2023-2024学年湖北省松滋一中高三最后一卷数学试卷含解析

2023-2024学年湖北省松滋一中高三最后一卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数,则函数的图象大致为（）A． B．C． D．2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．3．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．34．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（）A． B． C． D．5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．6．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（）A． B． C． D．7．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．8．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．9．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A． B．C． D．10．若，则实数的大小关系为（）A． B． C． D．11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强12．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）.14．已知等比数列的前项和为，，且，则__________.15．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.16．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．18．（12分）已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）19．（12分）设函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）时，若，，求证：．20．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.21．（12分）已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.22．（10分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.2、A【解析】

首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1____，__1__，____1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，但合并计算时会有重复，重复数量为，事件的样本点数为：个．故不同的样本点数为8个，.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题3、A【解析】

由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．4、A【解析】

设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.5、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．

∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故选C6、A【解析】

根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点，，则，，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.7、A【解析】

求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．8、A【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9、A【解析】

由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，∴，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选：A．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10、A【解析】

将化成以为底的对数，即可判断的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得.又因为，故.故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.11、D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为，乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.12、C【解析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5670【解析】

根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.【详解】二项展开式一共有项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为.故答案为：5670【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.14、【解析】

由题意知，继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【详解】解：由题意知，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.15、【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.【详解】解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得的图象.根据图象与的图象关于轴对称，可得，，，即时，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.16、【解析】

由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．【详解】如图，由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，即在直线，也就是在直线上，联立，得或，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，把代入上式，得，令，则，由，得（舍）或．当时，，当时，.当时，函数取极大值，亦为最大值．故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1（2）1【解析】分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．详解：（1）当时，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．18、见解析【解析】

选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.【详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.【详解】（1），令，则，令得，当时，则在单调递减，当时，则在单调递增，所以，当时，，即，则在上单调递增，当时，，易知当时，，当时，，由零点存在性定理知，，不妨设，使得，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在和上单调递增，在单调递减；（2）证明：构造函数，，，，整理得，，（当时等号成立），所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，，这里不妨设，欲证，即证由（1）知时，在上单调递增，则需证，由已知有，只需证，即证，由在上单调递增，且时，有，故成立，从而得证.【点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．【详解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因为所以，由得，又因为，故，所以，所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．21、(1)(2)三个零点【解析】

(1)由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.【详解】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线