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文档简介
§2.2对数函数
2.2.1对数与对数运算
要点精析
1.对数的概念
一般地,如果,=N(a>0,且。灯),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logW,
其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
说明:(1)实质匕上述对数表达式,不过是指数函数了=,的另一种表达形式,例如:
3,=81与4=log381这两个式子表达是同•关系,因此,有关系式/=N=x=log,W,从而
得对数恒等式:alog“N=N.
(2)“log”同“+”“X””等符号•一样,表示一种运算,即已知一个数和它的
塞求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
(3)根据对数的定义,对数1。&陷心0,且介1)具有下列性质:
①零和负数没有对数,即N>0;
的对数为零,即log〃l=0;
③底的对数等于1,即log/=L
2.对数的运算法则
利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除
运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.
(1)基本公式
①log„(MV)=log"M+lo&Nm>0,M>0,N>0),即正数的枳的对数,等于同一底
数的各个因数的对数的和.
②log“W=1og"M-logJV(tz>0,aWl,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于被除
数的对数减去除数的对数.
③lo&〃="log“"(a>0,论0,〃CR),即正数的辱的对数等于募的底数的对数
乘以塞指数.
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意。0,N>0,例如log〃[(—3)X(—4)]是存在的,但是1。&,(一3)与log“(-4)
均不存在,故不能写成10&,[(-3)X(—4)]=log„(—3)+loga(-4).
②防止出现以K错误:\oga(M±N)=lo&心log,M=lo&Mlog“N,10郎=鬻§,
log„A/'=(log„A/)H.
3.对数换底公式
在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底
公式:logW=;;3;(b>0,且c>0,且c/l;N>0).
证明设log}=x,则两边取以c为底的对数,
得xlo&b=log,N.所以》=器£,即
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或
需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.
由换底公式可推出下面两个常用公式:
a)log^=j^或]0**6=](20,且廿1;b>0,且b/l);
,
(2)\oghnN"=-\og,l^N>0;b>0,且bWl:“WO,weR)
典例剖析
题型一正确理解对数运算性质
⑥例I对于a>0且。中1,下列说法中,正确的是()
①若A7=N,则log0M=log“N;
②若log“M=lo&M则A/=N;
③若唯“序=10西,则朋=N;
2
④若M=N,则logflA/=Io&,y.
A.①与③B.②与④C.②D.①、②、③、④
解析在①中,当V=NWO时,log“A/'与lo&N均无意义,因此log“A/=logJV不成立.
在②中,当logJ0=log,W时,必有论0,N>0,且Af=N,因此A/=N成立.
在③中,当1。8“病=10&22时,有例#0,Nr0,且序=M,即=但未必有M
=N.例如,M=2,N=-2时,也有10gMM=log“M,但MWN.
2
在④中,若M=N=0,则log//与log,"均无意义,因此10goM=logW2不成立.
所以,只有②成立.
答案C
点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运
算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.
题型二对数运算性质的应用
►例2求下列各式的值:
32
(l)21og32-log3y+log38-51og53;
2
(2)lg25+§lg8+lg5,lg20+0g2)2;
log^/2Jog79
log5;Tog7s
分析利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才
能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算.
解(1)原式=210g32-(log332-log39)+310g32-3
=210g32-510g32+2+310g32-3=-1.
(2)原式=21g5+21g2+lgylg(2X10)+(lg2)2
=21g(5X2)+(l-lg2)-(lg2+1)+(lg2)2
=2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.
nr.lofo^-log793阳2-2啮3
(3)•----=--------j-----
log5g-log7s-log53Hog74
l£21g3
lg51g7__3
--Ig311g4~~2-
Ig53,lg7
点评对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、赛、方根利用对数的
运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、
积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、霹、方根,然后化简求值.
题型三对数换底公式的应用
,例3计算:(Iog2i25+k>g425+k>g85)(log52+k>g254+logi258).
