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文档简介

§2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

要点精析

1.对数的概念

一般地,如果,=N(a>0,且。灯),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logW,

其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

说明:(1)实质匕上述对数表达式,不过是指数函数了=,的另一种表达形式,例如:

3,=81与4=log381这两个式子表达是同•关系,因此,有关系式/=N=x=log,W,从而

得对数恒等式:alog“N=N.

(2)“log”同“+”“X””等符号•一样,表示一种运算,即已知一个数和它的

塞求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.

(3)根据对数的定义,对数1。&陷心0,且介1)具有下列性质:

①零和负数没有对数,即N>0;

的对数为零,即log〃l=0;

③底的对数等于1,即log/=L

2.对数的运算法则

利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除

运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.

(1)基本公式

①log„(MV)=log"M+lo&Nm>0,M>0,N>0),即正数的枳的对数,等于同一底

数的各个因数的对数的和.

②log“W=1og"M-logJV(tz>0,aWl,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于被除

数的对数减去除数的对数.

③lo&〃="log“"(a>0,论0,〃CR),即正数的辱的对数等于募的底数的对数

乘以塞指数.

(2)对数的运算性质注意点

①必须注意。0,N>0,例如log〃[(—3)X(—4)]是存在的,但是1。&,(一3)与log“(-4)

均不存在,故不能写成10&,[(-3)X(—4)]=log„(—3)+loga(-4).

②防止出现以K错误:\oga(M±N)=lo&心log,M=lo&Mlog“N,10郎=鬻§,

log„A/'=(log„A/)H.

3.对数换底公式

在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底

公式:logW=;;3;(b>0,且c>0,且c/l;N>0).

证明设log}=x,则两边取以c为底的对数,

得xlo&b=log,N.所以》=器£,即

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或

需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.

由换底公式可推出下面两个常用公式:

a)log^=j^或]0**6=](20,且廿1;b>0,且b/l);

,

(2)\oghnN"=-\og,l^N>0;b>0,且bWl:“WO,weR)

典例剖析

题型一正确理解对数运算性质

⑥例I对于a>0且。中1,下列说法中,正确的是()

①若A7=N,则log0M=log“N;

②若log“M=lo&M则A/=N;

③若唯“序=10西,则朋=N;

2

④若M=N,则logflA/=Io&,y.

A.①与③B.②与④C.②D.①、②、③、④

解析在①中,当V=NWO时,log“A/'与lo&N均无意义,因此log“A/=logJV不成立.

在②中,当logJ0=log,W时,必有论0,N>0,且Af=N,因此A/=N成立.

在③中,当1。8“病=10&22时,有例#0,Nr0,且序=M,即=但未必有M

=N.例如,M=2,N=-2时,也有10gMM=log“M,但MWN.

2

在④中,若M=N=0,则log//与log,"均无意义,因此10goM=logW2不成立.

所以,只有②成立.

答案C

点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运

算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.

题型二对数运算性质的应用

►例2求下列各式的值:

32

(l)21og32-log3y+log38-51og53;

2

(2)lg25+§lg8+lg5,lg20+0g2)2;

log^/2Jog79

log5;Tog7s

分析利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才

能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算.

解(1)原式=210g32-(log332-log39)+310g32-3

=210g32-510g32+2+310g32-3=-1.

(2)原式=21g5+21g2+lgylg(2X10)+(lg2)2

=21g(5X2)+(l-lg2)-(lg2+1)+(lg2)2

=2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.

nr.lofo^-log793阳2-2啮3

(3)•----=--------j-----

log5g-log7s-log53Hog74

l£21g3

lg51g7__3

--Ig311g4~~2-

Ig53,lg7

点评对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、赛、方根利用对数的

运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、

积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、霹、方根,然后化简求值.

题型三对数换底公式的应用

,例3计算:(Iog2i25+k>g425+k>g85)(log52+k>g254+logi258).

