(3.7)-第五章 时间序列分析（版本二）

第五章

时间序列分析 1.平稳时间序列分析 2.非平稳序列建模一、了解时间序列1.1什么是时间序列？时间序列是指按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。1.2什么是时间序列分析？简单来说，就是对时间序列进行观察研究，找寻它的发展规律，预测它将来的走势。

任何时间序列经过合理函数变换均可认为是三个部分叠加而成。即：趋势项部分、周期项部分、随机噪声项部分时间序列可有不同的分类：

根据所研究的对象数量可分为一元时间序列和多元时间序列；根据时间的连续性，可分为离散时间序列和连续时间序列；根据序列的统计特性，可分为平稳时间序列和非平稳时间序列。二、了解Eviews软件在这里，我们用Eviews软件来求解所有的案例。那Eviews是什么，它又能够做什么呢？我们来简单了解一下：1）Eviews是在大型计算机的TSP(TimeSeriesProcessor)软件包基础上发展起来的新版本，是一组处理时间序列数据的有效工具。虽然Eviews是由经济学家开发的，并大多在经济领域应用，但它的适用范围不应只局限于经济领域。2）Eviews可以用来统计、计量分析和预测数据，

除菜单操作外，EViews还提供命令语言。平稳时间序列分析 1.基本概念 2.ARMA模型的基本形式 3.ARMA模型的平稳性和可逆性 4.ARMA建模 5.案例分析第一节

第五章一、基本概念1.随机过程的均值函数：对于随机过程,t固定时,是一个随机变量,是一个随机变量,设其均值为.当t变动时,是t的函数.2.

随机过程的方差函数：对于随机过程 ,t固定时,的方差为;当t变动时,是t的函数3.自协方差函数：对于随机过程

取定4.自相关系数：将标准化

5、平稳时间序列：若随机序列满足条件下列条件6、白噪声序列（纯随机序列）

若随机序列是由一个不相关的随机变量构成的,且其期望和方差都是常数。即

1、自回归(AR)模型2、移动平均(MA)模型3、自回归移动平均(ARMA)模型

第五章二、ARMA模型的基本形式2.1

AR模型

满足的条件其中：是零均值、方差是的平稳白噪声，为自回归参数向量

*：特别当时，称为中心化AR(P)模型

中心化AR(p)模型引进算子多项式，中心化AR(P)模型又可以简记为其中:2.2

MA模型具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为MA(q)满足的条件其中：是零均值、方差是的平稳白噪声

为移动平均参数向量*：特别当时，称为中心化模型

中心化MA(q)模型

引进算子多项式，中心化MA(q)模型又可以简记为其中：2.3ARMA模型具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA（p,q）满足条件其中：

是零均值、方差是的平稳白噪声为自回归移动平均参数向量*：特别当时，称为中心化ARMA（p,q）模型中心化

模型引进算子多项式，中心化ARMA（p,q）模型又可以简记为其中：

三、ARMA模型的平稳性和可逆性对于一般的平稳序列，设其均值，满足

引进算子多项式后，有

假定和无公共因子，且则:

模型的平稳性条件—— 的根全在单位圆内

模型的可逆性条件—— 的根全在单位圆外注意：

对于时间序列模型来说，只有满足了平稳性与可逆性，才能够真正有意义的反映动态系统的实际变化特征。四、ARMA(p,q)建模过程1、获得观测值序列2、时间序列预处理3、ARMA模型识别与定阶4、ARMA模型的参数确定5、ARMA模型的检验6、ARMA模型的优化7、序列预测及结果分析Step1获得观测值序列

在Eviews软件中，利用菜单栏中的File可以直接把文本文件、Excel文件、数据库保存的数据导入Eviews中。Step2时间序列预处理平稳性检验——检验序列的平稳性1）时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。2）自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性，该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减为零。

纯随机性检验（白噪声检验）——检验序列是否具有相关性

纯随机序列没有分析价值，为了确定某平稳序列值不值得继续分析，我们需要对平稳序列进行纯随机性检验。1）检验统计量： Q-统计量，2）判断原则： Q-统计量的P值小于时，认为该序列为非白噪声序列；反之，则为白噪声序列。Step3

ARMA模型识别与定阶两个基本概念1）自相关系数（ACF）：构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系，用来度量自相关程度，即观测值序列的样本自相关系数的计算公式：其中：2）偏自相关系数（PACF）：所谓滞后k偏自相关系数，就是说在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量，即