分析由题目可获取以下主要信息:本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的
底数都各不相同.
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值.
解方法一原式=
(.105<3+,厩25log^ViIOg5、2+工1叫4+1密8、
l^log24\og28Alog525log5125J
=(3bg,5+臀+界)(啮62+霁+臀)
Is210g22310g22A210g5531og55;
=(3+1+|^log25-(31og52)
⑶。g?5器
lg25Jg£
方法二原式++
lg4lg25
+缚+21g2
21g221g5
13.
点评方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;方法二是在解题方向还不清楚的情
况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底),然后再化简.上述
方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法.
易错辨析
我务力,我进步!
2
◎例4已知log(,v+3)(x+3x)-l,求实数x的值.
错解由对数的性质可得f+3x=x+3.
解得x=1或x=-3.
错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1,这点在解题中忽略了.
'x2+3x=x+3,
正解由对数的性质知,X2+3X>0,
了+3>0且》+3*1.
解得x=l,故实数x的值为1.
考题赏析
我A用,我援离!
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有:logj=0,10&,<7=1,alogjv
=N(a>0,且aWl,N>0).
1.(上海高考)方程9v-6-3v-7=0的解是
解析V9JC-6-3x-7=0,即3次-6-3'-7=0
/.(3X-7)(3X+1)=0
.•.3*=7或3*=-1(舍去)
;・x=log37.
答案log37
一•^自主训练—
1.对数式1。&“-3)(7—。)=从实数。的取值范围是()
A.(一8,7)B.(3,7)
C.(3,4)U(4,7)D.(3,+~)
答案C
fa-3>0,
解析由题意得*-3W1,解得3<。<7且“W4.
2.设a=log32,则log38—21og36用a表示的形式是()
A.a—2B.3Q—(l+a)2
C.5a—2D.—a2+3a—1
答案A
解析•:a=log32,/.log38-210g36=3Iog32-2(log32+1)
=3(7-2((7+1)=<7-2.
3.Iog56・log67・log78・log891og910的值为()
A.1B.Ig5C.j^D.l+lg2
答案C
缶”犷后...1g61g71g81g91gl0IglO1
解析原式=怆5痴怆7尼8怆9=3=后
4.已知log“g2+i)<log“2a<0,则。的取值范围是()
A.(0,1)B(0,
C(;,1)D.(1,+8)
答案C
[0<a<l,
解析由题意,得
[2a>],
Va>0,oWl,10及(42+l)vlogq2。,/.0<(7<l..*.^<a<l.
1
5.已知函数外)=,+logt^,(67>O,QWI)在[1,3]上最大值与最小值之和为则4的
值为()
A.4B.;C.3D.1
答案D
6.若方程(lgr)2+(lg7+lg5)lgr+lg74g5=0的两根为a,夕,则磔等于()
A.Ig71g5B.Ig35C.35
答案D
解析Iga+lg/5=-(lg7+Ig5)=-lg35=lg^
a'P=七
7.已知7(log2X)=x,则彳1)=.
答案y]2
解析令log2x=I,则2;=X,.,.6)=2;=啦.
8.log(,-M啦+1)=.
答案T
解析lo乩I(A/2+1)=logV2i"点噂一~
=唾心>±7=T
9.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgr=-2+0.7781则x=
答案0.06
解析Vlg2=0.3010,lg3=0.4771,
而0.3010+0.4771=0.7781,:.\gx=-2+lg2+lg3,
即lgx=lgl0-+[g6.
2
Algr=lg(6X10),即x=6X1(T2=006
10.(1)已知Igx+Igy=21g(x—2y),求的值;
h
(2)已知logI89=67,18=5,试用a,b表示log365.
解(l)lgx+Igy=21g(x-2y),
.'.xy=(x-2yy,Bpx-5xy+4y2=0.
BP(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y,
,x>0,
又v<y>o,/.%>2y>o,
.x-2y>0,
.*.x=y,应舍去,取x=4y.
