高考真题-理科数学（全国乙卷）2

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学

一、选择题

2+i

1.设1+1+1,则2=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共辗复数即可.

2+ii(2+i)2i-l

【详解】由题意可得z=

l+i2+i51-1+ii2

则彳=1+2i.

故选：B.

2.设集合U=R,集合M={x|x<l},N={x[—l<x<2},则{x|xN2}=()

A.今(MjN)B.NJ由M

C.N）D.MDQ,N

【答案】A

【解析】

［分析］由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x|x>2}即可.

【详解】由题意可得MN={x|x<2},则电（MN）={x|xN2},选项A正确;

^,M={x|x>l},则7^_6/={幻兀>—1},选项B错误；

MN={x|-l<x<l},则6（"cN）={x|x«-l或x»l},选项C错误；

GN={x|xV-l或x22},则MU，,N={x|x<l或x“},选项D错误；

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体ABC。一AAGA中，AB=BC=2,M=3,

点”,/,J,K为所在棱上靠近点4,G，2,4的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体ABC。-A4G9去掉长方体ONIC「LMHB］之后所得的几何体，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故选：D.

x

4.已知/（》）=夺x一e是偶函数，则。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为〃x)=昌为偶函数，则“同―/(—x)=g—匕坐二=止42]=0，

e-1e(,x—1e6—]e(,x—1

又因为X不恒为0,可得e"-e(a-l)A=0-即e'=e(a-1)A'，

则x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

5.设O为平面坐标系坐标原点，在区域｛(再y)[1«/+丁244｝内随机取一点，记该点为A,则直线OA

7T

的倾斜角不大于一的概率为()

4

11八1

A.-B.-C.-D.—1■

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域｛(乂力14/+y2^4｝表示以0(0,0)圆心，外圆半径R=2，内圆半径r=l的圆环，

7T7T

则直线OA的倾斜角不大于一的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角/M0N=—,

44

2x工

结合对称性可得所求概率,41.

r=-----=—

2兀4

6.已知函数/(x)=sin(5+°)在区间小单调递增，直线x=工和x=§为函数y=/(x)的图像的

A.-立B.--C.1D.立

2222

【答案】D

【解析】

5H

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=-L即可得到答案.

12

(兀2兀、

【详解】因为/(X)=Sin(s+⑼在区间k,三单调递增，

T27rjr2兀

所以人=三一2且。＞0,则丁=兀，w=—=2,

2362T

当》=工时，/(x)取得最小值，则2・工+0=2E—色，kEZ,

662

则Q=2E—型，keZ,不妨取％=0,则/(x)=sin[2x-?],

故选：D.

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有

()

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【解析】

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况,

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C：♦A；=120种，

故选：C.

8.已知圆锥PO的底面半径为G，。为底面圆心，PA,P8为圆锥的母线，N4O8=120。，若,.月48的面

积等于当叵，则该圆锥的体积为()

4

A.nB.瓜兀C.3冗D.3a兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】在J^OB中，ZAOB=\20°.而OA=OB=^),取AC中点C,连接OC,PC,有

OC±AB,PC1AB,如图,

NABO=30，0C=也,AB=2BC=3,由.的面积为也，得，x3xPC=^,

2424

解得PC=苧，于是po=JPC?—Od=’（孚了一吟丫=瓜，

所以圆锥的体积兀*042*尸。=；兀乂（6）2、述=述兀.

故选：B

9.己知一ABC为等腰直角三角形，A3为斜边，△A3。为等边三角形，若二面角C—AB—O为150°,则

直线CD与平面4BC所成角的正切值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】取48的中点E，连接CE,OE,因为&ABC是等腰直角三角形，且为斜边，则有CE1AB，

又△AB。是等边三角形，则。E1AB，从而NCE。为二面角C—A5—£＞的平面角，即NCE£）=150,

D,

显然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,于是451平面COE,又ABu平面ABC,

因此平面CDE_L平面ABC,显然平面COEc平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE,则直线CO在平面ABC内的射影为直线CE,

从而NOCE为直线C£)与平面ABC所成的角，令49=2,则CE=1,OE=G，在eCDE中，由余弦

定理得:

CD=7CE2+DE2-ICE-DEcosZCED=^1+3-2x1x73x(-^)^77)

DECD

由正弦定理得toi4,

sinNDCEsinNCEDWsinZDC£=V7=2V7

显然/OCE是锐角，cosNDCE=Jl-sii?NDCE

所以直线CO与平面ABC所成的角的正切为且.

