k-4

解得：k=-3

故答案为：-3.

点评：本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次方程，先把

k当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于k的方程求

出k的值是解答此题的关键.

19.三角形的两边长分别为8和6,第三边长是一元一次不等式

2x-1<9的正整数解，则三角形的第三边长是3或4.

考点：三角形三边关系；一元一次不等式的整数解.

分析：先求出不等式的解集，再根据x是符合条件的正整数判断

出x的可能值，再由三角形的三边关系求出x的值即可.

解答：解：2x-l<9,

解得：xV5,

•「X是它的正整数解，

・・・x可取1,2,3,4,

根据三角形第三边的取值范围，得2<xV14,

x=3,4.

故答案为：3或4.

点评：本题综合考查了求不等式特殊解的方法及三角形的三边关

系，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键.解不等式应根

据不等式的基本性质.

20.观察下列关于自然数的等式：

32-4X12=5①

52-4X22=9②

72-4X3=130-

根据上述规律请你猜想的第n个等式为2-41?=411+1（用含n

的式子表示）.

考点：规律型：数字的变化类.

分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平

方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被

减数的底数的2倍减1,由此规律得出答案即可.

解答：解：（1）32-4Xl2=5①

52-4X22=9②

T-4X32=13③

•••

所以第n个等式为：2-4n2=4n+l,

故答案为：2-如2=如+1.

点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利

用规律解决问题.

三、解答题

21.(1)计算：(-2015)°+2-2-(|)2+|3.14-Ji

1-2(x-1)>x

解不等式组©把解集在数轴上表示出来，并求它的

整数解.

-6-5-4-3-2-10123456

考点：解一元一次不等式组；实数的运算；零指数累；负整数指

数幕；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解.

分析：（1）根据零指数塞，负整数指数幕，有理数的乘方，绝

对值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；

求出每一不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

解答：解：（1）原式=1+2-*五-3.14

44

=Ji-4.14；

•・•解不等式①得：X<L

解不等式②得：xN-5,

・•・不等式组的解集为-5<x<L

在数轴上表示不等式组的解集为：L-hU-id!J3，户,

不等式组的整数解为-5,-4,-3,-2,-1,0.

点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组

的解集，不等式组的整数解，零指数塞，负整数指数幕，有理数

的乘方，绝对值的应用，能正确利用所学的知识点进行计算是解

此题的关键.

22.已知凿是方程2x-所9的一个解’解决下列问题:

(1)求a的值；

化简并求值：(a-1)(a+1)-2(a-1)2+a(a-3).

考点：二元一次方程组的解；整式的混合运算一化简求值.

分析：(1)把x、y的值代入方程可求得a的值；

根据乘法公式先化简，再把a的值代入求值即可.

解答：解：⑴・・中二3是方程2x-ay=9的一个解，

I尸1

二.6-a=9,解得a=-3；

(a-1)(a+1)-2(a-1)2+a(a-3)

=a"-1-2(a,2-2a+l)+a2-3a

二a"-1-2a"+4a-2+a-3a

=a-3,

把a=-3代入上式可得：原式二-3-3-6.

点评：本题主要考查方程解的概念，掌握方程的解满足方程是解

题的关键.

四、解答与证明题

23.已矢口：如图，DG±BC,AC±BC,EF±AB,Z1=Z2,求证：CD

±AB.

证明：VDGXBC,AC±BC（已知）

ZDGB=ZACB=90°（垂直定义）

:・DG〃AC（同位角相等，两直线平行）

AZ2=ZACD（两直线平行，内错角相等）

VZ1=Z2（已知）

Z.Z1=ZACD（等量代换）

:・EF〃CD（同位角相等，两直线平行）

AZAEF=ZADC（两直线平行，同位角相等）

VEFXAB（已知）

AZAEF=90°（垂直定义）

AZADC=90°（等量代换）

.-.CDXAB（垂直定义）

考点：平行线的判定与性质；垂线.

专题：推理填空题.

分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90。

角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得NADC=90°,

即可得CDXAB.

解答：解：证明过程如下：

证明：VDGXBC,ACXBC（已知）

ZDGB=ZACB=90°（垂直定义）

.,.DG//AC（同位角相等，两直线平行）

.\Z2=ZACD（两直线平行，内错角相等）

VZ1=Z2（已知）

.\Z1=ZACD（等量代换）

.\EF〃CD（同位角相等，两直线平行）

AZAEF=ZADC（两直线平行，同位角相等）

VEFXAB（已知）

VZAEF=90°（垂直定义）

AZADC=90°（等量代换）

.,.CDXAB（垂直定义）.

点评：利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂

直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本

方法.

24.仔细阅读下面例题，解答问题:

例题：已知二次三项式x,-4x+m有一个因式是（x+3）,求另一个

因式以及m的值.

解：设另一个因式为（x+n）,得

x2-4x+m=（x+3）（x+n）

则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n

•[n+3=-4

[nF3n

解得：n=-7,m=-21

「・另一个因式为（x-7）,m的值为-21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2X2+3X-k有一个因式是，求另一个因式以及k

的值.

考点：因式分解的意义.

专题：阅读型.

分析：根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式

x2-4x+m的二次项系数是1,因式是（x+3）的一次项系数也是1,

利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子2X2+3X-k的二次项

系数是2,因式是的一次项系数是2,则另一个因式的一次项系数

一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.

解答：解：设另一个因式为（x+a）,得

2X2+3X-k=（x+a）

则2X2+3X-k=2x2+x-5a

2a-5=3

-5a=-k

解得：a=4,k=20

故另一个因式为（x+4）,k的值为20

点评：正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的

关键.

五、应用探究题

25.已知：ZM0N=40°,0E平分NM0N,点A、B、C分别是射线

0M、0E、ON上的动点（A、B、C不与点0重合），连接AC交射线

（1）如图1,若AB〃ON,则

①NAB0的度数是20°；

②当NBAD二NABD时，x=120°；当/BAD二NBDA时，x=_

60°.

如图2,若ABX0M,则是否存在这样的x的值，使得4ADB中有两

个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.

考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内

角和定理.

专题：计算题.

分析：利用角平分线的性质求出NABO的度数是关键，分类讨论

的思想.

解答：解：（1）①•.•/M0N=40°,OE