则logV2^=logV2^=logV24==4.
(2)V18^=5,Alogi85=b,又tloga=%
_logQ_b
,og3p-
lg1836-log18(18X2)
b
~~'18
1+iogi8y
b_b
1+(1-log189)2-d
11.设a,h,c均为不等于1的正数,且/=〃,=,,1+^+:=0,求的值.
解令a=lf,=d=t(/>0且1),
则有:=log修,:=log力,1=logzc,
又:+^+;=0,/.iog^bc=0,^.abc=1.
12.已知a,b,c是AABC的三边,且关于x的方程x2—2x+lg(c2-Z?2)—21gtz+1=0
有等根,试判定△48C的形状.
解关于x的方程x2-2x+lg(c2-h2)-2\ga+1=0有等根,
AA=0,即4一4[lg(c2-b2)-21ga+l]=0.
即lg((?-//)一2\ga=0,故c2-b2=a2,
・・・/+/=/,••.△ZBC为直角三角形.
讲练学案部分
2.2.1对数与对数运算(一)
----8♦-自主学案—
□学习目标
1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.
2.了解常用对数与自然对数的意义.
3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.
a自学导引
I.如果a(a>0且a#1)的b次暴等于N,就是J=N,那么数b叫做以〃为底N的对数,
记作b=log〃M其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对赢J性质有:(1)1的对数为重;
(2)底的对数为1;
⑶零和负数没看对数.
3.通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,logiW可简
记为logJV简记为IwV.
4.若〃>0,且a丰1,则—=N等价于logJV=b.
5.对数恒等式:4k)g〃N=Ma>0且aWl)
对点讲练
一、对数式有意义的条件
例1求下列各式中X的取值范围:
2
(l)log2(x—10);(2)log(「i)(x+2);(3)log(x+i)(x—I).
分析由真数大于零,底数大于零且不等于1可得到关于X的不等式(组),解之即可.
解(1)由题意有X-IOO,即为所求.
[x+2>0,
(2)由题意有
〔工-1>0且1-1£1,
x>-2,
即口**•1且xW2.
卜力且工力?,
[(x-1)2>0,
(3)由题意有1八口1^1
x+1>0且x+1W1,
解得上>T且xWO,xWl.
点评在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零
且不等于1.
变式迁移1在6=10&。-2)(5—。)中,实数。的取值范围是()
A.a>5或a<2B.2<a<5
C.2<K3或3<a<5D.3<a<4
答案C
5-<2>0
解析由题意得上-2>0,
q-2Wl
二2<4<5且ar3.
二、对数式与指数式的互化
例2将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式:
(1)54=625;(2)log18=-3;
(3)Q)-2=16;(4)Iogl0l000=3.
分析利用a=N0x=logcN进行互化.
4
解(1)V5=625,Alog5625=4.
(2)Vlog18=-3,
(3)*)-2=16,;谒16=-2.
3
(4)Vlogl0l000=3,.\10=1000.
点评指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重
要途径.在利用a'uNOLbgJV进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位
置.
变式迁移2将下列对数式化为指数式求x值:
32
(l)log,v27=2;(2)log2x=一1
(3)log5(log2x)=0;(4)x=log271;
(5)x=log116.
解⑴由10&27=方,得x|=27,Ax=27|=32=9.
(2)由log2X=-1!,得2-曰=x,.・.x=—!―=芈.
1
(3)由log5(log2x)=0,得log2x=1,Ax=2=2.
(4)由X=log27§,得27*=§,即3*r=32,
7二二
•・x3.
(5)由x=log116,得&=16,BP2'x=24,
**.x=-4.
三、对数恒等式的应用
例3(1)。10&31。8月10&汽的值(。,b,c£R例且不等于1,7V>0);
(2)41(log29-log25).