5

故选：C

10.已知等差数列｛为｝的公差为等，集合S^cosageN*｝,若5=｛。,4，则而=()

I

A.-1B.——C.0D.J1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

27t2兀2兀

【详解】依题意，等差数列｛"”｝中，a”=q+(〃—1)+(q——),

2兀2it

显然函数y=cos[7〃+(%—3-)]的周期为3,而〃eN*，即cosa“最多3个不同取值，又

{cosan|nGN*}={a.b},

则在cosQ］,cosQ2，cosa3中，cos<21=cosa2cosa3ggcosa}cosa2=cosa3,

2TT2冗7T

于是有cos6=cos（6+—）,即有6+（e+—）=2Ai,ZeZ,解得6=——,keZ,

333

LL1I.1/1兀、.兀、4兀_,兀、171兀1

所以2GZ,ab—COS（K7l——）COSr［z（K7l——）+=—COS（K7T—1）COSK7l=—COSKJlCOS-.

故选：B

11.设A,B为双曲线/-£•=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

9

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（T,T）

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得原/左=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断;

对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设义不乂）,3（孙必），则A3的中点加（三芋,与&

可得心8="^，攵23+%

%一%X]+%2X]+K?

2

X；-迎=122

9,,两式相减得［；一总）一支二¥

因A8在双曲线上，则〈0,

后-"-9

-9

所以心屋上=旦二与=9.

Xy-X2

对于选项A：可得k=1,&"=9，则AB:y=9x—8,

y=9x—8

联立方程〈2V2，消去y得72d-2x72x+73=o,

x--=1

9

此时△=（-2x72）2-4x72x73=-288<0,

所以直线A8与双曲线没有交点，故A错误;

995

对于选项B：可得女=-2,&B=—/，则A6:y=-]X—7，

[95

y=—x—

22

联立方程<2，消去y得45¥+2乂45%+61=0，

一了一

I9

此时△=(2x45『-4x45x61=Tx45xl6<0,

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得k=3,心8=3，则A8:y=3x

由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线，

所以直线A8与双曲线没有交点，故C错误；

,,997

对于选项D：k=4,kAB=-9则248:了=11一]，

97

y=-x——

44

联立方程〈2，消去V得63/+126%-193=0，

r2y-

I9

此时△=1262+4X63X193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

12.已知I。的半径为1,直线以与一。相切于点A,直线PB与10交于8,C两点，。为BC的中点，

若|P0|=夜，则PA.PD的最大值为()

.1+V2R1+2V2

22

C1+72D.2+72

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得

PAPD=---sinf2«--Y或PAP。=，+YZsin(2a+&]然后结合三角函数的性质即可确定

2214,2214/

PA・P£>的最大值・

【详解】如图所示，|。4|=1,|0尸|=攻，则由题意可知:NAR?=45，

由勾股定理可得PA=ylOP'-OA1=1

JI

当点A。位于直线P0异侧时，设ZOPCa,0<a<一,

4

则：PA/。=|PA|-|PD|cos|a+?

1x72cosacosa+-

I4

夜•〕

=V2cosacosa------sma

27

cos2a-sinacostz

1+cos2a1.仁

----------------sin2a

22

sinj2a-巳

22I4J

0<a<-,则—巳W2c—至《生

4444

Tt

・••当2a」一一时，P/LPD有最大值L

44

71

当点A,。位于直线PO同侧时，设NOPC6z,0<a<—,

则:P4-PD=|PA|-|PD|COS

=lxV2cosacosa--

I4

c°sa+交sina

V2cosa

2

=cos2a+sinacosa

_1+cos2a

+—sin2a

22

iV2.r吟

2214)

0<a<-,则2«2a+工4工

4442

.,•当2&+2=2时，PA-~D有最大值1+&•

422

综上可得，pap。的最大值为L也.

