9.4 向量应用（四大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）（解析版）

第第页9．4向量应用课程标准学习目标体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．（1）能用向量方法解决简单的几何问题.（2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.知识点01向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．（3）把运算结果“翻译”成几何关系．【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.(1)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.【解析】（1）；.（2）.证明如下：由（1）知，，，.，.知识点02向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．

【解析】如下图，，，以、为邻边作平行四边形，由题意可知，，则四边形为矩形，，设两个力和的合力为，则，由勾股定理可得，在中，，所以，，所以，它们的合力大小为，方向约为北偏东.题型一：利用向量证明平面几何问题【例1】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.

(1)设，，用，表示，；(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.【解析】（1），；（2），证明如下：由（1）知，，所以，设，则，所以，所以，得证.【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．【解析】由题意得，，故，因为，所以，故.【变式1-2】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：．【解析】（1）如图，∵，，，∴，则由重心坐标公式，得；（2）．易知的外心F在y轴上，可设为．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【方法技巧与总结】用向量证明平面几何问题的两种基本思路（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题．（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题．题型二：利用向量解决平面几何求值问题【例2】（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．(1)判断四边形的形状，并给出证明；(2)若，，与的夹角为，为中点，求．【解析】（1）因为，，所以，又因为，所以，又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．（2）因为，所以，因为为中点，所以，所以，所以，所以，因为，所以．【变式2-1】（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点

(1)若，求AE的长；(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．【解析】（1）由题，可得.则.设，则.因，则.则，故AE的长为1；（2）若E为AB的中点，则，，又.由图可知.【变式2-2】（2024·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.(1)求的长；(2)求的长.【解析】（1）；，，故，.（2），.【变式2-3】（2024·山东枣庄·高一统考期末）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．【解析】（1）设，，则．．故．（2）因为．所以【变式2-4】（2024·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期末）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．【解析】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，所以，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以当时，取得最小值.【方法技巧与总结】（1）用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．题型三：向量在物理中的应用【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系．【解析】设两人的拉力分别为、，作，，作，以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，水桶在两人的合力下处于平衡状态，则和互为相反向量，因为，则四边形为菱形，连接交于点，则为的中点，且，且，，，所以，，所以，，又因为，所以，随着的增大而增大.【变式3-1】（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知N，求，的大小．

【解析】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，．又由已知可得，且，所以，从而可知50，．【变式3-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度)【解析】设A，B处所受力分别为，，10kg物体的重力用表示，则，，以重力作用点C为，的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=，=，=，∠ECW=180°150°=30°，∠FCW=180°120°=60°，∠FCE=90°，所以四边形CEWF为矩形；所以||=||cos30°=，||=||cos60°=50.即A处所受的力为N，B处受力为50N.【变式3-3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．【解析】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，则重力对物体做的功，支持力与位移方向垂直，做功为，摩擦力与位移方向相反，对物体做功．【方法技巧与总结】用向量解决物理问题的一般步骤（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．题型四：平面几何中的平行（共线）问题【例4】（2024·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点．【解析】设交于点，以下只需证明点在上，因为，，所以，.即，，两式相减，得：即，所以，，又，所以，三点共线，在上．【变式4-1】（2024·全国·高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.【解析】证明：设，，由，知分别是的三等分点，所以，.所以.又为和的公共点，所以点在同一直线上.【方法技巧与总结】利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．【变式4-2】（2024·浙江宁波·高一校联考期末）如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点．(1)求的值；(2)求的值；(3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值．【解析】（1）设，，，即；（2），，；（3）设，即，，因为在上，所以，即，，即，即，即，由于，，三点共线，所以，，，设，则，即，又在上，则，即，，由于，，三点共线，所以，即，所以，.一、单选题1．（2024·全国·高一随堂练习）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形状是直角三角形.故选：B2．（2024·全国·高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，，，解得．小猴子的体重约为．故选：C．3．（2024·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，则，设，，，则，因为，则，则，故当，时取得最大值为5．另令，则为中点，为中点，则，所以，当为中点时取等．故选：C4．（2024·江西九江·高一校考期中）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（

）A．的内部 B．线段AB上 C．直线BC上 D．的外部【答案】D【解析】由题设，如下图示，四边形是平行四边形，所以P在的外部.故选：D5．（2024·江苏泰州·高一统考期中）在平行四边形ABCD中，，，，则（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】因为，所以为中点，由题意得，，所以，设，则，代入上式中得，，解得.故选：D6．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态．若，，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】依题意，所以，又，，，则，所以.故选：C7．（2024·北京丰台·高一统考期末）如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，其中，则，，，当时，有最大值6．故选：C．8．（2024·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（

）A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点【答案】C【解析】由动点满足，且，所以三点共线，又因为为的中点，所以为的边的中线，所以点的轨迹一定过的重心.故选：C.二、多选题9．（2024·安徽宣城·高一统考期末）下列命题正确的是（

）A．若向量、满足，则或B．若向量，的夹角为钝角，则C．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4D．设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底【答案】BCD【解析】A选项，当非零向量满足时，，故A错误；B选项，当向量，的夹角为钝角时，，故，故B正确；C选项，向量在向量方向上的投影向量的长度为，C正确；D选项，，是同一平面内两个不共线的向量，设，则，故，无解，所以，不共线，故，可作为该平面的一个基底，D正确.故选：BCD10．（2024·全国·高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（

）

A．B．有可能是的重心C．若为的外心，则D．若为的内心，则为直角三角形【答案】AD【解析】对于A，由奔驰定理可得，，因为，，不共线，所以，故A正确；对于B，若是的重心，，因为，所以，即共线，故B错误．对于C，当为的外心时，，所以，即，故C错误．对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），所以，所以，故D正确.故选：AD.11．（2024·广东江门·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．中，D为BC的中点，则B．向量，可以作为平面向量的一组基底C．若非零向量与满足，则为等腰三角形D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为【答案】AC【解析】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以，所以，故选项A正确；对于B，因为向量，，所以，可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误；对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以以和为邻边的平行四边形是菱形，根据平行四边形法则可知在的平分线上，又因为，所以的平分线垂直于，所以，即为等腰三角形，故选项C正确；对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或，因为，，所以，所以或，即点P的坐标可以为或，故选项D错误.故选：AC.12．（2024·高一单元测试）如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【答案】AC【解析】如图令，由于故，，如图，，故，，故，同理可求得，即，，，，故选：AC三、填空题13．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为.（注：重力加速度取，精确到0.01N）

【答案】N【解析】如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力为，又因为降落伞匀速下落，所以，必有，所以，，所以故答案为：N14．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则.

【答案】/【解析】由题意知，则，因为，，即，所以.故答案为：15．（2024·全国·高一随堂练习）已知中，，且，若，且，则实数λ的值为.【答案】/【解析】因为，且，所以有，即，因为，，所以，解得.故答案为：16．（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为.【答案】【解析】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，，设直线BC方程为，则，解得，所以BC方程为，设，所以，得.故答案为：.四、解答题17．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水