解(1)原式=(Hog滴)log〃ulogcN=Alog/,clogcjV=(Mog努logJV
=clo&W=N.
2IOJZ)99
(2)原式=2(log29-log25)=2益5=§
点评对数恒等式alogJV=N相要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形
式;(3)其值为真数.
变式迁移3计算:310g3小+(S)log3上.
解原式=小+3310g3g=y[s+(31og31)|
咬__________
⑥课堂小结
1.一般地,如果的6次早等于N,就是J=N,那么b叫做以。为底N
的对数,记作logW=6,其中。叫做对数的底数,N叫做真数.
2.利用J=M»/)=logW(其中a>0,a¥l,20)可以进行指数与对数式的互化.
3.对数恒等式:Hog,W=Ma>。且aWl).
----8课时作业一♦«*----
一、选择题
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()
A.10°=1与lgl=0
B.27-;=g与log?7/:-/
C.Iog3;=9与%=3
D.Iog55=l与3=5
答案C
2.指数式户=〃S>0,6W1)所对应的对数式是()
A.k)g6Q=QB.log6b=。
C.log^Z>=6D.log/,67—6
答案D
3.若log,(小一2)=—1,则x的值为()
A.A/5-2B.A/5+2
C市-2或小+2D.2~y[5
答案B
4.如果<10')=x,则43)等于()
310
A.log310B.Ig3C.10D.3
答案B
解析方法一令10'=/,则x=lg/,
⑶=lg3.
方法二令10、=3,则x=lg3,.\/3)=lg3.
5.21+;log25的值等于()
A.2+小B.2小
C.2+坐D.1+坐
答案B
解析21+30g25=2X2^1og25=2X21og25^
=2X592^5.
二、填空题
6.若5皎=25,则x的值为.
答案100
解析V5181=52,/.Igr=2,.,.x=102=100.
7.设log“2=/n,10go3=〃,则/的值为
答案12
mn
解析loga2=m,log03=M,.*.a=2,a=3,
.../“=/"=")2.八22义3=12.
8.已知lg6七0.7782,则d”82仁
答案600
2778
解析10-2P()2X[。旗=600
三、解答题
9.求下列各式中x的值
⑴若嗨,乡'')=1,则求x值;
⑵若log,003(/-1)=0,则求X值.
解(l):log3[^^|=l,...'4^=3
1-2x=27,即x=T3
⑵•••1唯003(/-1)=0
.,.x2-1=1,即x2=2
.'.x=±\f2
10.求x的值:(l)x=log-^4;(2)x=log9M5;(3)x=71—log75;
(4)logv8=—3;(5)logp-=4.
解(1)由已知得:停卜4,
.,.2-5=2?,-1=2,x=-4.
(2)由已知得:9X=小,即3为=3T.
.•.2x=1.T
7
(3)x=7-71og75=7-5=^
(4)由已知得:X-3=8,
即(£)3=23,1=2,
⑸由已知得:2.2.1对数与对数运算(二)
----一♦—自主学案—
D学习目标
1.掌握对数的运算性质及其推导.
2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.
D自学导引
1.对数的运算性质:如果心0,M>0,N>0,那么,
(l)log</(AW)=logJ0+log〃N;
M
(2)log,w=j2gsM2212g虺;
(3)log〃"=〃logM〃eR).
2.对数换底公式:log/二震.
对点讲练
一、正确理解对数运算性质
例1若a>0,a^l,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有()
①logWIo即=1。氏(x+y);
②log1fx-10gtiy=logjx—y);
③lo&歹=log<A+lo&炭;
④10go(中)=log/logj.
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案A
解析对数的运算实质是把积、商、幕的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在
运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如lo&K#log“x,logd是不可
分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的.
点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件.