2

故选：A

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查

了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

二、填空题

13.已知点A（l,石）在抛物线C：V=2px上，则A到C的准线的距离为.

9

【答案】4

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为尤=-*,最后利

4

用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

【详解】由题意可得：（6『=2pxl,则2〃=5,抛物线的方程为V=5x,

准线方程为x=2,点A到C的准线的距离为1一

4

9

故答案为：一.

4

x-3y<-1

14.若x,y满足约束条件<x+2y<9,则z=2x—y的最大值为.

3x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z=2x-y,移项得y=2x-z,

x-3y=-1x=5

联立有《，解得<

x+2y=9)=2

设A（5,2）,显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，则z最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

15.已知｛a,,｝为等比数列，a2a4a5=，GAo=_8，则ai=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据等比数列公式对化简得44=1，联立。9即）=-8求出/=—2,最后得

%=aq-(/—cf'——2.

【详解】设｛%｝的公比为q(q。O),则4%%=。3a6=/qa5q,显然H0,

贝ijq=q2,即q/=q2,则aq=l,因为/<7[0=-8,则4</.qq9=-8,

则=„,=—8=(—2)3,则/=_2,则%=/=-2,

故答案为：—2.

16.设ae(O,I),若函数/(x)=a'+(l+a)'在(0,+。)上单调递增，则“的取值范围是.

【解析】

【分析】原问题等价于/'(x)=，］na+(l+ayin(l+a)ZO恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形,

可得(三］>――粤二，由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实

\a)ln(l+a)

数。的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得尸(x)="lnQ+(l+ayln(l+a)20在区间(0,+8)上恒成立,

1+々

则(i+〃y1口(1+。)2-优1114,即>-mj在区间(0,+。)上恒成立,

a黑

故]匕父=1>——"而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

\a)ln(l+6f)

ln(Q+l)N-lna[a(a+l]>1

故0二1即0匚>故”<1

结合题意可得实数4的取值范围是

故答案为:

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质

相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的

伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为演，y(i=l,2,…,10).试验结果如下:

试验序号i12345678910

伸缩率Xj545533551522575544541568596548

伸缩率%536527543530560533522550576536

2

记Z；=X,.-y(i=1,2,…,10),记Z|,Z2,…,z10的样本平均数为之,样本方差为5.

(1)求I，s2;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

z>2J—«则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否

V10

则不认为有显著提高)

【答案】(1)2=11，?=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出U再得到所有的4值，最后计算出方差即可；

(2)根据公式计算出2点的值，和三比较大小即可.

【小问1详解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+5484…

x--------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=-------------------------------------------------=541.3,

10

z=x-7=552.3-541.3=11,

43一。的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

,,2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-II)2+(18-II)2+(20-II)2+(12-II)2八

6X5=------------------------------------------------------------------------------------=61

10

【小问2详解】

由(1)知:Z=ll,2篇=2扃="4，故有522篇，

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.在.ABC中，已知NBAC=120°,AB=2,AC=L

(1)求sinZABC；

(2)若。为8。上一点，且NB4O=90。，求八40。的面积.

【答案】(1)叵;

14

(2)

10'

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=J7,然后由余弦定理可得cos8=侦，最后由同

14

所

角三角函数基本关系可得sinB=—;

14

S1

(2)由题意可得%=4,则S&ACD=-S&ABC'据此即可求得AADC的面积.

【小问1详解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=h2+c2-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20=7，

c°s/+27+4-1577

则BC=A/7.

