自考线性代数(经管类)重点总结与串讲及考点突破

线性代数（经管类）重点总结

行列式4

1、1.1.1二阶行列式：4

2、三阶行列式4

3、定理1.2.1：4

4、三角形行列式：4

5、行列式的性质：5

6、范德蒙二阶行列式5

7、范德蒙三阶行列式5

8、行列式解法总结6

9、定理1.4.1：6

10、定理1.4.2（克拉默Cramer法则）（前提条件：未知数个数和方程个数相等）：6

11、定理1.4.3：6

矩阵（矩阵不能做分母，只有方阵才可以取行列式）7

1、各种类型的矩阵7

2、矩阵的同型8

3、矩阵的加减法8

4、矩阵的数乘运算8

5、矩阵的乘法9

6、方阵的嘉9

7、矩阵的转置10

8、对称阵和反对称阵10

9、方阵的行列式（只有方阵才可以取行列式）10

10、方阵多项式10

11、方阵的逆矩阵（充分必要条件是只有方阵才有可逆矩阵，可逆矩阵是惟一的，是数的

倒数的推广）11

12、分块矩阵（表示法：（Aij）rXs）12

13、矩阵的初等变换（包括行、列的变换）（求解线性方程组，只能行变换，不能列变

换）14

14、初等方阵（初等方阵都是可逆阵）15

15、用初等变换法求逆矩阵16

16、用初等变换法求解矩阵方程16

17、矩阵的秩（用初等行、列变换将矩阵化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的

非零行的行数。）16

向量空间18

1、n维向量的概念18

2、n维向量的线性运算（即向量的加法运算及数乘运算的统称）（与矩阵的运算性质完全

一样）18

3、向量的线性组合19

4、线性相关与线性无关（实质上是其对应的齐次线性方程组是否有非零解，有非零解即线

性相关）19

5、极大无关组20

6、向量组的秩21

7、向量空间23

线性方程组（齐次方程组必有0解，而非齐次方程组未必有解）25

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：25

齐次线性方程组解的性质：25

齐次线性方程组AX=O的基础解系：（非常重要）25

求方程组的基础解系、通解的步骤：26

非齐次线性方程组有解的充要条件27

非齐次线性方程组解的性质28

非齐次方程组AX=B的通解的结构29

求非齐次线性方程组通解的方法29

特征值与特征向量（只有方阵才有特征值和特征向量）29

定义和充分必要条件（Ap=、p,其中P为非零的n维列向量，充要条件）29

关于特征值和特征向量的若干结论：30

求特征值和特征向量的一般方法32

相似矩阵的定义则A〜B（其中P为可逆阵）33

相似矩阵的性质：34

方阵与对角阵相似（对角阵，其中P必须可逆，且P称为变换矩阵）（n阶方阵A与对角

阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。）（对角阵的转置仍是对角阵）

34

判断是否与对角阵相似、求变换矩阵P、求相似标准形A的方法：35

向量内积的定义（a与B的的内积是一个实数，所以内积也称数量积。）36

向量内积的性质37

向量的长度的定义37

向量的长度的性质37

向量的单位化（把一个向量单位化为单位向量）37

向量的正交（若（a,B）=0,则称向量a与B正交，记为a）38

正交向量组（不含零向量，且任意两个向量都正交（两两正交））38

标准正交向量组（正交向量组中的每一个向量都是单位向量）38

施密特正交化手续（将-一个线性无关向量组，转化成与它等价的正交向量组）（掌握）38

正交矩阵的定义（充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组，即：所有向量

两两正交，每一个向量都是单位向量。）39

正交矩阵的性质（都是正交阵，正交阵必有相同的特征值。）39

判断矩阵是否为正交矩阵（看是否：矩阵中所有向量两两正交，每一个向量都是单位向量）

40

正交相似（其中P为正交阵，称A为B的正交相似标准形）40

实对称矩阵的性质（实对称阵又称对称阵）（实对称阵一定正交相似于对角阵）40

求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形41

实二次型与矩阵合同43

实二次型及其矩阵43

二次型的标准形（只含平方项，不含交叉项的二次型）44

用正交变换化二次型成标准形（x=Py（其中P是正交阵），使）44

用正交变换法将二次型化为标准形的方法、步骤：44

矩阵的合同（，则A与B合同（其中P为可逆阵））47

判断两个同阶实对称矩阵是否合同的方法（看它们的正惯性指数和负惯性指数的个数是否相

等）47

