新教材2022年高中数学苏教版必修第一册练习：8 . 2 函数与数学模型

第8章函数应用

8.2函数与数学模型

8.2.1几个函数模型的比较

8.2.2函数的实际应用

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

L某种细胞分裂时，由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…现有2个这样的细胞，分裂尤次后得到细胞

的个数y与x的函数关系是（）

A.y=2xB.y=2xl

C.y=2xD.y=2x+1

S1]D

|解析|分裂一次后由2个变成2x2=22（个），分裂两次后变成4x2=23（个），…，分裂尤次后变成2x+1个.

2.（2021广西河池高一期末）某化工原料厂原来月产量为100吨，一月份增产20%,二月份比一月份减

产10%,则二月份产量为（）

A.106吨B.108吨

C.110吨D.112吨

域折I因为化工原料厂原来月产量为100吨，一月份增产20%,所以一月份的产量为100x（1+20%）吨.

又因为二月份比一月份减产10%,所以二月份的产量为100x（l+20%）x（l-10%）=l08（吨）.

故选B.

3.（2021山东潍坊高三一模）在一次数学实验中，某同学采集到如下一组数据：

x-2-1123

vO.240.512.023.988.02

在以下四个函数模型（。力为待定系数）中，最能反映函数关系的是（）

.,nb

A.y=a+bxn.y=a+-

C.y=a+\ogbXD.y=a+bx

奉D

林福根

y

8-

2-・

-2-\0123~x

据点在坐标系中的特征可以知道，当自变量每增加1时,y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除

A;由图象不具有反比例函数特征，排除B;因为自变量有负值，排除C;随着x的增大,y增长速度越来越

快，所以符合指数函数图象的特征,D正确.故选D.

浮％v4

4.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:min）为八元）=1V（4。为常数）.已知工

而久"

人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时15min,那么c和A的值分别是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

gg]D

解析由题意知,组装第A件产品所需时间为看=15,故组装第4件产品所需时间为总=30,解得c=60.将

c=60代入[=15,得4=16.故选D.

5.（2021江西九江高一期末）某超市元旦期间搞促销活动，顾客购物总金额不超过500元，不享受任何

折扣;如果顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计

计算：

可享受的折扣优惠金折扣

额率

不超过400元的部分10%

超过400元的部分20%

若某顾客在此超市获得的折扣金额为60元，则此人购物实际所付金额为（）

A.940元B.1000元

C.1140元D.1200元

gg]A

___（0,0<x<500,

龌明设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元,则y=0.1（x-500）,500<x<900,当

（.0.2（x-900）+40,x>900,

x=900时,y=0.1x（900-500）=40,>60>40,.：x>900,.：0.2（x-900）+40=60,解得x=l000,故此人购物实际

所付金额为1000-60=940（元），故选A.

6.某市出租车收费标准如下:起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）;超过3km

但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每

次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了

km.

(9,0<%<3,

阿丽设出租车行驶xkm时，付费y元,则y=8+2.15(%-3)+1,3<%<8,由>=22.6,解得尤=9,

(.8+2.15X5+2.85(x-8)+l,x>8,

此次出租车行驶了9km.

7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的★要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数

是.(1g2=0.3010)

触物设至少要洗尤次，则(1-勺“<圭，

1

所以X27A/3.322,所以需4次.

电2

8.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以

表示为函数v=，og3就-lgxo,单位是km/min,其中尤表示候鸟每分钟耗氧量的单位数两表示测量过程

中候鸟每分钟的耗氧偏差.(参考数据:1g2=0.30,3/3.743•餐4.66)

(1)若沏=2,候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？

(2)若沏=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位？

(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min,雌鸟的飞行速度为1.5km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是

雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？

触11)将xo=2,x=8100代入函数式可得

1

v=-log381-lg2=2-lg2-1.70,

故此时候鸟飞行速度为1.70km/min.

⑵将为o=5,v=O代入函数式可得

。4083高在5，

即log3矗=21g5=2-(l-lg2)=1.40.

所以高x314=4.66,于是后466.

故候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为466个单位.

(2.5=|log3-^-lgx0,

(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为XI,雌鸟每分钟的耗氧量为X2,依题意可得《2100

(13司嗝益」g久。，

两式相减可得1=#(吆32于是现=9.