2x2x77-14'

【小问2详解】

S-xAfix/ir)xsin90

由三角形面积公式可得新毁=彳------------------=4,

S^ACD—xACxADxsin30

2

则%ACO=(3-昵=(x］；x2xlxsinl20)=

19.如图，在三棱锥P-ABC中，ABJ.BC，AB=2，6c=2&，PB=PC=®BP,AP,BC的

中点分别为。，E,O,A0=&。。，点尸在AC上，BFLAO.

p

(1)证明：防//平面AOO；

(2)证明：平面AOO_L平面2EF；

(3)求二面角O—AO—C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)显.

2

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形。DEb为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小问1详解】

连接。后,。/，设=则5尸=5A+A尸=(l-r)BA+/5C,AO=-BA+^BC,BFYAO,

121,

则BFAO=[(l-r)BA+tBC]-(—BA++-tBC2=4。—1)+4f=0,

22

解得r=_L,则/为AC的中点，由。,E,。,尸分别为PB.PABCAC的中点，

2

于是DE11AB,DE=>AB,OF//AB,OF==AB,即DE//OF,DE=OF,则四边形8所为平行四

22

边形，

EF//DO,EF=DO,又EFu平面A。。DOu平面ADO,

所以瓦7/平面ADO.

p

【小问2详解】

由(1)可知EF//OD,则40=后,。0=亚，得4。=右。0=叵，

22

因此0。2+4。2=4。2="则OO，A。，有EF上A0,

2

又AO±BF,BFEF=F,BF,EFu平面BEF，

则有AOJ•平面BEF，又AOu平面AOO,所以平面ADOJ_平面BEb.

【小问3详解】

过点。作O”//所交AC于点4,设AZ>BE=G,

由AOJ_8F,得“OLAO,且F"='A"，

3

又由(2)知，ODLAO,则/DOH为二面角。一40—。的平面角，

因为。E分别为PB,PA的中点，因此G为,PA6的重心，

1113

即有。G=±AO,GE=—6E,又FH=±AH,即有。H=2Gb,

3332

3_15

+?24+6-PA2_迎

cosNABO=-^-4-2X2XJ6,解得尸^=4?，同理得8E=*，

2x2x—xxy2

2

(176_5

于是BE2+EF2=BF2=3,即有贝3尸2=—x-----——，

323

从而GF=姮,DH=，晅=叵,

3232

在△。由中‘。"弓"=等’。。=乎‘。"=乎

6+3_15

=也,

于是cosNZ)C"=4喧&=一三,sinNO0H=

2x——x——

22

所以二面角。一AO—C的正弦值为走

2

20.已知椭圆C:与+齐=1（。＞人＞0）的离心率是日，点4（-2,0）在。上.

（1）求C的方程;

（2）过点（一2,3）的直线交C于P,。两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的

中点为定点.

22

【答案】（1）-^+―=1

94

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解a/,c,进而可得结果；

（2）设直线PQ的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证也詈为定值即可.

2

【小问1详解】

b=2a-3

由题意可得＜a2=〃+c2,解得%=2

cV5c=V5

e=——=—i

.a3

22

所以椭圆方程为上+工=1.

94

【小问2详解】

由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=Z（x+2）+3,P（X],yJ,Q（X2，y2），

y=%（x+2）+3

联立方程〈Jx2,消去），得：（4女之+9）/+8Z（2攵+3）x+16（左?+3%）=o,

I94

则△=64E（2k+3）2-64（4乃+9）俨+2>k）=一1728A>0,解得攵<0,

可得…金

因为A（—2,0）,则直线AP:y=r^§（尤+2）,

令A。，解得”能，即川。，含）

百+2

同理可得N0,2%C

IW+2J

2y2必

则％+2%+2_[%（玉+2）+3][左（巧+2）+3]

-H

2%1+2元2+2

[例+（22+3）]（毛+2）+[h2+（2A+3）]（x+2）2例x2+（4%+3）（玉4-x2）+4（2/:+3）

（玉+2）（毛+2）X1X2+2（XI+X2）+4

32咚+3%限必+；）（〃+叽

4F+94A+9''108

16k2+3%）16k（2k+3）+4~36

4F+94代+9

所以线段PQ的中点是定点（0,3）.