用配方法化二次型成标准形47

二次型的规范形48

二次型的标准型化为规范形的方法48

二次型的惯性定理（对称矩阵A'jB合同的充分必要条件是它们有相同的秩、正惯性指数、

负惯性指数。）（秩=正惯性指数+负惯性指数；符号差=正惯性指数-负惯性指数）

49

正定二次型、正定矩阵定义（如果，且，则称该二次型正定，称此二次型的矩阵A为正

定矩阵，正定矩阵首先必须是实对称阵）49

二次型正定的充分必要条件49

判断二次型是否正定的方法（先看对称矩阵A主对角线上的元素是否都大于0,如果都大

于0,则看各阶顺序主子式是否都大于零）（出题多）50

正定阵的相关结论51

二次型的分类51

对于一般二次型如何判断它正定，半正定，负定，半负定，还是不定，有以下结论：51

常考的题目类型52

第一章52

第二章54

第三章60

第四章65

第五章67

第六章70

行列式

1、1.1.1二阶行列式：

二阶行列式的值=

xl、x2的分分母都是，xl的分子是由的第一列换成原方程组的常数列；x2的分子是由的

第二列换成原方程组的常数列。

2、三阶行列式

:Mil为all的余子式

All为all的代数余子式

Aij=（-1）i+jMij

3、定理1.2.1：

n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即：

的余子式为Mij,代数余子式（i代表元素a所在的行，j表示其所在的列）

4、三角形行列式：

主对角线：上三角行列式：，下三角行列式：

只要是三角形行列式，不管是上三角还是，下三角，它的值都等于主对角线元素的乘积。

如果是副对角线的，要将各列进行互换后变成主对角线的三角，换几次就乘以（-1）的几次

方。

5、行列式的性质：

性质1：转置的行列式与原行列式相等。即

将第1行改为第1第，第2行改为第2列……所得的新行列式称为D的转置行

列式或

性质2：用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1：若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式

之外。

推论2:若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。

推论3任意一个奇数阶反对行列式必为零（偶数阶的没有任何性质！）。（反对称行列式指的

是：其中主对角线上的元素全为0,而主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号）

性质3：行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。

性质4：若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

推论4若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。

性质5：若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行

列式的和

性质6:把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以k加到另一行（列），所得的行列式的

值不变。

（行的变化写在=上面，列的变化写在=下面。）

行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零.（但是如果该

两行、两列的元素相等，则等于行列式的值）

方阵行列式的性质（每年必考）

6、范德蒙二阶行列式

7、范德蒙三阶行列式

三阶范德蒙行列式的值都等于所有xi-xj的乘积，但是i的脚标号大于j

范德蒙行列式就是第一行都是1,第二行是xl,x2,x3,…，xn,第三行是第二行的平方，

第四行是第二行的立方，…第n行是第二行的n-1次方。

8、行列式解法总结

（1）有公因式一定要先提公因式，这样就简单多了。

（2）低阶的数字行列式和简单的文字行列式，想办法造0；

（3）各行元素之和为相同的值的情况，把各列加到第一列；各列元素之和为相同的值的

情况，把各行加到第一行

（4）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况，按这一行这一列进行展开。

（5）展开时：列的变化写在=下面，行的变化写在=上面。

9、定理1.4.1：

对于n阶行列式以下关系：

即：如果行列式的某一行乘以这行元素所对应的代数余子式的和，就等于行列式的值。

如果行列式的某一行乘以其它行元素所对应的代数余子式的和，那么就等于0.