分析由题目可获取以下主要信息:本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的

底数都各不相同.

解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值.

解方法一原式=

(.105<3+,厩25log^ViIOg5、2+工1叫4+1密8、

l^log24\og28Alog525log5125J

=(3bg,5+臀+界)(啮62+霁+臀)

Is210g22310g22A210g5531og55;

=(3+1+|^log25-(31og52)

⑶。g?5器

lg25Jg£

方法二原式++

lg4lg25

+缚+21g2

21g221g5

13.

点评方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;方法二是在解题方向还不清楚的情

况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底),然后再化简.上述

方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法.

易错辨析

我务力,我进步!

2

◎例4已知log(,v+3)(x+3x)-l,求实数x的值.

错解由对数的性质可得f+3x=x+3.

解得x=1或x=-3.

错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1,这点在解题中忽略了.

'x2+3x=x+3,

正解由对数的性质知,X2+3X>0,

了+3>0且》+3*1.

解得x=l,故实数x的值为1.

考题赏析

我A用,我援离!

对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有:logj=0,10&,<7=1,alogjv

=N(a>0,且aWl,N>0).

1.(上海高考)方程9v-6-3v-7=0的解是

解析V9JC-6-3x-7=0,即3次-6-3'-7=0

/.(3X-7)(3X+1)=0

.•.3*=7或3*=-1(舍去)

;・x=log37.

答案log37

一•^自主训练—

1.对数式1。&“-3)(7—。)=从实数。的取值范围是()

A.(一8,7)B.(3,7)

C.(3,4)U(4,7)D.(3,+~)

答案C

fa-3>0,

解析由题意得*-3W1,解得3<。<7且“W4.

2.设a=log32,则log38—21og36用a表示的形式是()

A.a—2B.3Q—(l+a)2

C.5a—2D.—a2+3a—1

答案A

解析•:a=log32,/.log38-210g36=3Iog32-2(log32+1)

=3(7-2((7+1)=<7-2.

3.Iog56・log67・log78・log891og910的值为()

A.1B.Ig5C.j^D.l+lg2

答案C

缶”犷后...1g61g71g81g91gl0IglO1

解析原式=怆5痴怆7尼8怆9=3=后

4.已知log“g2+i)<log“2a<0,则。的取值范围是()

A.(0,1)B(0,

C(;,1)D.(1,+8)

答案C

[0<a<l,

解析由题意,得

[2a>],

Va>0,oWl,10及(42+l)vlogq2。,/.0<(7<l..*.^<a<l.

1

5.已知函数外)=,+logt^,(67>O,QWI)在[1,3]上最大值与最小值之和为则4的

值为()

A.4B.;C.3D.1

答案D

6.若方程(lgr)2+(lg7+lg5)lgr+lg74g5=0的两根为a,夕,则磔等于()

A.Ig71g5B.Ig35C.35

答案D

解析Iga+lg/5=-(lg7+Ig5)=-lg35=lg^

a'P=七

7.已知7(log2X)=x,则彳1)=.

答案y]2

解析令log2x=I,则2;=X,.,.6)=2;=啦.

8.log(,-M啦+1)=.

答案T

解析lo乩I(A/2+1)=logV2i"点噂一~

=唾心>±7=T

9.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgr=-2+0.7781则x=

答案0.06

解析Vlg2=0.3010,lg3=0.4771,

而0.3010+0.4771=0.7781,:.\gx=-2+lg2+lg3,

即lgx=lgl0-+[g6.

2

Algr=lg(6X10),即x=6X1(T2=006

10.(1)已知Igx+Igy=21g(x—2y),求的值;

h

(2)已知logI89=67,18=5,试用a,b表示log365.

解(l)lgx+Igy=21g(x-2y),

.'.xy=(x-2yy,Bpx-5xy+4y2=0.

BP(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y,

,x>0,

又v<y>o,/.%>2y>o,

.x-2y>0,

.*.x=y,应舍去,取x=4y.