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关;

也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

21.已知函数/(x)=(：+ajln(l+x).

(1)当a=-l时，求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求“，人的值，若不存在，说明理

由.

(3)若“X)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在〃=■!■力=一!满足题意，理由见解析.

22

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求

解切线方程即可；

(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数力的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可

得关于实数”的方程，解方程可得实数”的值，最后检验所得的。力是否正确即可；

(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)=ax2+x一(x+i)]n(x+l),然后对函数求

导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a和0＜。＜,三中情况即可求得实数”的取值

22

范围.

【小问1详解】

当a=-l时，/(x),

则尸(x)=—yxln(x+l)+[—]]x,

据此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

函数在(1,/。))处切线方程为y-0=—ln2(x-l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小问2详解】

由函数的解析式可得/[_[=(x+a)lnQ+l^j,

1y।1

函数的定义域满足一+i=——＞o,即函数的定义域为(f,—1)5°，”)，

XX1

定义域关于直线对称，由题意可得6=2-

2

由对称性可知/[_5+mJ=/[一

3

取机=］可得=

即(a+1)In2=(a-2)In耳，则a+l=2—a,解得a=

经检验〃=满足题意，故〃=',8=-』.

2222

即存在a=工功=-L满足题意.

22

【小问3详解】

由函数的解析式可得r(x)=(一

由/(X)在区间(0,+8)存在极值点，则/'(X)在区间(0,+。)上存在变号零点；

令1*}n(x+l)+6+”W=。，

则—(x+l)ln(x+l)+(x+ar2)=o,

令屋£)=加+%—(工+1)111(%+1),

/(X)在区间(0,+8)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，

/(X)=2ax-ln(x+l),g”(x)=2a--—

x+1

当a«0时，g'(x)<0，g(x)在区间(。,+8)上单调递减，

此时g(x)<g(O)=O,g(x)在区间(0,+动上无零点，不合题意；

当aN；,2azi时，由于匕<1,所以g"(x)>0,g'(x)在区间(0,+e)上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,g(x)>g(0)=0，

所以g(x)在区间(0,+8)上无零点，不符合题意；

1•/、11

当0<。<—时，由g(x)=2。------=0可得X=——1,

2x+12a

当无时，g"(x)<0，g'(x)单调递减，

当时，g〃(x)>o,g'(x)单调递增，

故g'(x)的最小值为g'((-1)=1-2a+In2a,

_y11

令加(x)=l-x+lnx(0<x<l)，则m'(x)=----->0,

函数在定义域内单调递增，/?/(%)<m(l)=0,

据此可得l—x+lnx<0恒成立,

则g'----1—1—2cl+In2。<0,

2aJ

令〃(x)=Inx—f>0),则/(x)=-20+*+l,

当x«0,l)时,〃'(x)>0,〃(x)单调递增，

当XG(1,+QO)时,单调递减，

故〃(x)</?(1)=0,即InX<V一x(取等条件为X=1),

所以g'(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+lj_(》+])]=2ax-^x2+x),

g'(2a—l)>2a(2a—1)—[(2a—iy+(2a—1)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点吃.

当xe(O,不)时，g'(x)<0,g(x)单调减，

当xe(x(),+oo)时，g'(x)>0,g(尤)单调递增，

所以g(天)<g(o)=o.

令"(x)=lnx_g(x_L],则"(x)」」(l+V]=一(x二1)W0,

21X)v7x2<x2J2x2

则〃(x)单调递减，注意到〃⑴=0,

故当xe(l,+oo)时，In九一](x—J<0,从而有lnx<,(x—),

所以g(x)=cue+x-(x+l)ln(x+l)

1

>CLX^+X-+1^X—(X+1)-

x+T

所以函数g(x)在区间(0,+力)上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数a得取值范围是((),()

【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等

函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利

用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

四、选做题

【选修4-4】(10分)

22.在直角坐标系xOy中，以