列是同理的。

10、定理1.4.2（克拉默Cramer法则）（前提条件：未知数个数和方程个数相等）：

如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D#0,则方程组有惟一的解，这个

唯一的解的公式为：

其中

Dj就是将系数行列式D中第j列元素对应地换为方程组的常数项bl,b2,...bn得到的行列式。

运用克拉默法则的条件是该方程组的系数行列式D=0,如果D=0,那么就有非零解；如果D

W0,那么就只有零解。

同时，运用克拉默法则求解线性方程组时，要求方程的个数与未知量的个数相等。

11、定理1.4.3：

如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D#0,则该方程组只有零解，没有非

零解。

推论：如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。

即：系数行列式等于0,是n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条

件。

零解就是表小xl=0.x2=0,x3=0,...»xn=0>

非零解就是上式n个解至少有一个不为0。

矩阵（矩阵不能做分母，只有方阵才可以取行列式）

1、各种类型的矩阵

1）系数矩阵（将方程组的系数排列成矩阵）

2）增广矩阵（将方程组的系数、常数项排列成矩阵），给定了线性方程组，就惟一地确定

了它的增广矩阵；反过来，亦同。

3）mXn阶矩阵记为,为mn个数排成的m行n列的数表

4）零矩阵：所有元素都为零的矩阵，

5）行矩阵（n维行向量）：A的行数m=l,则称

6）列矩阵（m维列向量）：A的列数n=l,则称

7）n阶对角矩阵：，对角矩阵必须是方阵

8）数量矩阵：以上n阶对角矩阵中的对角元都相同时，即，记为aEn

9）n阶单位阵：以上数量矩阵中入=1,，称为n阶单位阵。

一般情况下单位矩阵就是指主对角线的元素都为1,其他的都为0。

单位矩阵是对称阵，所以单位矩阵的转置还是单位矩阵。

单位矩阵的行列式等于1（在做题时，要充分利用这条性质）：

n个单位矩阵相乘，结果仍等待单位矩阵。

10）上（下）三角矩阵：三角矩阵必须是方阵

2、矩阵的同型

如果矩阵A、B的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵A与B同型；

若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。

注意：两个矩阵相等和两个行列式相等是不一样的

3、矩阵的加减法

前提条件：矩阵同型。即

只有一阶方阵才是一个数，阶数大于1的方阵与数不能相加，但是n阶方阵与数量矩阵正n

可相加。

计算方法：A元素和对应的B元素相加/相减

加法运算的性质：（和数的运算的性质一样）

1、交换律A+B=B+A。

2、结合律（A+B）+C=A+（B+C）。

3、A+0=0+A=A

4、消去律A+C=B+CA=B

5.负矩阵-A：A+(-A)=(-A)+A=O；A-B=A+(-B)

4、矩阵的数乘运算

数X与矩阵A的乘积记作入A或A入

与行列式的区别：矩阵要用数乘以行列式里的每一个元素；行列式则只要乘以某一行或某一

列的元素。

数乘运算的性质：

1、PA=A

2、设kJ是任意实数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A=klA

3、分配律k(A+B)=KA+kB；(k+l)A=kA+lA

5、矩阵的乘法

充分必要条件：A的列数=B的行数

乘积矩阵C的行数=A的行数；其列数=B的列数。

乘积矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘

积之和：

C11,等于A的第一行的每一个元素乘以B的第一列的对应的元素的和，

C12,等于A的第一行的每-一个元素乘以B的第二列的对应的元素的和，

C13,等于A的第一行的每•个元素乘以B的第三列的对应的元素的和，

C2L等于A的第二行的每一个元素乘以B的第一列的对应的元素的和。

C22,等于A的第二行的每一个元素乘以B的第二列的对应的元素的和，

C31,等于A的第三行的每一个元素乘以B的第一列的对应的元素的和……

矩阵乘法的性质：

(1)矩阵乘法没有交换律，AB不一定等于BA。(要特别注意，这是矩阵乘法和数的乘法

最大的区别)

但对于某些特殊的矩阵(方阵)是乘法可交换的：

①EnA=AEn(单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积可交换)

②(aEn)A=A(aEn)数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换)

(2)结合律(AB)C=A(BC)

(3)分配律(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC

(4)数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)

(5)单位矩阵的作用

两个单位矩阵相乘，还是等于单位矩阵，N个单位矩阵相乘，仍然等于单位矩阵。

(6)两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵(与数的区别：两个非零数的乘积不可能为零)。

当AB=O时，不能推出A=0或B=0

(7)对于方阵，可能可能，…

重点是矩阵乘法没有交换律(由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点).

6、方阵的幕

AO=E

方阵的幕有下列性质:

(1)

(2)

（3）因为矩阵的乘法没有交换律，因此：不一定等于

一般不等于。

一般不等于。

当AB=BA时，必有等于

当A=B时，在满足可乘条件下，必可推出AC=BC,CA=CB,但未必有AC=BC,CA=

BC

（4）n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，即AE=EA,所以

因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B,有以下重要结论：

（1）由A=0,AWO,不能推出B=0

（2）由A2=0,不能推出A=0

（3）由AB=AC,AKO,不能推出B=C

（4）由A2=B2不能推出（A+B）（A-B）=0和A=±B。

7、矩阵的转置

1.;（先转置，再转置会等于原来的矩阵）

2.；（和的转置，等于转置的和，即：先相加减再转置，等于先转置再相加减）

3.；（先数乘后转置，等于先转置后数乘）

4.反序律：。

5.单位矩阵是对称阵，所以单位矩阵的转置还是单位矩阵。

8、对称阵和反对称阵

如果,则称A为实对称（反对称）阵。

任意n阶方阵A都可以惟地分解为一个对称阵和•个反对称阵的和。

任何一个n阶方阵A加上A的转置的和，一定是对称阵；A减去A的转置，一定是一个反

对称阵。

9、方阵的行列式（只有方阵才可以取行列式）

1.;不是满秩的方阵的行列式就等于0,因为如果不是满秩，则经过几次化简后肯定会有

一行为0

2.；（每年必考）

3.。（先乘积后起行列式，等于先起行列式后乘积）虽然AB不一定等于BA,但。

4.IaEnI=a^nIEnI=1（上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积）

5.IAB|=|A|*|B|=0,则必有|A|=0或|B|=0,但未必有A=0或B=0

10、方阵多项式

任意给定多项式和一个n阶方阵A。

定义，称f（A）为A的方阵多项式。

注意：末项必须是数量矩阵aOEn,而不是常数a0

11、方阵的逆矩阵（充分必要条件是只有方阵才有可逆矩阵，可逆矩阵是惟一的，是数的

倒数的推广）

1）可逆矩阵（也称非异，非奇异，满秩）是惟一的，而且只有方阵才有可逆矩阵。

2）方阵A可逆的充分必要条件是.当A可逆时，.

