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文档简介
江苏省泰州市泰州栋梁学校2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为()A.2 B. C.6 D.82.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.()A. B. C. D.4.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-55.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加6.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.7.已知数列,,,…,是首项为8,公比为得等比数列,则等于()A.64 B.32 C.2 D.48.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为A. B. C. D.9.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.10.已知复数,为的共轭复数,则()A. B. C. D.11.已知i是虚数单位,则1+iiA.-12+32i12.已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,满足,,,则向量在的夹角为______.14.平面向量,,(R),且与的夹角等于与的夹角,则.15.函数(为自然对数的底数,),若函数恰有个零点,则实数的取值范围为__________________.16.(5分)如图是一个算法的流程图,若输出的值是,则输入的值为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)记函数的最小值为.(1)求的值;(2)若正数,,满足,证明:.18.(12分)已知函数.(1)求证:当时,;(2)若对任意存在和使成立,求实数的最小值.19.(12分)若正数满足,求的最小值.20.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.21.(12分)如图,正方形所在平面外一点满足,其中分别是与的中点.(1)求证:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.22.(10分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若函数图象的一条对称轴方程为且,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状,以及四棱锥的高,再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知,该四棱锥为斜着放置的四棱锥,四棱锥的底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高为2,所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图,由几何体的三视图先还原几何体,再由体积公式即可求解,属于常考题型.2、C【解析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.3、B【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.4、C【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.5、C【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.6、C【解析】
化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.7、A【解析】
根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,,故,,.故选:.【点睛】本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.8、B【解析】
推导出基本事件总数,6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,由此能求出6和28恰好在同一组的概率.【详解】解:将五个“完全数”6,28,496,8128,33550336,随机分为两组,一组2个,另一组3个,基本事件总数,6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,∴6和28恰好在同一组的概率.故选:B.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9、C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.10、C【解析】
求出,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选:C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,属于基础题.11、D【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】1+i故选D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,属于基础题。12、B【解析】
求得直线的方程,联立直线的方程和双曲线的方程,求得两点坐标的关系,根据列方程,化简后求得离心率.【详解】设,依题意直线的方程为,代入双曲线方程并化简得,故,设焦点坐标为,由于以为直径的圆经过点,故,即,即,即,两边除以得,解得.故,故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点,考查圆的直径有关的几何性质,考查运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
把平方利用数量积的运算化简即得解.【详解】因为,,,所以,∴,∴,因为所以.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则,考查向量的夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、2【解析】试题分析:,与的夹角等于与的夹角,所以考点:向量的坐标运算与向量夹角15、【解析】
令,则,恰有四个解.由判断函数增减性,求出最小值,列出相应不等式求解得出的取值范围.【详解】解:令,则,恰有四个解.有两个解,由,可得在上单调递减,在上单调递增,则,可得.设的负根为,由题意知,,,,则,.故答案为:.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用,属于难题.16、或【解析】
依题意,当时,由,即,解得;当时,由,解得或(舍去).综上,得或.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式证明即可.【详解】解法一:(1)当时,,当,,当时,,所以解法二:(1)如图当时,解法三:(1)当且仅当即时,等号成立.当时解法一:(2)由题意可知,,因为,,,所以要证明不等式,只需证明,因为成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因为,,,所以,,又因为,所以,所以,原不等式得证.补充:解法三:(2)由题意可知,,因为,,,所以要证明不等式,只需证明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解,不等式的证明,绝对值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的应用,考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)不等式等价于,设,利用导数可证恒成立,从而原不等式成立.(2)由题设条件可得在上有两个不同零点,且,利用导数讨论的单调性后可得其最小值,结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.【详解】(1)设,则,当时,由,所以在上是减函数,所以,故.因为,所以,所以当时,.(2)由(1)当时,;任意,存在和使成立,所以在上有两个不同零点,且,(1)当时,在上为减函数,不合题意;(2)当时,,由题意知在上不单调,所以,即,当时,,时,,所以在上递减,在上递增,所以,解得,因为,所以成立,下面证明存在,使得,取,先证明,即证,令,则在时恒成立,所以成立,因为,所以时命题成立.因为,所以.故实数的最小值为.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用,前者注意将欲证不等式合理变形,转化为容易证明的新不等式,后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质,再利用导数研究该性质,本题属于难题.19、【解析】试题分析:由柯西不等式得,所以试题解析:因为均为正数,且,所以.于是由均值不等式可知,当且仅当时,上式等号成立.从而.故的最小值为.此时.考点:柯西不等式20、(1)(2)【解析】
(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)先证明EF平面,即可求证;(2)根据二面角的余弦值,可得平面,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.【详解】(1)连接,交于点,连结.则,故面.又面,因此.(2)由(1)知即为二面角的平面角,且.在中应用余弦定理,得,于是有,即,从而有平面.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,于是,,设平面的法向量为,则,即,解得于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为,因此.【点睛】本题主要考查了线面垂直,线线垂直的证明,二面角,
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