则logV2^=logV2^=logV24==4.

(2)V18^=5,Alogi85=b,又tloga=%

_logQ_b

,og3p-

lg1836-log18(18X2)

b

~~'18

1+iogi8y

b_b

1+(1-log189)2-d

11.设a,h,c均为不等于1的正数,且/=〃,=,,1+^+:=0,求的值.

解令a=lf,=d=t(/>0且1),

则有:=log修,:=log力,1=logzc,

又:+^+;=0,/.iog^bc=0,^.abc=1.

12.已知a,b,c是AABC的三边,且关于x的方程x2—2x+lg(c2-Z?2)—21gtz+1=0

有等根,试判定△48C的形状.

解关于x的方程x2-2x+lg(c2-h2)-2\ga+1=0有等根,

AA=0,即4一4[lg(c2-b2)-21ga+l]=0.

即lg((?-//)一2\ga=0,故c2-b2=a2,

・・・/+/=/,••.△ZBC为直角三角形.

讲练学案部分

2.2.1对数与对数运算(一)

----8♦-自主学案—

□学习目标

1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.

2.了解常用对数与自然对数的意义.

3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.

a自学导引

I.如果a(a>0且a#1)的b次暴等于N,就是J=N,那么数b叫做以〃为底N的对数,

记作b=log〃M其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

2.对赢J性质有:(1)1的对数为重;

(2)底的对数为1;

⑶零和负数没看对数.

3.通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,logiW可简

记为logJV简记为IwV.

4.若〃>0,且a丰1,则—=N等价于logJV=b.

5.对数恒等式:4k)g〃N=Ma>0且aWl)

对点讲练

一、对数式有意义的条件

例1求下列各式中X的取值范围:

2

(l)log2(x—10);(2)log(「i)(x+2);(3)log(x+i)(x—I).

分析由真数大于零,底数大于零且不等于1可得到关于X的不等式(组),解之即可.

解(1)由题意有X-IOO,即为所求.

[x+2>0,

(2)由题意有

〔工-1>0且1-1£1,

x>-2,

即口**•1且xW2.

卜力且工力?,

[(x-1)2>0,

(3)由题意有1八口1^1

x+1>0且x+1W1,

解得上>T且xWO,xWl.

点评在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零

且不等于1.

变式迁移1在6=10&。-2)(5—。)中,实数。的取值范围是()

A.a>5或a<2B.2<a<5

C.2<K3或3<a<5D.3<a<4

答案C

5-<2>0

解析由题意得上-2>0,

q-2Wl

二2<4<5且ar3.

二、对数式与指数式的互化

例2将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式:

(1)54=625;(2)log18=-3;

(3)Q)-2=16;(4)Iogl0l000=3.

分析利用a=N0x=logcN进行互化.

4

解(1)V5=625,Alog5625=4.

(2)Vlog18=-3,

(3)*)-2=16,;谒16=-2.

3

(4)Vlogl0l000=3,.\10=1000.

点评指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重

要途径.在利用a'uNOLbgJV进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位

置.

变式迁移2将下列对数式化为指数式求x值:

32

(l)log,v27=2;(2)log2x=一1

(3)log5(log2x)=0;(4)x=log271;

(5)x=log116.

解⑴由10&27=方,得x|=27,Ax=27|=32=9.

(2)由log2X=-1!,得2-曰=x,.・.x=—!―=芈.

1

(3)由log5(log2x)=0,得log2x=1,Ax=2=2.

(4)由X=log27§,得27*=§,即3*r=32,

7二二

•・x3.

(5)由x=log116,得&=16,BP2'x=24,

**.x=-4.

三、对数恒等式的应用

例3(1)。10&31。8月10&汽的值(。,b,c£R例且不等于1,7V>0);

(2)41(log29-log25).