3）方阵A的伴随阵的定义（第一行为原来矩阵第列的代数余子式）

4）重要公式；与A-1的关系：当方阵A可逆时，

（重中之重，每年必考）

5）重要结论：A、B互为可逆矩阵，则，要求一个矩阵的逆矩阵，只要找出一个矩阵与

它相乘等于En；证明两个矩阵是否互为逆矩阵，只要看是否。如：证明A91=B,只要证

明AA-I*B=E就好。

6）可逆矩阵的基本性质：

1.可逆，且A=En

2.AB可逆，（反序性）。

3.A可逆，则也可逆，且。

4.kA也可逆，且。

5.消去律设P是与A,B同阶的可逆矩阵，若PA=PB,则A=B»但PA=BP不能推出

A=B）（矩阵消去律的条件是：P为可逆矩阵；数的消去律的条件是：P不等于0）

6.,

7.,.

8.因为AB=E,故，所以。故A,B都可逆。

9.记住以下二阶矩阵逆矩阵的结论，可当公式用：

（除这个式子外，其余同以下15的结论一样）

10.记住以下分块矩阵的逆矩阵的结论（以下的E均指单位矩阵）

以下结论和以上14的结论一样：

11.初等方阵的逆矩阵:

12、分块矩阵（表示法：（Aij）rXs）

分块矩阵的定义：，这时可记为

分块矩阵的加减：同型矩阵A,B采用相同分块法，则

分块矩阵的数乘：设，则。

分块矩阵的转置：设，则（不但各元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内

部也要转置）

分块矩阵的乘法（与矩阵的乘法一样）：设矩阵A的列数=B的行数，如果对A,B适当分

块，使

。则

其中。

方阵的特殊分块矩阵：（共有三类）

准对角矩阵定义：，其中，均为方阵，阶数可以是不一样的，除这个以外，其它的都是0

矩阵。

两个准对角（分块对角）矩阵的乘积：（前提条件：A和B为同阶方阵）跟普通的两个对角

矩阵乘法一样

设，贝

准对角矩阵的逆矩阵：若Al、A2……可逆，则分块对角矩阵可逆，则

准上（下）三角矩阵的行列式：若。

则（等于主对角线上的每一个主对角块的乘积）

分块矩阵求逆矩阵的方法：设则

例15设3阶矩阵，贝IJ（AT）-1=.

解：

13、矩阵的初等变换（包括行、列的变换）（求解线性方程组，只能行变换，不能列变

换）

定义252分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变

（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；

（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）：

（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。

定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B,贝弥A与B等价，记为A~B。

（只是等价，不是相等）

等价具有：反身性：即对任意矩阵A,有A与A等价；

对称性：若A与B等价，则B与A等价

传递性：若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。

等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价。

两个矩阵等价是不是必须要同时具备以下两个条件：

1、两个矩阵的阶数一样（即：是同型矩阵）

2、两个矩阵的秩一样。

定理251设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为,贝以与为增广矩阵的

方程组同解。（只能是行变换，不能是列变换）（解线性方程组：只要对该方程组的增广矩阵

做相应的行变换。）

矩阵的阶梯形：行最简形：等价标准形：

定理252任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括

行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。

初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最

简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.

14、初等方阵（初等方阵都是可逆阵）

定义254对n阶单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。

以三阶方阵为例

第一种：（包括行变换、列变换）

第二种：（包括行变换、列变换）

第三种：（包括行变换、列变换）

定理2.5.3（1）Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j行（列），即：

（A）对A做一次初等行变换，相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；

（B）对A做一次初等列变换，相当于用一个与这个初等变换相应的n阶

初等矩阵右乘A；

（一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵是指：这个初等矩阵和A做一样的变换）

（2）Di（k）左（右）乘A就是用非零数k乘A的第i行（列）

（3）Tij（k）左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上

(4)Tij(k)右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上

以上定理演示如图：

推论1方阵经初等变换其奇异性不变。

定理2.5.4对于任意的mXn阶矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得

推论2n阶可逆阵(非奇异阵)必等价于单位阵。

定理2.5.5n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。

推论3任意可逆阵A(非奇异阵)只经过有限次的初等行(列)变换就能化成单位阵。

15、用初等变换法求逆矩阵

可以利用以上公式求逆矩阵的原因是：当A是n阶可逆矩阵时，一定可以仅用有限次初等

行变换就能把它化成单位矩阵，即，而用同样的实等行变换又可把单位En化为

注意：用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！而且在求出A?1以后，最

好验证式子AA'l=En,以避免在计算中可能发生的错误。

例6求方阵的逆矩阵。

16、用初等变换法求解矩阵方程

矩阵方程的三种标准形：矩阵方程与普通一元一次方程的差别是：左乘还是右乘，因为矩阵

没有交换律。

(1)第一类矩阵方程：AX=B

(2)第二类矩阵方程：XA=B

(3)第三类矩阵方程：­8=(2则

(1)对第一-类矩阵方程的解法：作分块矩阵对A作初等行变换，变为[E,A71B]