观测值序列的样本自相关系数的计算公式：其中：根据样本自相关系数与偏自相关系数的性质，选择恰当的ARMA(p,q)进行拟合。具体判断标准为：（1）若为q阶截尾，则判断是MA(q)序列

（2）若为p阶截尾，则判断是AR(p)序列（3）若

、都不截尾，而仅仅是以负指数衰减，则可初步判断是ARMA(p,q)序列补充：1）在实际处理中，要使、在某一阶之后全部为0几乎是不可能的，只能在某一阶之后围绕零值上下波动2）拖尾性：呈负指数衰减

截尾性：若样本（偏）自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95%的（偏）自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值的波动过程非常突然。这时，通常视为（偏）自相关系数截尾，截尾阶数为d。

Step4

ARMA模型的参数确定对于一个非中心化的ARMA(p,q)模型有

即

其中：该模型有p+q+2个未知参数：其中

的估计值可以用样本均值估计总体均值得到，其他p+q+1个未知参数可用矩估计、最大似然估计、最小二乘估计。Step5

ARMA模型的检验1）模型的显著性检

目的：判断整个模型对信息的提取是否充分。

模型检验的对象为残差序列，目的是为了检验模型的有效性，即对信息的提取是否充分。判定原则：A、一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列B、若残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效

。在Eviews软件中，利用P统计量来检验模型的有效性，当时，残差序列不为白噪声序列，反之则为白噪声序列DW检验值：用于检验序列的自相关性，大致在1.5~2.5间表明序列无自相关性2）参数的显著性检验目的：检验模型结构是否最简在Eviews软件中，利用Std.Error（回归系数的标准误差）来检验Step6

ARMA模型的优化当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种效果并不是唯一的。当同一个向量可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪一个模型用于统计推断呢？为了解决这个问题，我们用第3步中的最小信息准则——AIC准则、BIC准则，确定模型相对最优判定原则：AIC、BIC、SC越小，模型拟合相对最优。在Eviews软件中，可直接观测到模型的AIC值、SC值Step7序列预测及结果分析利用得到的模型，预测下一时间段的值：在Eviews软件中，利用Forcast进行预测。依据题意，分析得到的结果。ARMA(p,q)建模过程流程五、案例分析已知某城市过去63年中每年降雪量数据，如下表，试预测该城市下一年降雪量5.1模型求解1）序列预处理结果分析：从时序图（左）可以看出，y序列始终在一个常数值附近波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征，该序列为平稳序列。

从自相关系数图（右）可以看出，随着延迟期数的增加，序列的自相关系数会很快衰减为零，该序列为平稳序列。从Q-统计量的P值可以看出，大部分小于0.05，该序列为非白噪声序列。2）确定模型类型的和阶数

根据自相关与偏自相关系数的性质，确定模型类型的和阶数

分别尝试用ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(1,3)等模型拟合，并通过误差分析来选取最优模型模型自相关系数（ACF）偏自相关系数（PACF）AR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾3）ARMA(1，2)模型拟合结果根据该图，我们得出这一模型形式如下：5）序列预测与结果分析该城市下一年的降雪量约为84.82。4）模型检验分析：P值均大于0.05，残差序列为白噪声序列，建模通过DW检验值为1.94，序列无自相关性。非平稳时间序列建模 1.基本概念 2.ARIMA(p,d,q)模型 3.ARIMA建模过程 4.案例分析第二节

第五章一、基本概念1、差分运算的实质：差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法，差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息。d阶差分后序列可以表示为2、差分方式的选择在实际情况中，我们会根据序列不同的特点选择合适的差分方式，常见情况有以下三种：1）序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳。2）序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响。3）对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息。二、ARIMA(p,d,q)模型1、ARIMA(p,d,q)模型结构具有如下结构的模型称为ARIMA(p,d,q)模型可简记为其中：2、对于ARIMA(p,d,q)模型有下列三种形式

当d=0时，ARIMA（p,d,q）模型实际上是ARMA（p,q）模型

当p=0时，ARIMA（p,d,q）模型可以简记为IMA（d,q）

当q=0时，ARIMA（p,d,q）模型可以简记为ARI（p,d）特别地。当d=1,p=q=0时，ARIMA(0,1,0)模型为该模型被称为随