变式迁移1若。>0月x>0,〃WN*,则下列各式正确的是()
A.Iog,A=—log„-B.(log„x)”=〃logM
C.00glA)"=bg/"D.log,A=loga(
答案A
二、对数运算性质的应用
例2计算:
7
(l)log535-210g5§+log57—log51.8;
(2)2(lgV2)2+lgV21g5+^(lgV2)2-lg2+l;
^,lgV27+lg8-lgVr000
⑶lgl.2;
(4)(lg5)2+lg21g50.
分析利用对数运算性质计算.
9
解(1)原式=log5(5X7)-2(log57-log53)+log57-log5^
=logsS+log57-21og57+210g§3+log57-21og53+log55
=210g$5=2.
(2)原式=lgV2(21gV2+lg5)+A/(lgV2-l)2
=lgV2(lg2+lg5)+1-lgV2=lg72+1-lgx/2=1.
(3)原式)麻+3植2-;31g3+61g2-32
lg3+21g2-12(lg3+21g2-1)2-
(4)原式=(lg5)2+lg2-(lg2+21g5)
=(lg5)2+21g5-lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.
点评要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用.
变式迁移2求下列各式的值:
(l)log535+21ogp/2-log5^-log514;
2
(2)[(l-log63)+log62-log618]+log64.
解⑴原式
2
=log5(5X7)-21og221+log5(5X2)-log5(2X7)
=1+log57.1+2+log52-log52-log57=2.
2
⑵原式=[lo后2+log62-log6(3X6)]-log62
=log62(log62+log63+l)-(21og62)=1.
三、换底公式的应用
例3(1)设3、=4"=36,求,2"1的值;
(2)已知已gi89=a,186=5,求log3645.
解(1)由已知分别求出x和x
:3*=36,4'=36,
.'.X=log336,y=log436,
由换底公式得:
=log3636=],=log3636=]
-
Alog363-R)g363')-log364log364'
log363,-=log364,
21
+
■-77=21og363+log364
2
=log36(3X4)=log3636=1.
(2)Vlogi89=0,18*=5,.,.log]g5=b.
.._logix45_logi8(9X5)
..log3645-log]s36-logig(18x2)
_10glg9+logi85_a+b_a+b
=1+1Ogl82=
l+logl8f~'
点评指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换
底公式可将差异消除.
变式迁移3(1)设log34-log48-logx/H=log416,求m;
(2)已知10gl227=。,求log616的值.
解(1)利用换底公式,得翳・修・牒=2,
,lg加=21g3,于是加:9.
31g3
⑵由log1227=a,得:2lg2+lg3="
..&2al^2.Ig3_2o_
•*3=3“'.3g2=3Y
..»41g24
.」og616=ig3+lg2=3L+1
3-67
4(3-a)
3+a-
►课堂小结
1.对于同底的对数的化简常用方法是:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对于常用对数的化简要充分利用“Ig5+lg2=l”来解题.
3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.
一♦—课时作业—一♦
一、选择题
1.Ig8+31g5的值为()
A.-3B.-1C.1D.3
答案D
解析lg8+31g5=Ig8+lg53=Igl000=3.
2.已知lg2=mlg3=6,则log36等于()
a+ha+h
A.------B.-;—
ab
_a_b
^a+ba+h
答案B
解析log36=,g3=lg3=-
3.若Igo,Igb是方程2?—4x+l=0的两个根,则(1点)2的值等于()
A.2B、C.4D.;
答案A
解析由根与系数的关系,得lgo+lgZ)=2,lga-lgZ>=;,
=(Igcr+lgb)2-41galgb
i1
=22-4X-=2.
4.若2.5*=1000,0.25,=l000,贝日一1等于()
A.1B.3C.D.-3
答案A
嬴斤由指数式转化为对数式:
X=log25l000,y=logo.25l000,
则[一,=log,ooo2.5-logioooO.25=log1000IO=y.