(将A变换为单位阵，B即变成，即为X)。

(2)对第二类矩阵方程的解法：先转化为第一类，即由得，求出进而求出X

(3)对第三类矩阵方程的解法：设Y=XB,得方程AY=C,解出Y,进一步解方程XB=Y

例7求解矩阵方程

变换成：-

17、矩阵的秩(用初等行、列变换将矩阵化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的

非零行的行数。)

A的每个元素都是它的一阶子式，

A的二阶子式，是指随便选两行两列交叉的四个元素构成的行列式；

A的三阶子式，是指随便选三行三列交叉的九个元素构成的行列式。

定义2.6.1矩阵A的非零子式的最高阶阶数称为该矩阵的秩。记为r(A),有时也记为秩

(A)。

关于矩阵的秩，有以下结论：

(1)设A=a(ij)mXn,则r(A)Wmin{m,n}

(2)R(AN)=r(A)。实际上，A与A的转置中的最高阶非零子式的阶数必相同。

(3)n阶方阵A为可逆矩阵|A|#0r(A尸n,所以可逆矩阵常称为满秩矩阵。秩为

m的mxn矩阵为行满秩矩阵。秩为n的mxn矩阵称为列满秩矩阵。(即n阶方阵A满秩的

充分必要条件是A可逆，即。|AIWO)

(4)矩阵的秩、矩阵行向量的秩、矩阵列向量的秩，这三者是相等的。

（5）0矩阵的秩就是0,它没有非零的子式。非零矩阵的秩一定大于等于1。

定理261初等变换不改变矩阵的秩。

推论设A为mXn阶矩阵，P,Q分别为m,n阶可逆矩阵，贝心

r（PA）=r（A）,r（AQ）=r（A）,r（PAQ）=r（A）。

定理2.6.1对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等变换把它化成阶梯形矩阵。

求矩阵的秩的方法：

（D对于只有2行或2列的矩阵：只要看它是否有一个二阶子式是不是不为0,如果有，

则秩为2,因为它只有2行或2列，所以它的秩必须小于等于2.如：的秩等于2.

（2）对于阶数比较高的矩阵可以用初等变换法求矩阵的秩：任意非零矩阵，只要经初等变

换化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的非零行的行数。（注：在求矩阵的秩时，可

以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，只要化简成阶梯形，而不必化成行最简形式。）

例5求矩阵的秩。

向量空间

1、n维向量的概念

定义3.1.1由n个有顺序的数组成的数组，称为一个n维向量，数称为该向量的第i个

分量（向量的维数指的是向量中的分量个数）

,我们分别称它们为行向量，列向量。

定义3.1.2称所有分量都为零的向量0=（0,0,-0）为零向量。

称为的负向量。

定义3.1.3如果n维向量的对应分量都相等，即则称向量a,B相等，记为a=6。

2、n维向量的线性运算（即向量的加法运算及数乘运算的统称）（与矩阵的运算性质完全

一样）

定义3.1.4（向量的加法）（前提条件是：二者的维度一样，都是n维）

定义3.1.4（向量的数乘）ka=ak

向量线性运算的性质（与矩阵的运算性质完全一样）：设a,B,y都是n维向量，k、1是数:

（1）加法交换律a+。=0+a

(2)力口法结合律(a+P)+y=a+(P+Y)

(3)零向量满足a+0=0+a=a

(4)负向量满足a+(-a)=0

(5)1•a=a

(6)数乘分配律k(a+B)=ka+kB

(7)数乘分配律(k+1)a=ka+la

(8)数乘结合律k(1a)=(kl)a=1(ka)

3、向量的线性组合

定义3.1.6设B是一个n维向量，若存在一组数使得则称B是的线性组合，也称B能由线

性表出（或线性表示）。称为组合系数或表出系数。

是任意n维向量。则（记住这个公式）

即任意n维向量组都能由基本单位向量组线性表示。

4、线性相关与线性无关（实质上是其对应的齐次线性方程组是否有非零解，有非零解即线

性相关）

定义3.2.1设是一组n维向量。如果存在一组不全为零的数（其中至少有一人不等于0）

使得（这个0指n维0向量）则称向量组线性相关（其实是指这个等式所对应的齐次方程

组有非零解）。否则，称向量组线性无关。

相关定理：

定理321向量组线性相关的充分必要条件是存在一个（是指存在一个，并不是每一个），

使得它能由该向量组的其它向量线性表示。线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量

都不能表示为其余向量的线性组合.