N%2x2

故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的9倍.

B级关键能力提升练

9.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率

尸与加工时间f（单位:分钟）满足函数关系尸=。产+6+。（/仇。是常数），如图所示记录了三次实验数据，根

据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）

P

0.8-----------------f

0.7-----------［；

0.5-------------

。345〃冽

A.3.50分钟B.3.75分钟

C.4.00分钟D.4.25分钟

(0.7=9。+3b+c,

解丽依题意有0.8=16a+4b+c,

(.0.5=25a+5b+c,

解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.

所以P=-0.2/2+1.5f-2=-|(t-y)2+^|.

所以当7=9=3.75时,P取得最大值罪.

4lo

即最佳加工时间为3.75分钟.

10.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a,经过f天后体积V与天数

/的关系式为V=ee叱已知新丸经过50天后，体积变为♦.若一个新丸体积变为捺°,则需经过的天数为

（）

A.125B.100C.75D.50

葬C

____]

解析由已知，得芈,：e/=O°.

设经过t\天后，一个新丸体积变为条,则捺。

£1

,*=5=就,

•4H，仁75.

11.（2021湖北高三月考）2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在我国文昌航天发射场

成功发射,飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体

采样返回之旅.已知火箭的最大速度V（单位:km/s）与燃料质量M单位:kg）、火箭质量徵（单位:kg）的函

数关系为片21n(1+2),若已知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为11km/s,则火箭需要加注

的燃料为(参考数值为In2匈69,In243.69*5.50,结果精确到0.01)()

A.243.69tB.244.69t

C.755.441D.890.23t

解析|n=21n(l+'),贝，|ll=21n(l+^^j,所以l+^^=e55,解得〃=3100(e55-l)=3100x243.69=755

439（kg）M55.44（t）.故选C.

12.（2021福建福州高一期末）2020年10月1日至8日，央视推出大型主题报道《坐着高铁看中国》，8

天8条高铁主线，全景式展示“十三五”规划成就和中国之美.我国高铁技术在世界上遥遥领先，高铁运

行时不仅速度比普通列车快，而且噪声小.我们知道比较适合生活的安静环境的声强级〃噪音级）为

30-40分贝（符号:dB）,声强/（单位:W/n?）与声强级〃单位:dB）的函数关系式为/=bJ0"（a力为常数）.某

型号高铁行驶在无村庄区域的声强为IO-"w/n?,声强级为68dB,驶进市区附近降低速度后的声强

为IO-。w/n?,声强级为55dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强最大为

()

A.109W/m2B.108W/m2

C.107W/m2D.106W/m2

而由题意可知世::=吁曹'解得E=所以/=10"10°口=10°312,所以当L取最大值40

----------110-6.5="1055a,3

时,/取得最大值1001x40-12=1（）-8.故选B

13.（2021山东泰安高三期末）2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指

导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的

标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验,一般情况下，

某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型

»=[40Sin（9）+13,0-%<2,假设该人喝一瓶啤酒后至少经过“（aGN*）小时才可以驾车，则n的

9Oeo5x+14,x>2.

值为（参考数据：ln15幺71,In30x340）（）

-酒精含量/(mg/100mL)

60

••••

40•；•••

20-•・・・

.・・.

(]\246810121416^

时间/h

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类阈值/(mg/100

别mL)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+oo)

A.7B.6C.5D.4

ggB

|解析|由散点图可知,该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量逐渐增大，则

（n>2,—2,

l90e-°-5n+14<20,即（e-°-5n</

解得n>21n15^2x2.71=5.42,

:%GN*,."的最小值为6,故至少经过6小时才可以驾车.故选B.

14.（多选）（2021江苏常州高一期末）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查,

若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可

以定价为（）

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

S1]BC

龌册设定价为x元,则销售量为10-0.5x^|=15-2.5x,

销售收入为人x）=（15-2.5x）x

大2.5）=21.875,不满足题意；

.3）=22.5,满足题意;

大3.2）=22.4,满足题意；

式3.5）=21.875,不满足题意.

故选BC.