5.设函数.Ax)=log“t(心0,且aWl),若义RM…应005)=8,贝!]兀淄+/(■玲H--h/(x;oo5)
的值等于()
A.4B.8C.16D.21o&8
答案C
解析因为J(x)=log/,J[X\X2…X2005)=8,
所以渴)+欣)+…+於005)
=logaXi+log*+…+log^oos
=210goiXiI+2loga|x2|+…+210gm20051
=21O&K1X2…X2005I
=2/(X|X2—X2005)=2X8=16.
二、填空题
6.设Ig2=q,lg3=6,那么.
小-a+2h-1
答茶
__IIIOI2X9
解析1€宿=50.8=21断6=21盯限
=1(lg2+lg9-l)=|((7+2fe-1).
7.若log』=2,log*=3,log,jc=6,则log^/的值为.
答案1
解析logger-bgdjc-logR+log/+log*
'/logf/x=2,log庐=3,\ogcX=6
/.logr^=1,log,=?log/-=
「・lo&M=j[=[=L
236
8.已知log63=0.6131,log6X=0.3869,贝llx=.
答案2
解析由log63+logQ=0.6131+0.3869=1.
得log6(3x)=1.故3x=6,x=2.
三、解答题
9.求下列各式的值:
(1)2lg49-3lg^+;
(2)(lg5)2+21g2-(lg2)2.
解⑴方法一原式=;(51g2-21g7)-dlg2
+|(21g7+lg5)
=1lg2-lg7-21g2+Ig7+|lg5
=|lg2+|lg5=1(lg2+lg5)
方法二原式=-lg4+lg7小
,4福义7小
=s7X4
=怆(小•小)=IgVTb=1.
(2)方法一原式=(lg5+Ig2)(lg5-lg2)+21g2
=lglOTg|+lg4=lg(|x4)=lglO=1.
方法二原式=(IglO-lg2)2+21g2-lg22
=1-21g2+lg22+21g2-lg22=1.
i7a
10.26a=33b=62c,求证:分=?
证明设26"=338=62,=4(上>0),那么
C6八~
厂硒=61。点,
6a=log2左,
13
3b=噫左,厂丽=31og3
2c=log/r,
612,,
〔1丽=2log£
S+,6-logA2+2X310g后
3
=log。6义36)=610gA6=3X210g*6=
l23
即on一+工=二
abc
2.2.2对数函数及其性质
----—要点精析——
1.对数函数的概念
形如(<7>0且aWl)的函数叫做对数函数.
对于对数函数定义的理解,要注意:
(1)对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x
恰好是指数函数的函数值”所以对数函数的定义域是(0,+8);
(2)对数函数的解析式r-logj中,lo&x前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数。
必须满足<2>0,且。W1;
(3)以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx.
2.对数函数的图象及性质:
a>\0<o<l
L
图象
\:"1OJ
性质函数的定义域为(0,+°°),值域为(-8,H-CO)
函数图象恒过定点(1,0),即恒有log“l=0
当x>l时,恒有户0;当x>l时,恒有产0;
当0<x<l时,恒着y<0当(Kxvl时,恒有y>0
函数在定义域(0,+°°)上为减函
函数在定义域(0,+8)上为增函数
数
3.指数函数与对数函数的关系比较
名称指数函数对数函数
解析式y=a(i/>0,且aWl)y=logRAO,且aW1)
定义域(—8,+oo)(0,+8)
值域(0,+°°)(—8,H-OO)
7>1时,a>\时,logaX
>1(%>0)>0(x>1)
ax<=1(%=1);<=0(x=1);
<l(x<0)>0(0<x<1)
函数值变
化情况0<k时,)<a<l时,log^A
<l(x>0)<0(x>1)
x<=l(x=1)
xa=0(x=1)
>l(x<0)>0(0<x<1)
图象必
点(0,1)点(1,0)
过定点
a>\时,是增函
数;夕>1时,y=log/是增函数;
单调性
0<67<1时,是减函0<i/<l时,y=log/是减函数
数
图象y="的图象与y=IogM的图象关于直线y=x对称
实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=log,酒有以下规律:
(1)当(m—1)(〃-1)>0,即》?、〃范围相同(相对于"1”而言),则10gmM>0;(2)当(加一1)(〃
-1)<0,即机、〃范围相反(相对于“1”而言),则log,”〃<0.有了这个规律,我们再判断对数
值的正负就很简单了,如log2;<0,Iog52>0等,一眼就看出来了!
