31110637 第 3 章　幂 指数与对数 解答题题型-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册

【学生版】高一数学《第3章幂指数与对数》章节复习解答题训练1、化简。【提示】【答案】【解析】【说明】2、计算：（1）．（2）若，求．【提示】【答案】【解析】3、（1）求表达式的值；（2）已知，求的值。4、（1）已知，且，求实数的值；（2）已知，，试用、表示，.5、已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．6、已知命题p：对数有意义；命题q：实数t满足不等式.（1）若命题p为真，求实数的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值范围7、因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.（1）对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果，，，，那么；（2）请你运用上述对数运算性质，计算的值；（3）对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为，所以是一个4位数，我们取，请你运用上述对数运算性质，判断的位数是多少？8、阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得:，又因为，所以解决以下问题：（1）将指数转化为对数式：__.（2）仿照上面的材料，试证明：.（3）拓展运用：计算【教师版】高一数学《第3章幂指数与对数》章节复习解答题训练1、化简。【提示】注意：初中公式与化简要求；【答案】【解析】原式====【说明】本题了结合“平方差公式”阶梯法递进化简。2、计算：（1）．（2）若，求．【提示】（1）根据对数的运算法则及性质计算可得；（2）根据对数的运算法则求出，再根据乘法公式计算可得；【答案】（1）；（2）1.【解析】（1）原式=，（2）即=3、（1）求表达式的值；（2）已知，求的值。【解析】（1）．（2）因为，所以，所以．4、（1）已知，且，求实数的值；（2）已知，，试用、表示，.【提示】（1）根据条件可得出，从而可得出，进而可得出的值；（2）根据对数的换底公式和对数的运算即可用，表示出和．【答案】（1）；（2），.【解析】（1），，，，且，；（2），，，．5、已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．【解析】方法1、设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.方法2、令ax＝by＝cz＝t，∵a，b，c是不等于1的正数，∴t＞0且t≠1，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt)，∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴lga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.6、已知命题p：对数有意义；命题q：实数t满足不等式.（1）若命题p为真，求实数的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值范围【提示】先根据真数大于零得命题为真时的范围，再根据充分不必要条件得的范围包含关系，解得结果；【答案】（1）（2）【解析】（1）由对数式有意义得－2t2＋7t－5>0，解得1<t<，即实数t的取值范围是.（2）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴1<t<是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0解集的真子集．方法1：因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0两根为1，a＋2，故只需a＋2>，解得a>.即a的取值范围是.方法2：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因f(1)＝0，故只需f<0，解得a>.即a的取值范围是.【说明】本题考查命题之间的充分必要关系。本题中命题p是命题q的充分不必要条件，则指命题p的解集是命题q的解决的真子集，通过集合间包含关系，利用数轴，得到答案7、因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.（1）对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果，，，，那么；（2）请你运用上述对数运算性质，计算的值；（3）对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为，所以是一个4位数，我们取，请你运用上述对数运算性质，判断的位数是多少？【提示】（1）根据指数与对数的互化有，.可得证；（2）由化简可得答案；（3）设的位数为，则，两边取常用对数可解得答案.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）位数为16.【解析】（1）设，则.根据对数定义有，.因此.（2）由可得：.（3）设的位数为，则，所以，即.因为，所以.由得.因为，所以8、阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得:，又因为，所以解决以下问题：（1）将指数转化为对数式：__.（2）仿照上面的材料，试证明：.（3）拓展运用：计算【提示】（1）利用指数是与对数式的对应关系；（2）把对数的差运算转化为指数的商运算；（3）利用（2）的结论；【答案】