(5.4.1)-5.1灰色GM（1,1）模型-中国人口预测

红色字体表示在屏幕上需要体现的文字内容，与语音同时出现黄底色红字表示用素材（图片、表格、公式等）展示并显示文字黄底色黑字表示用素材（图片、表格、公式等）展示，文字不用显示灰底色删除线表示删除的文字批注制作的意见或重点文字的提炼蓝色字体制作的意见或说明绿色字体表示讲稿存疑之处，需要与老师进行沟通如无特殊说明，上屏文字均为：思源宋体CNSemiBold脚本-灰色GM（1,1）模型—中国人口预测（ppt1ppt2）同学，你好，这节课我们讲授数学建模中的预测方程法，灰色GM（1,1）模型及其在中国人口预测中的应用。（ppt3）我们先来讲讲预测的重要性。（ppt4）（动画1）大家外出旅游的时候都会查看当地的天气情况，一般来说3天以内，天气情况预测较准确，但超过7天，我们发现预报就不准确了。有很多关于天气的谚语其实就是人们根据历史数据做的预判。如：光打雷，雨不来；泥鳅跳，风雨到。还有目前中央电视台朱光权用段子播报天气预报让人很容易记住。如：寒露，不宜外露，也不要耍酷，更不可一日无秋裤；明天后天大后天，都是热情似火的艳阳天。（动画2）另一例子有很多同学喜欢看足球，甚至购买体彩，预测球队的输赢。但赢球涉及到的很多因素，有些已知，有些未知，给预测带来了难度。（ppt5）（动画1）还有房价的预测。房子是与我们生活最密切相关所占比例最大的资产，因此我们在选房的时候非常慎重，房价与经济发展、人口、位置等很多因素有关。同样这些信息不是全部知道的。（动画2）比如中国老年人所占比例预测。这与中国的人口政策、医疗水平、生小孩的意愿等因素有关。上述例子的共同特征是信息部分已知，部分未知，需要我们做出预测。（动画3）常用的预测方法有哪些呢？（ppt6）（动画1）我们先看第一类方法，灰色预测方法，先介绍灰色理论。（ppt7）现实生活中的系统按信息的完整性可分为3类系统，分别是：白色系统、黑色系统和灰色系统。（动画1）如果其全部信息已知的系统称为白色系统，（动画2）全部未知的系统就称为黑色系统。（动画3）一部分已知一部分未知的系统，将其称为灰色系统。（动画4）灰色系统所表现的现象是随机的、杂乱无章的，但是依然具备一定的潜在规律，灰色模型就是寻找这种规律并加以利用，从而对系统进行预测。常有GM（1,1）模型、GM（1,N）模型、Verhulst模型、灰色波形预测模型。（ppt8）下面我们介绍最基本的GM（1,1）模型及其在中国人口预测中的应用。（ppt9）（动画1,2）GM（1,1）模型的思想是：基于随机的原始时间序列，经按时间累加后形成的新的时间序列所呈现的规律用一阶线性微分方程的解来逼近。（动画3，4）模型的实用条件是什么呢？需要满足条件：1.原始数据量不少于4个；2.原始数据非负、符合指数规律变化且变化不是很快。（ppt10）（动画1）接下来，我们介绍GM（1,1）模型的建模过程，主要分为三个步骤。（动画2）第一步：数据预处理。（动画3）给定原始的n个观测时间序列X^((0))={x^(0)(1),x^(0)2),…,x^(0)(n)},（动画4）对序列做一次累加，构造X^((0))的1-AGO序列为X^((1))={x^(1)(1),x^(1)2),…,x^(1)(n)}（动画5）这里X^((1))是怎么来的呢？X^(1)(1)=X^(0)(1),X^(1)(2)=X^(0)(1)+X^(0)(2),X^(1)(k)=X^(0)(1)+X^(0)(2)+...+X^(0)(k),写出公式可以表示为X^(1)(k)=sigamam从1到k,对X^(0)(m)求和。（动画6）我们看看累加后的效果是什么呢？左图是原始观察序列图。右图是1次累加序列图。我们发现累加后数据磨光滑了。（动画7）进一步，作X^((1))的紧邻均值生成序列:Z^((1))={z^((1))(2),z^((1))(3),…,z^((1))(n)}，（动画8）这里z^((1))(k)=二分之一乘以括号x^((1))(k)+x^((1))(k-1)括号,k=2,3,…,n注意：我们做这步的目的是使原始观测数据进一步光滑化，且这里向量Z^((1))的维数比原始观测数据的维数少一维。（ppt11）（动画1）第二步是确定灰色及白化微分方程系数。（动画2）首先我们定义dx^((1))k=x^((0))(k)=x^((1))(k)-x^((1))(k-1)为X^((1))的灰导数。（动画3）然后，构造GM（1，1）的灰微分方程模型dx^((1))(k)+az^((1))(k)=b或x^((0))(k)+az^((1))(k)=b（动画4）其中a称为发展系数，（动画5）b称为灰作用量，这里的系数，a,b如何确定呢？（ppt12）（动画1）令k=2,3,…n,则上式可写成n-1个方程组成的方程组（动画2）见背板公式。（动画3）把含未知量a的项移到右边后，未知量a，b前面的系数组成的矩阵记为B，常数项记为Y，由未知量a，b组成的未知向量记为P。（ppt13）（动画1）则GM(1,1)模型的矩阵形式为Y=BP（动画2）利用最小二乘法求得P=B转置乘以B的逆乘以B的转置乘以Y。（动画3）上面我们求解的是差分方差的系数，如果原始数据可以看作连续可导函数，该如何建立微分方程呢？（ppt14）（动画1）如果连续，我们可构造相应的白化微分方程为（动画2）(dx^((1)))/dt+ax^((1))=b这里系数a,b与差分方差系数一样，但是这里是关于累加序列的一阶线性微分方程，取初值x^(1)(1)=x^(0)(1)，（动画4）利用常数变异法可得白化方程的时间响应式（动画4）见背板公式。x