解(1)原式=(Hog滴)log〃ulogcN=Alog/,clogcjV=(Mog努logJV

=clo&W=N.

2IOJZ)99

(2)原式=2(log29-log25)=2益5=§

点评对数恒等式alogJV=N相要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形

式;(3)其值为真数.

变式迁移3计算:310g3小+(S)log3上.

解原式=小+3310g3g=y[s+(31og31)|

咬__________

⑥课堂小结

1.一般地,如果的6次早等于N,就是J=N,那么b叫做以。为底N

的对数,记作logW=6,其中。叫做对数的底数,N叫做真数.

2.利用J=M»/)=logW(其中a>0,a¥l,20)可以进行指数与对数式的互化.

3.对数恒等式:Hog,W=Ma>。且aWl).

----8课时作业一♦«*----

一、选择题

1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()

A.10°=1与lgl=0

B.27-;=g与log?7/:-/

C.Iog3;=9与%=3

D.Iog55=l与3=5

答案C

2.指数式户=〃S>0,6W1)所对应的对数式是()

A.k)g6Q=QB.log6b=。

C.log^Z>=6D.log/,67—6

答案D

3.若log,(小一2)=—1,则x的值为()

A.A/5-2B.A/5+2

C市-2或小+2D.2~y[5

答案B

4.如果<10')=x,则43)等于()

310

A.log310B.Ig3C.10D.3

答案B

解析方法一令10'=/,则x=lg/,

⑶=lg3.

方法二令10、=3,则x=lg3,.\/3)=lg3.

5.21+;log25的值等于()

A.2+小B.2小

C.2+坐D.1+坐

答案B

解析21+30g25=2X2^1og25=2X21og25^

=2X592^5.

二、填空题

6.若5皎=25,则x的值为.

答案100

解析V5181=52,/.Igr=2,.,.x=102=100.

7.设log“2=/n,10go3=〃,则/的值为

答案12

mn

解析loga2=m,log03=M,.*.a=2,a=3,

.../“=/"=")2.八22义3=12.

8.已知lg6七0.7782,则d”82仁

答案600

2778

解析10-2P()2X[。旗=600

三、解答题

9.求下列各式中x的值

⑴若嗨,乡'')=1,则求x值;

⑵若log,003(/-1)=0,则求X值.

解(l):log3[^^|=l,...'4^=3

1-2x=27,即x=T3

⑵•••1唯003(/-1)=0

.,.x2-1=1,即x2=2

.'.x=±\f2

10.求x的值:(l)x=log-^4;(2)x=log9M5;(3)x=71—log75;

(4)logv8=—3;(5)logp-=4.

解(1)由已知得:停卜4,

.,.2-5=2?,-1=2,x=-4.

(2)由已知得:9X=小,即3为=3T.

.•.2x=1.T

7

(3)x=7-71og75=7-5=^

(4)由已知得:X-3=8,

即(£)3=23,1=2,

⑸由已知得:2.2.1对数与对数运算(二)

----一♦—自主学案—

D学习目标

1.掌握对数的运算性质及其推导.

2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.

D自学导引

1.对数的运算性质:如果心0,M>0,N>0,那么,

(l)log</(AW)=logJ0+log〃N;

M

(2)log,w=j2gsM2212g虺;

(3)log〃"=〃logM〃eR).

2.对数换底公式:log/二震.

对点讲练

一、正确理解对数运算性质

例1若a>0,a^l,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有()

①logWIo即=1。氏(x+y);

②log1fx-10gtiy=logjx—y);

③lo&歹=log<A+lo&炭;

④10go(中)=log/logj.

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案A

解析对数的运算实质是把积、商、幕的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在

运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如lo&K#log“x,logd是不可

分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的.

点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件.