一♦—典例剖析—
题型一求函数定义域
>例1求下列函数的定义域:
A/2X+3
(l»=log3「l\_];
⑵尸布言行。°'“").
分析定义域即使函数解析式有意义的X的范围.
解(1)要使函数有意义,必须{2x+3>0,X-1>0,3x-1>0,3X-1W1同时成
立,
f312
解得X>1,X>yX^y
二定义域为(1,+8).
(2)要使原函数有意义,需1-log“(x+a)>0,
即log0a+a)vl=10goa.
当a>l时,0<x+a<q,/.~a<x<0.
当O〈a<l时,x+a>a,;.x>0.
.•.当a>l时,原函数定义域为{x|-a<x〈O};
当0<q<l时,原函数定义域为{x|r>0}.
点评求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑:真数大于零,底数大于零且不等
于1,若分母中含有x,还要考虑不能使分母为零.
题型二对数单调性的应用
‘,例2⑴k»g43,log34,lo战的大小顺序为()
43
A.log34<log43<log^
43
B.log34>log43>log^
43
C.log34>log^>log43
43
D.Iog^>log34>log43
⑵若/试比较log“£,logA,,[ogM,bg/的大小.
⑴解析Vlog34>l,0<log43<l,
Alog34>log43>log^.
答案B
(2)解':b>a>l,/.0<|<l.
/.log„1<0,log'G(0,1),log必e(0,1).
bb
又o>->1,且b>1,log%<log/,a,
故有log^log^log/^log.^.
点评比较对数的大小,一般遵循以下几条原则:
①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性(底数°>1为增;0<a<l为减)比较.
②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较.
③如果两对数的底数不同而真数相同,如y=log”、与y=logGX的比较。芦1,
。2>°,。2W1).
当4[>夕2>1时,曲线为比及的图象(在第一象限内)上升得慢.即当X>1时,刈勺2;当
O〈X<1时,川>丝.而在第一象限内,图象越靠近X轴对数函数的底数越大.
当时,曲线刃比外的图象(在第四象限内)下降得快.即当%>1时,为勺2;当
0VXV1时,川,”即在第四象限内,图象越靠近X轴的对数函数的底数越小.
⑥例3已知那么“的取值范围是.
分析利用函数单调性或利用数形结合求解.
解析由log„1<l=log„<7,得当a>l时,显然符合上述不等式,.">1;当0<a<l时,
(7<2>.*<0<6T<^.
故或
答案或0<67<1
点评解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于1还是小于1,然后再
利用相应的对数函数的单调性进行解答.理解会用以下几个结论很有必要:
(1)当a>\时,logQ>0<=>x>1,log/vO<=>0<x<l;
(2)当0〈QV1时,1OGK>000VXV1,10^<0<=>%>1.
题型三函数图象的应用
0例4若不等式年一log^vO,当x£(0,1
时恒成立,求实数。的取值范围.
解
0,一]内恒在
要使不等式2x<logax在x£
<2J
.由图可知,logag>J5,
函数产2x图象的上方,而尸2x图象过点
显然这里0<a<l,函数y=logax递减.
企
又loga*^〉,2=log“Q、2,.,.a5,2>—,即a>r-
所求的a的取值范围为(g)之QV.
点评原问题等价于当xe(o,;)时,yl=2x的图象在y2=logax的图象的下方,由于
a
的大小不确定,当a>l时,显然y2〈yl,因此a必为小于1的正数,当y2的图象通过点
42
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