15.（多选）为预防流感病毒,学校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25

mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y（单位:mg）随时间x（单位:h）的变化情况

如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=^a为常数），则

下列说法正确的是（）

A.当0WxW0.2时,y=5尤

,1

B.当x>0.2吐尸瓦

C.教室内持续有效杀灭病毒时间为1小时

D.喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒

答案|ABD

解近在药物释放过程中,y与工成正比，设，当x=0.2时,y=l,所以女二5,所以y=5x,故A正确；

因为药物释放完毕后,y与1的函数关系式为>=?〃为常数），当x=0.2时,y=l,所以4总所以y=《,

故B正确；

当0WxW0.2时,y=5x>0.25,解得x>0.05,持续时间为0.2-0.05=0.15;

1

当尤>0.2时尸盘>0.25,解得x<0.8,持续时间为0.8-0.2=0.6,所以总持续时间为0.6+0.15=0.75,故

C错误；

当尤>0.05小时，即喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒，故D正确.

故选ABD.

（多选）（2021浙江杭州高一期末）如图,某池塘里浮萍的面积y（单位:m?）与时间〃单位:月）的关系

为>=浦.关于下列说法正确的是（）

A.浮萍面积每月的增长率为2

B.浮萍每月增加的面积都相等

C.第4个月时，浮萍面积就会超过80m2

D.若浮萍蔓延到2m2,4m2,8n?所经过的时间分别是AJ2J3,则2攵=人+白

|答案|ACD

回折|将点（1,3）的坐标代入函数y=a'的解析式，得储=3,函数的解析式为y=3’.

&九+1

对于A,由上—=2可得，浮萍每月的增长率为2,A正确;

对于B,浮萍第1个月增加的面积为3i-30=2（m2）,第2个月增加的面积为32-31=6^2）,2^6,6错误;

对于C,第4个月时，浮萍的面积为34=81>80,C正确；

对于D,由题意可得3tl=2,3。2=4,30=8,

所以（3»2）2=3〃x3t3,

即32t2=3"+凡所以2t2=ti+"D正确.

故选ACD.

17.2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则年我国人口

将超过20亿.（lg2»0.3010,1g3-0.4771,1g7«0.8451）

答案2037

解析由题意，得14(l+1.25%r2008>20,

1All

即尤-2008>篇=■~28.7,

喘41g3-31g2-l

解得x>2036.7,又xeN,故x=2037.

18.（2021浙江高一开学考试）衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸挥发

后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间7（单

位:天）和剩余的体积丫的关系式为T=Qn学（其中常数C>0,%是1颗新丸的体积）,1颗新丸放置30天

后，剩余的体积变为原来的称且樟脑丸之间互不影响,那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀

效果，则应该在衣柜里一次性放置至少颗樟脑丸.

|解析|由题意得30=Cln¥=Clng,

设120天后1颗新丸剩余的体积为原来的工

则120=Cln^=-ClnZ

由⑦②联立可得In4=41碎

4

可得;1<九41所以至少需要4颗.

43

19.（2021云南昭通云天化中学高一期末）某花卉种植基地为了增加经济效益，决定对花卉产品以举行

展销会的方式进行推广、促销.经分析预算，投入展销费为x万元时，销售量为m万个单位，且

〃片竽（0〃W4）,假设培育的花卉能全部销售完.已知培育比万个花卉还需要投入成本（2〃什1）万元（不

含展销费）,花卉的售价为（11+5）万元/万个单位.（注:利润=售价x销售量-投入成本-展销费）

（1）试求出该花卉基地利润y（单位:万元）与展销费为x（单位:万元）的函数关系式并化简；

（2）求该花卉基地利润的最大值，并指出此时展销费为多少万元.

魁（1）丫=机（11+'）-（2m+l）-x=9:w+3-x=9x^|^+3-x,.：y=21-（x+（0,4].

（2）由（1）得y=2L（x+£）,尤e（0,4],

:'x+2\2V^=6,当且仅当尤=3时，等号成立，

X

所以当尤=3时,该花卉基地利润的最大值为15万元,此时展销费为3万元.

20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单

位:千米4寸）是车流密度x（单位:辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时

车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米4寸.研究表明:当20WxW200时，车

流速度v是车流密度x的一次函数.

⑴当04W200时,求函数可尤）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位:辆芥寸成x）=xw（x）可

以达到最大,并求出最大值.（精确到1辆诈力

敏1）由题意，当0«20