定理3.2.2设向量组线性无关，向量组线性相关，则B能由向量组线性表出，且表示法惟

O

定理3.2.3线性相关的向量组再任意扩充向量后所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则

整体相关）；设向量组线性无关，则它的任何一-个部分组必线性无关。（整体无关，则部分

无关）（向量组的个数不一样）

定理3.2.4设向量组线性无关，则由它生成的接长向量组必线性无关（向量组的个数一

样，只是维数不一样）（即无关组的接长向量组必为无关组）；设向量组线性相关，则由它

生成的截短向量组必线性相关（即相关组的截短向量组必为相关组）。（接长和截短：可以往

下接，也可以往上接）。

推论4若接长向量组线性相关，必有原向量组线性相关。

判断向量组的线性相关性的方法

（1）一个向量a线性相关；

（2）两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例，即存在数k,使得。=1<8或6=1^。

（2）含有零向量的向量组必线性相关；（虽然含有零向量的向量组必线性相关，但是线性相

关的向量组不一定要含0向量）

（3）向量个数=向量维数时，n维向量组线性相关；（重中之重，每年必考）（只有

向量的个数等于向量的维数时，才可以直接将向量列出行列式，求出行列式的值，只要行列

式的值不等于0,就线性相关）

（4）向量个数>向量维数时，向量组必线性相关；（这是由于当m>n时，齐次线性

方程组Ax=0中的变量个数m大于方程个数n,它必有可以任意取值的自由变量，因此，它

必有非零解。）

（5）向量个数〈向量维数时.，可将向量列成矩阵，然后求这个矩阵的秩，只要秩〈所含向

量的个数则线性相关。

（5）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；

（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；

（7）向量组线性无关向量组的秩=所含向量的个数，

向量组线性相关向量组的秩〈所含向量的个数；

（8）向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

有（没有）非零解。

向量组线性相关：即齐次方程组有非零解（系数行列式=0）；

向量组线性无关：即齐次方程组只有零解，没有非零解。

（系数行列式#0）

（9）n维基本向量组必线性无关（因为它们组成了一个单位矩阵的行列式，单位矩阵的行

列式等于主对角线的乘积，等于1）

5、极大无关组

定义3.3.3设A是一组n维向量.如果A中存在一组向量满足：

（1）线性无关；

（2）在A中，任取一个向量a,则,a必线性相关。

则称为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。（极大无关组不惟一）（也就是说

这个极大无关组任意加一个向量，都能成为线性相关，因此它称为极大）

定理331是向量组T的一个极大无关组，则R与T等价，从而它的任意两个极大无关组也

等价。（要证明二者是否等价，只要证明是否可以相互线性表出）

等价关系具有：反身性；对称性；传递性。即：

（1）反身性：R与R自身等价；

（2）对称性：若R与S等价，则S与R等价（即：若R可以由S表出，那么S也可以由

R表出）

（3）传递性：若R与S等价，S与T等价，则R与T等价（即：若R可以由S线性表出，

SuJ由T线性表出，那么R必可由T线性表出）。

6、向量组的秩

定义向量组的极大无关组所含向量的个数为该向量组的秩，记为KA）（只含零向量的向量

组的秩为0）

定理3.3.3如果向量组S可以由向量组T线性表出，则r（S）Wr（T）。

推论5等价的向量组必有相等的秩。

定理3.3.4矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。（今后统称为矩

阵A魄。）

通过求矩阵的秩来求向量组的秩的方法：把向量组构成行或列的矩阵，然后通过初等变换求

出矩阵的秩。

例5求向量组的秩。

求向量组的极大无关组的方法（非常重要，每次考试都有）

对于列向量组（注意：都是列向量）构成的矩阵（只进行行变换）（变换成行最简形式）

（1）用列向量做成矩阵A；（注意是：歹U）

（2）对A做初等行变换（注意是：行），变换成行最简形式B,使

（3）求出B的秩等于多少，进一步知道其极大无关组所含的向量的个数，一般尽量用前面

的作为它的极大无关组。

（4）A的秩、极大无关组、并将其余向量由该极大无关组线性表示完全与B相同。

因为初等变换不改变矩阵的秩

若线性无关，线性相关，则可以由线性表示。则以为增广矩阵的线性方程组与为增广矩

阵的线性方程组同解，所以，若。

例7（1）求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示

（2）这个向量组有几个极大无关组？

例12设向量组

（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。

所以原向量组的秩为3,为所求的极大无关组。.