̂^((1))(k+1)=(x^((1))(1)-b/a)e^(-ak)+b/a,k=1,2,…（ppt15）（动画1）第三步数据还原及预测。为什么要做数据还原呢？我们在做数据预处理的时候，是对数据进行累加了，因此必须还原。（动画2）具体是对数据模型作逆生成处理，还原x

̂^((0))(k)。相应的计算公式:（动画3）见背板公式。初值取为x

̂^((0))(1)=x^((0))(1)；（动画4）迭代公式为x

̂^((0))(k)=x

̂^((1))(k)-x

̂^((1))(k-1)=(1-e^a)(x^((0))(1)-b/a)e^(-a(k-1)),k=2,3...综上，通过上述3步我们就可以建立灰色GM（1，1）模型，得到预测的序列x

̂^((0))(k)。（ppt16）下面我们看案例分析。（ppt17）以我国1998-2006年全国人口总量作为预测样本，采用GM(1,1)模型进行数据预测。从样本数据可看出1998我国人口大约12亿多，到2006年，中国人口增长到13亿多。（ppt18）整页见背板公式。（动画1）建立GM(1,1)模型，x^((0))(k)+az^((1))(k)=b，可以写出对应的白化方程。（动画2）对原始数据X^((0))作一次累加得得到X^((1))，X^((1))的人口数据从12亿多变化到115亿多。（动画3）作X^((1))的紧邻均值生成序列Z^((1)),Z^((1))的人口数据从18亿多变化到108亿多。（ppt19）（动画1,2）利用最小二乘法对参数进行估计，代入数据可以得到矩阵B，向量Y的值，（动画3）利用最小二乘法得：P=(B^TB)^(-1)B^TY，（动画4）解的参数a=-0.0062,参数b=124790.（ppt20）整页见背板公式。（动画1）把参数代入灰微分方程。（动画2,3）类似代入得到白化方程，把参数代入响应方程还原后得到预测值x

̂^((0))。（ppt21）（动画1,2）预测结果的图像表明GM(1,1)模型做短期预测效果还是比较好的。（ppt22）我们看看模型的具体应用。（ppt23）（动画