2023-2024学年保定市一中高一数学（下）期中考试卷附答案解析

2023-2024学年保定市一中高一数学（下）期中考试卷满分为150分，考试时间为120分钟2024年4月第Ⅰ卷选择题一、单选题（本大题有8个小题，每小题5分，共40分）1．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（

）A．B．C． D．2．定义在上的函数满足，当时，，则（

）A． B． C．0 D．3．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（

）A．-1 B．-2 C．2 D．14．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（

）A．B．C． D．5．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．7．已知正实数满足则（

）A． B． C． D．8．已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题有3个小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，有错选或不选得0分）9．已知，，则（

）A． B．C． D．10．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（

）A． B．C． D．11．定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（

）A．若，，则实数m的取值范围为B．若，，则实数m的取值范围为C．若，，则实数m的取值范围为D．若，，则实数m的取值范围为第Ⅱ卷非选择题三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分）12．已知，则.13．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数，下列四个命题正确的是．（只填序号）①函数的单调递增区间是；②若，其中，，，则；③若的值域为，则；④若，则.四、解答题（本题共5题，共77分）.15．已知函数(1)求的值；(2)若，求的值．16．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.(1)求值和的表达式；(2)当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值.17．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.(1)求的值；(2)记点的横坐标为，若，求的值.18．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．(1)求函数的解析式；(2)若，，求：①的最小值；②讨论关于m的方程的解的个数．19．已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．(1)求实数，的值；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．1．C【分析】根据的范围求得是第一､三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断.【详解】因为在第一象限，所以，，所以，，所以是第一､三象限角，当是第一象限角时，，，，；当是第三象限角时，，，，；综上，一定成立.故选：C2．A【分析】根据函数满足递推求解即可.【详解】根据题意，有.故选：A3．B【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【详解】由题意知，则，即，所以，即，所以函数的周期为，所以，故选：B4．A【分析】先将命题等价转化为研究在上的的性质，然后分类讨论即知使得命题成立的充要条件是，最后比较选项即可得出答案.【详解】由于是定义在上的递减函数，故命题等价于在上单调递增且取值恒为正.若，则，从而在上取值不恒为正，不满足条件；若，则对任意都有，且由知对任意都有.故在上单调递增且取值恒为正，满足条件.所以使得原命题成立的充分必要条件是，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C，D是既不充分也不必要条件.故选：A.5．A【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.【详解】，定义域为，又，故为偶函数；又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；，即，则，即，，也即，解得.故选：A.6．A【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.【详解】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.7．B【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到.【详解】由可得因，则有即（*）设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.8．D【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围.【详解】设，由，得，所以，令，则，所以函数在上单调递增，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以对任意的，，所以，函数为上的偶函数，且，由，可得，即，即，所以，解得，故选：D【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.9．AD【分析】由条件平方后，可得，再求出后可得.【详解】，，，故A正确B错误；由，所以，，又，所以，故C错误D正确.故选：AD10．BCD【分析】将题目条件等价转化为，然后即可给出选项A的反例，并使用放缩法证明B，C，D选项正确.【详解】设，则对任意都有，这得到.由恒为常值，知，，所以，，故点的坐标是.而点在直线上，故条件即为.对于A，取，则此时，故A错误；对于B，有，故B正确；对于C，有，故C正确；对于D，有，故D正确.故选：BCD.11．BD【分析】先判断函数为奇函数，再分和讨论的单调性，分和讨论函数的单调性，根据复合函数的单调性判断得出的单调性，利用单调性将进行等价转化成含参数的不等式，求解即得.【详解】对于函数，因，则函数是奇函数.不妨设，则，对于A项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数.由，则，即（*），①当时，此时恒成立；②当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误；对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数，由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确；对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数，由，则，即（*），①当时，无解；②当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误；对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数，由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数的不等式恒成立问题，再对参数分类讨论不等式解的情况即得.12．【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.13．【解析】根据任意的，总存在使得成立，问题转化为的值域是值域的子集，故只需分别求出两个函数的值域，利用子集关系建立不等式，即可求出a的取值范围.【详解】因为函数在上单调递减，所以，即，所以函数的值域为，因为对任意的，总存在使得成立，故的值域是值域的子集，对，，当时，，符合题意；当时，函数在单调递增，所以，所以解得，又，所以，综上，实数a的取值范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的，都存在，使得成立”此类问题“等价转化”策略是利用的值域是值域的子集来求解参数的范围．14．①②④【分析】对于①，使用复合函数的单调性求解方法即可；对于②，由的单调性即可得到，从而得出结论；对于③，直接给出作为反例；对于④，利用的表达式可直接证明结论成立.【详解】对于①，由于定义在上且单调递减，的单调递减区间是.故可解不等式组得到，从而的单调递增区间是，①正确；对于②，由及单调递减，知，而，故，即.代入表达式得，即，所以，②正确；对于③，由于当时有，而对任意实数，取就有.所以时亦有的值域为，从而原条件并不能推出，③错误；对于④，若，注意到等价于，而这又等价于，即，即.而显然成立，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数函数的相关性质，尤其是单调性和运算法则.15．(1)(2)【分析】（1）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.【详解】（1），所以.（2）因为，原式=.16．(1)(2)【分析】（1）根据关系式：无隔热层，则每年能源消耗费用为万元，可求值，利用为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；（2）利用基本不等式，即可求得函数的最小值．【详解】（1）当时，,则，故，所以;（2）由，，当且仅当，即取等号，故时，即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元.17．(1)1(2)【分析】（1）由题意可得，进而利用诱导公式化简、求解；（2）由题意可得：，进而可知，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解.【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，所以，所以；（2）由（1）可知，且为锐角，可得，根据三角函数定义可得：，因为，且，因此，所以所以.18．(1)(2)①；②答案见解析【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数.【详解】（1）（1）由得，对称轴为，设，∴，得，∴．（2）（2）①，，对称轴，ⅰ当即时，在单调递增，，ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，∴，ⅲ当即时，在单调递减，，综上：②画出函数的图象图下图所示：

利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：

方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.19．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得，（2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为.（3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得