变式迁移1若。>0月x>0,〃WN*,则下列各式正确的是()

A.Iog,A=—log„-B.(log„x)”=〃logM

C.00glA)"=bg/"D.log,A=loga(

答案A

二、对数运算性质的应用

例2计算:

7

(l)log535-210g5§+log57—log51.8;

(2)2(lgV2)2+lgV21g5+^(lgV2)2-lg2+l;

^,lgV27+lg8-lgVr000

⑶lgl.2;

(4)(lg5)2+lg21g50.

分析利用对数运算性质计算.

9

解(1)原式=log5(5X7)-2(log57-log53)+log57-log5^

=logsS+log57-21og57+210g§3+log57-21og53+log55

=210g$5=2.

(2)原式=lgV2(21gV2+lg5)+A/(lgV2-l)2

=lgV2(lg2+lg5)+1-lgV2=lg72+1-lgx/2=1.

(3)原式)麻+3植2-;31g3+61g2-32

lg3+21g2-12(lg3+21g2-1)2-

(4)原式=(lg5)2+lg2-(lg2+21g5)

=(lg5)2+21g5-lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.

点评要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用.

变式迁移2求下列各式的值:

(l)log535+21ogp/2-log5^-log514;

2

(2)[(l-log63)+log62-log618]+log64.

解⑴原式

2

=log5(5X7)-21og221+log5(5X2)-log5(2X7)

=1+log57.1+2+log52-log52-log57=2.

2

⑵原式=[lo后2+log62-log6(3X6)]-log62

=log62(log62+log63+l)-(21og62)=1.

三、换底公式的应用

例3(1)设3、=4"=36,求,2"1的值;

(2)已知已gi89=a,186=5,求log3645.

解(1)由已知分别求出x和x

:3*=36,4'=36,

.'.X=log336,y=log436,

由换底公式得:

=log3636=],=log3636=]

-

Alog363-R)g363')-log364log364'

log363,-=log364,

21

+

­■-77=21og363+log364

2

=log36(3X4)=log3636=1.

(2)Vlogi89=0,18*=5,.,.log]g5=b.

.._logix45_logi8(9X5)

..log3645-log]s36-logig(18x2)

_10glg9+logi85_a+b_a+b

=1+1Ogl82=

l+logl8f~'

点评指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换

底公式可将差异消除.

变式迁移3(1)设log34-log48-logx/H=log416,求m;

(2)已知10gl227=。,求log616的值.

解(1)利用换底公式,得翳・修・牒=2,

,lg加=21g3,于是加:9.

31g3

⑵由log1227=a,得:2lg2+lg3="

..&2al^2.Ig3_2o_

•*3=3“'.3g2=3Y

..»41g24

.」og616=ig3+lg2=3L+1

3-67

4(3-a)

3+a-

►课堂小结

1.对于同底的对数的化简常用方法是:

(1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;

(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

2.对于常用对数的化简要充分利用“Ig5+lg2=l”来解题.

3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.

一♦—课时作业—一♦

一、选择题

1.Ig8+31g5的值为()

A.-3B.-1C.1D.3

答案D

解析lg8+31g5=Ig8+lg53=Igl000=3.

2.已知lg2=mlg3=6,则log36等于()

a+ha+h

A.------B.-;—

ab

_a_b

^a+ba+h

答案B

解析log36=,g3=lg3=-

3.若Igo,Igb是方程2?—4x+l=0的两个根,则(1点)2的值等于()

A.2B、C.4D.;

答案A

解析由根与系数的关系,得lgo+lgZ)=2,lga-lgZ>=;,

=(Igcr+lgb)2-41galgb

i1

=22-4X-=2.

4.若2.5*=1000,0.25,=l000,贝日一1等于()

A.1B.3C.D.-3

答案A

嬴斤由指数式转化为对数式:

X=log25l000,y=logo.25l000,

则[一,=log,ooo2.5-logioooO.25=log1000IO=y.