例8用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明：即A、B两个矩阵的乘积矩阵的秩小于等于r

（A）,同时小于等于r（B）（有技巧）

证设A为mXn阶矩阵，B为nXk阶矩阵。

（A按列做分块矩阵，变成一行n列）

其中

这表明向量组C能由向量组A线性表出。所以R（AB）WR（A）,

因为。命题得证。

7、向量空间

定义341n维实向量的全体构成的集合称为实n维向量空间，记作。

定义3.4.2设V是的一个非空子集，且满足

（1）若则；（2）若，则

则称V是的子空间（简称为向量空间）。（即对加法、乘法运算封闭。对某运算封闭

是指在所给空间R中，对R中的任何量之间做该种运算后得到的量还在这个空间上。只要

有一个量在这个空间上就说明他是封闭的，要判断一个量是否属于V,只需判别它的一个分

量是否等于V的任意一个分量，如果等于，就是满足封闭运算，即属于V。）

的一个子空间，称为零子空间。

任意一个子空间V中一定包含零向量。

任意个向量空间都是由它的任意一个基（即极大无关组）生成的。

总结，在做证明题取基时，可用单位向量。

定义3.4.3对任意的一组n维向量，由它们的全体线性组合组成的集合

生成的子空间，记为（这里的理解为其中）

定义344设V是的一个向量空间（子空间）。若V中的向量组，满足：

（1）线性无关；

（2）V中的任意一个向量a,都能由线性表出（a,线性相关，且表示法惟一），即

存在惟一一组数，使得。

则称向量组为V的一个基（实际上就是V的极大无关组，这个向量空间的任何一个向

量都可以由它表示），称r为向量空间V的维数（实际上就是这个向量的秩，即它的极大无

关组所包含的向量的个数），称为向量a在这个基下的坐标（实际上就是组合系数）。没

有基，定义为0维（如果向量空间的基确定了，那么这个向量空间的任何一个向量都可以

由这个基线性表出，而且表示法是惟一的。）

例6求中由向量组生成的子空间的基和维数。（其实就是求这个向量组的极大无关组和

秩）

例11已知向量组是的一组基，则向量在这组基下的坐标是.

解考虑，该线性方程组的增广矩阵为

得

所以在这组基下的坐标是（3,2,1）（即）

线性方程组（齐次方程组必有0解，而非齐次方程组未必有解）

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：

1、A为mXn阶矩阵时：注：以下r为系数矩阵A的秩，n是未知数的个数（也是矩阵

A的列数）

（1）Ax=O只有零解的充分必要条件是r（A）=n；此时，Ax=O没有基础解系；

（2）Ax=O有非零解的充分必要条件是r（A）＜n；此时，Ax=O有无穷多个基础解系。

另一种等价的说法：齐次方程组有非零解的充分必要条件就是A的列向量组线性相关

（1）向量组线性无关向量组的秩=所含向量的个数，（向量的个数即矩阵A的列数、未

知数的个数）

（2）向量组线性相关向量组的秩〈所含向量的个数；

2、A为n阶方阵时:

（1）Ax=O只有零解的充分必要条件是（或r（A）=n）

（2）Ax=O有非零解的充分必要条件是（或r（A）＜n）

3、设A是mXn阶矩阵.若m＜n,则齐次方程组AX=O必有非零解.（这是齐次方程组有非

零解的充分条件但不必要）

齐次线性方程组解的性质：

性质1：若都是齐次方程组AX=O的解，则也是齐次方程组AX=O的解。（即加法运算封

闭）

性质2：若是齐次方程组AX=O的解，k是一个数，则也是齐次方程组AX=O的解。（即数

乘运算封闭）

以上性质综合的表示法是：设a,6都是Ax=O的解，则Cla+C2B也是Ax=O的解（C1,

C2为任意常数）（即齐次线性方程组的任意有限个解的任意线性组合必是它的解。）

以上两条性质说明是的一个子空间，所以我们称它为齐次方程组AX=O的解空间，它是齐

次方程组所有的解组成的集合。解空间的维数即这个解空间所包含的解向量的个数，对于齐

次线性方程线来说，就是它的基础解系所包含的解向量的个数。

齐次线性方程组AX=O的基础解系：（非常重要）

定义4.1.1设是齐次线性方程组AX=O的一组解向量。如果它满足：

（1）线性无关；

（2）齐次线性方程组AX=O的的任意一个解，都能由它线性表示。

则称该向量组为齐次线性方程组AX=O的基础解系。（实际上是这个解空间的极大无

关组，也是这个解空间的基）

定理4.1.2

(1)AX=O的基础解系中解向量的个数为：n-r(A),即dimV=n-r

(2)AX=O的任意n-r(A)个线性无关的解向量都是它的基础解系。

(3)如果是AX=O的一个基础解系，则

为任意实数)为AX=O的通解。

基础解系必须同时满足以下三个条件：做证明题要从这三个方面去证明。

(1)向量个数必须是n-r；(n指未知数的个数，1■指A的秩，n-r也是Ax=O的自由未知

量的个数)