5.设函数.Ax)=log“t(心0,且aWl),若义RM…应005)=8,贝!]兀淄+/(■玲H--h/(x;oo5)

的值等于()

A.4B.8C.16D.21o&8

答案C

解析因为J(x)=log/,J[X\X2…X2005)=8,

所以渴)+欣)+…+於005)

=logaXi+log*+…+log^oos

=210goiXiI+2loga|x2|+…+210gm20051

=21O&K1X2…X2005I

=2/(X|X2—X2005)=2X8=16.

二、填空题

6.设Ig2=q,lg3=6,那么.

小-a+2h-1

答茶

__IIIOI2X9

解析1€宿=50.8=21断6=21盯限

=1(lg2+lg9-l)=|((7+2fe-1).

7.若log』=2,log*=3,log,jc=6,则log^/的值为.

答案1

解析logger-bgdjc-logR+log/+log*

'/logf/x=2,log庐=3,\ogcX=6

/.logr^=1,log,=?log/-=

「・lo&M=j[=[=L

236

8.已知log63=0.6131,log6X=0.3869,贝llx=.

答案2

解析由log63+logQ=0.6131+0.3869=1.

得log6(3x)=1.故3x=6,x=2.

三、解答题

9.求下列各式的值:

(1)2lg49-3lg^+;

(2)(lg5)2+21g2-(lg2)2.

解⑴方法一原式=;(51g2-21g7)-dlg2

+|(21g7+lg5)

=1lg2-lg7-21g2+Ig7+|lg5

=|lg2+|lg5=1(lg2+lg5)

方法二原式=-lg4+lg7小

,4福义7小

=s7X4

=怆(小•小)=IgVTb=1.

(2)方法一原式=(lg5+Ig2)(lg5-lg2)+21g2

=lglOTg|+lg4=lg(|x4)=lglO=1.

方法二原式=(IglO-lg2)2+21g2-lg22

=1-21g2+lg22+21g2-lg22=1.

i7a

10.26a=33b=62c,求证:分=?

证明设26"=338=62,=4(上>0),那么

C6八~

厂硒=61。点,

6a=log2左,

13

3b=噫左,厂丽=31og3

2c=log/r,

612,,

〔1丽=2log£

S+,6-logA2+2X310g后

3

=log。6义36)=610gA6=3X210g*6=

l23

即on一+工=二

abc

2.2.2对数函数及其性质

----—要点精析——

1.对数函数的概念

形如(<7>0且aWl)的函数叫做对数函数.

对于对数函数定义的理解,要注意:

(1)对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x

恰好是指数函数的函数值”所以对数函数的定义域是(0,+8);

(2)对数函数的解析式r-logj中,lo&x前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数。

必须满足<2>0,且。W1;

(3)以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx.

2.对数函数的图象及性质:

a>\0<o<l

L

图象

\:"1OJ

性质函数的定义域为(0,+°°),值域为(-8,H-CO)

函数图象恒过定点(1,0),即恒有log“l=0

当x>l时,恒有户0;当x>l时,恒有产0;

当0<x<l时,恒着y<0当(Kxvl时,恒有y>0

函数在定义域(0,+°°)上为减函

函数在定义域(0,+8)上为增函数

3.指数函数与对数函数的关系比较

名称指数函数对数函数

解析式y=a(i/>0,且aWl)y=logRAO,且aW1)

定义域(—8,+oo)(0,+8)

值域(0,+°°)(—8,H-OO)

7>1时,a>\时,logaX

>1(%>0)>0(x>1)

ax<=1(%=1);<=0(x=1);

<l(x<0)>0(0<x<1)

函数值变

化情况0<k时,)<a<l时,log^A

<l(x>0)<0(x>1)

x<=l(x=1)

xa=0(x=1)

>l(x<0)>0(0<x<1)

图象必

点(0,1)点(1,0)

过定点

a>\时,是增函

数;夕>1时,y=log/是增函数;

单调性

0<67<1时,是减函0<i/<l时,y=log/是减函数

图象y="的图象与y=IogM的图象关于直线y=x对称

实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=log,酒有以下规律:

(1)当(m—1)(〃-1)>0,即》?、〃范围相同(相对于"1”而言),则10gmM>0;(2)当(加一1)(〃

-1)<0,即机、〃范围相反(相对于“1”而言),则log,”〃<0.有了这个规律,我们再判断对数

值的正负就很简单了,如log2;<0,Iog52>0等,一眼就看出来了!

一♦—典例剖析—

题型一求函数定义域

>例1求下列函数的定义域:

A/2X+3

(l»=log3「l\_];

⑵尸布言行。°'“").

分析定义域即使函数解析式有意义的X的范围.

解(1)要使函数有意义,必须{2x+3>0,X-1>0,3x-1>0,3X-1W1同时成

立,

f312

解得X>1,X>yX^y

二定义域为(1,+8).

(2)要使原函数有意义,需1-log“(x+a)>0,

即log0a+a)vl=10goa.

当a>l时,0<x+a<q,/.~a<x<0.

当O〈a<l时,x+a>a,;.x>0.

.•.当a>l时,原函数定义域为{x|-a<x〈O};

当0<q<l时,原函数定义域为{x|r>0}.

点评求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑:真数大于零,底数大于零且不等

于1,若分母中含有x,还要考虑不能使分母为零.

题型二对数单调性的应用

‘,例2⑴k»g43,log34,lo战的大小顺序为()

43

A.log34<log43<log^

43

B.log34>log43>log^

43

C.log34>log^>log43

43

D.Iog^>log34>log43

⑵若/试比较log“£,logA,,[ogM,bg/的大小.

⑴解析Vlog34>l,0<log43<l,

Alog34>log43>log^.

答案B

(2)解':b>a>l,/.0<|<l.

/.log„1<0,log'G(0,1),log必e(0,1).

bb

又o>->1,且b>1,log%<log/,a,

故有log^log^log/^log.^.

点评比较对数的大小,一般遵循以下几条原则:

①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性(底数°>1为增;0<a<l为减)比较.

②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较.

③如果两对数的底数不同而真数相同,如y=log”、与y=logGX的比较。芦1,

。2>°,。2W1).

当4[>夕2>1时,曲线为比及的图象(在第一象限内)上升得慢.即当X>1时,刈勺2;当

O〈X<1时,川>丝.而在第一象限内,图象越靠近X轴对数函数的底数越大.

当时,曲线刃比外的图象(在第四象限内)下降得快.即当%>1时,为勺2;当

0VXV1时,川,”即在第四象限内,图象越靠近X轴的对数函数的底数越小.

⑥例3已知那么“的取值范围是.

分析利用函数单调性或利用数形结合求解.

解析由log„1<l=log„<7,得当a>l时,显然符合上述不等式,.">1;当0<a<l时,

(7<2>.*<0<6T<^.

故或

答案或0<67<1

点评解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于1还是小于1,然后再

利用相应的对数函数的单调性进行解答.理解会用以下几个结论很有必要:

(1)当a>\时,logQ>0<=>x>1,log/vO<=>0<x<l;

(2)当0〈QV1时,1OGK>000VXV1,10^<0<=>%>1.

题型三函数图象的应用

0例4若不等式年一log^vO,当x£(0,1

时恒成立,求实数。的取值范围.

0,一]内恒在

要使不等式2x<logax在x£

<2J

.由图可知,logag>J5,

函数产2x图象的上方,而尸2x图象过点

显然这里0<a<l,函数y=logax递减.

又loga*^〉,2=log“Q、2,.,.a5,2>—,即a>r-

所求的a的取值范围为(g)之QV.

点评原问题等价于当xe(o,;)时,yl=2x的图象在y2=logax的图象的下方,由于

a

的大小不确定,当a>l时,显然y2〈yl,因此a必为小于1的正数,当y2的图象通过点

42

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