(2)它们必须都是Ax=O的解；

(3)它们必须是线性无关的向量组

例2设是齐次方程组AX=O的一个基础解系。证明：

也是AX=O的一个基础解系。

因为可以由线性表示，所以是的线性组合，因为齐次方程组的解空间对于加法运算、数

乘运算都封闭性，所以

掌握(因为第1第是B1,它由乘第1列。)

求方程组的基础解系、通解的步骤：

1、写出系数矩阵A；

2、对A作初等行变换(不能用列变换)化成阶梯形(不需要化成行最简形式)，从而知道

KA)；

3、把各非0行首非0元所在列留在等号左边，除这些以外的全部移到等号右边，得出同解

方程组。如：一个方程组共有n个未乱数，且r(A)为3(即3个方程)，那么等号左边有3

列(即3个未知数)，等号右为的为n-r列(所以有n-r个自由未知数)。如：

4、以上得出的同解方程组的个数与未知数的个数相等，自由未知数可以任意取值，根据克

拉默法则，只要其系数行列式不等于0,则它有唯一的解。

5、分别把某个自由未知量的值取成1,其余自由未知量的值都取成0,代入以上同解方程

组求出基础解第中的某个成员。但必须注意的是，绝对不可以取0解，也不能取线性相关的

解。从而得出基础解系，如：(有几个自由未知数，基础解系就有几个解向量)

6、通解为：

例3求的基础解系和通解。

则Tx=0

记住以下结论：

(1)同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相等的秩。

(2)设A是mXn阶的实矩阵，证明：

(3)设A为mXn阶矩阵，B为nXk阶矩阵,则有：r(A)+r(B)-nWr(AB)Wmin{r(A),r(B)}

非齐次线性方程组有解的充要条件

定理421线性方程组人*=15有解的充分必要条件是

线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是+1

对于n个未知数，m个方程的线性方程组AX=B,有：

1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组AX=B有惟一解；

2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组AX=B有无穷多解；

3）当且仅当时，方程组AX=6无解.

对于n个未知数，n个方程的线性方程组Ax=b。有：

（1）如果，则方程组Ax=b有惟一的解：

（2）如果，当时，方程组有无穷多解。

例6当参数人为何值时，非齐次方程组无解？有惟一解？有无穷多解？求出它的通解。

非齐次线性方程组解的性质

（1）如果都是非齐次方程组Ax=b的解，则是它的导出组Ax=O的解；

（2）如果n是非齐次方程组Ax=b的一个解，是它的导出组Ax=O的解，则是Ax=b的

解。

（3）设。1,。2都是Ax=b的解，贝IJ当kl+k2=l时，kln1+k2"2也是Ax=b的解.

非齐次方程组AX=P的通解的结构

求非齐次线性方程组通解的方法

（1）写出方程组的增广矩阵；

（2）对增广矩阵作初等行变换，将其化为阶梯形；

（3）确定约束未知数和自由未知数；

（4）令所有自由未知数都取零，得非齐次方程组的一个特解；

（5）求出对应齐次方程组（导出组）的基础解系，进而写出原非齐次方程组的通解。

例1求的通解

特征值与特征向量（只有方阵才有特征值和特征向量）

定义和充分必要条件（Ap='p,其中P为非零的n维列向量，充要条件）

定义5.1.1设A是一个n阶方阵，人是一个数。如果存在一个非零的n维列向量p,使得

Ap=、p。则称人为方阵A的一个特征值，称p为A的属于特征值人的特征向量。

1、入是n阶矩阵A的特征值的充分必要条件是

2、齐次方程组的所有非零解都是A属于特征值人的特征向量

3、如果A的每行（列）的元素之和都等于同一个数a,那么A的一个特征值为a.

例3.设3阶矩阵A的每行元素之和均为2,则A必有一个特征值为.

『正确答案』2

解：因为3阶矩阵A的每行元素之和均为2,

例2当时，入=是A的特征值。（正确答案：2）

当时，入=是A的特征值。（正确答案：）（掌握）

定义5.1.2称带参数人的方阵入E-A为方阵A的特征方阵，称为A的特征多项式，称为

A的特征方程。

一元n次方程在复数范围内有n个根，而n阶方阵A的特征值是它的特征多项式的根，特

征多项式是n次多项式，因此任何n阶方阵都有n个特征值（重根按重数进行计算）。

关于特征值和特征向量的若干结论：

(1)0矩阵的所有特征值都等于0。

(2)任何n维非零向量p都是O矩阵的属于特征值0的特征向量。

(3)方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。

(4)三角形矩阵(包括上三角、下三角)的特征值就是它主对角线上的所有元素。

(5)一个向量P不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量。

(6)设是矩阵A的一个特征值，是矩阵A属于特征值的特征向量，是两个任意数，

则当时，也是矩阵A属于特征值的特征向量。即：A