第2章一元二次方程单元测试（培优压轴卷八下浙教）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】第2章二元一次方程组单元测试（培优压轴卷，八下浙教）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于x的方程a-1x2+ax-1=0是一元二次方程，则aA．a≠1 B．a=1 C．a≥1 D．a≠0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：由题意，得a-1≠0，解得：a≠1，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，特别注意二次项系数不等于0这个条件．2．（2023春·八年级单元测试）一元二次方程x2-2x-6=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根为0 D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．【详解】解：∵Δ=∴一元二次方程x2-2x-6=0故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（23．（2023春·八年级单元测试）用配方法解方程x2+4x-7=0，下列变形正确的是（A．x+22=11 B．x+22=-11 C．【答案】A【分析】根据配方法可直接作答．【详解】方程x2+4x-7=0采用配方法变形为：故选：A．【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（

）A．xx+1=253 B．xx-1=253 C．【答案】D【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：12×学生数×（学生数-1）【详解】设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手12∴可列方程为12故选：D．【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）若α、β是一元二次方程3x2+x-1=0A．2 B．-1 C．-2 D．1【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接得到αβ，α+β的值，化简式子即可得到答案；【详解】∵α、β是一元二次方程3x∴α+β=-13，∴1α故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握αβ=ca，6．（2023春·八年级单元测试）设α、β是方程x2+2019x-2=0的两根，则α2A．6076 B．－6074C．6040 D．－6040【答案】B【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2019α-2=0，β2+2019β-2=0，α+β=-2019，αβ=-2，进而得出α2【详解】解：∵α、β是方程x2∴α2+2019α-2=0，β2+2019β-2=0，∴α2=2-2019α，∴α===1+3=1+3×=-6074．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程的解，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）某规则为a*b=a+b2，根据这个规则，方程A．x=5 B．x=1C．x1=-4或x2=1 D【答案】C【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得：x+x+1解得：x1=-4或故选：C．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法则解一元二次方程的一般步骤，准确计算．8．（2023春·八年级单元测试）已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则A．9 B．10 C．6或10 D．8或10【答案】B【分析】把x=2代入方程x2-(m+4)x+4m=0，解之可得【详解】解：把x=2代入方程x2-(m+4)x+4m=0得4-2(m+4)+4m=0，解得方程化为x2-6x+8=0，解得x1∵2+2=4，∴三角形三边为4、4、2，∴△ABC的周长为10，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的性质，能够熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，AC=13cm，点M从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点N从点B出发沿BC边向点C以1cm/s的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN的面积为A．2s B．3s C．4s【答案】B【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长度，当运动时间为ts0≤t≤5时，BN=tcm，BM=12-2tcm，根据【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°∴BC=A当运动时间为ts(0≤t≤5)时，依题意得：12BN⋅BM=9，即整理得：t2解得：t1∴点M，N的运动时间为3s故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知四个多项式A=x2+1，B=x+1，C=mx-1，D=nx+1①若A=B2②若A-D=B+C，则x=m+n+1③若x为正整数，且A-2B2④若对任意x都有2B⋅D=2nx2-nx+2，则当A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】运用解一元一次方程，解一元二次方程，整除的性质，不等式的性质，恒等式的变形等知识逐个判断即可．【详解】解：①∵A=x2+1，B=x+1∴x解得：x=0，故①错误；②∵A=x2+1，B=x+1，C=mx-1，D=nx+1∴x化简得：x2因式分解得：x-m-n-1∴x-m-n-1=0或∴x=m+n+1或故②错误；③∵A=x2+1∴A-2B∵x为正整数，且A-2B∴x+1=2，∴x=1，故③正确；④∵B=x+1，D=nx+1，2B⋅D=2nx∴2x+1化简得：3n+2x=0∴3n+2=0，即n=-2∴D-B=-∵x>1∴D-B=-5即D<B，故④正确．故正确的有：③④，共两个，故选：B．【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元二次方程，整除的性质，不等式的性质，恒等式的变形等知识，综合性较大，要求知识全面，掌握相关知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2018春·浙江温州·八年级统考期末）方程x2=2x的解为【答案】x1=0【分析】利用分解因式法解方程即可.【详解】x2x(x-2)=0x=0或x-2=0得x1=0故答案为:x1=0【点睛】本题主要考查了分解因式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.12．（2023春·浙江·八年级专题练习）将代数式2x2-4x变形为2(x+m)2+n（其中m【答案】-3【分析】利用完全平方公式配方可求得m，【详解】解：2=2=2=2x-1∴m=-1，∴m+n=-1-2=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．13．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为16.2万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．【答案】10【分析】设该公司每个季度的下降率是x，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，依题意，得∶201-x解得∶x1=0.1=10%，即该公司每个季度的下降率是10%故答案为∶10%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．14．（2023春·八年级单元测试）关于x的方程kx2-k-1x+1=0【答案】0或6【分析】分两种情况讨论：当k=0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，方程是一元二次方程，分别求出k的取值范围即可．【详解】解：分两种情况讨论：当k=0时，方程为x+1=0，有实根x=-1；当k≠0时，方程kx∵方程有有理根，∴根的判别式△=b∴存在非负数m，使得k2-6k+1=∴k-3+m,k-3-m是奇偶性相同的整数，且积为8∴k-3+m=4k-3-m=2或∴k=6或k=0（舍弃）综上，关于x的方程kx2-k-1x+1=0故答案是：0或6．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．15．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+5=0有两个实数根x1，x2．若x1，x2【答案】-92##-4【分析】由一元二次方程x2+mx+5=0有两个实数根x1，x2．可得△=m2-20≥0，x【详解】解：∵一元二次方程x2+mx+5=0有两个实数根x1∴△=m2-20≥0，x∴x1，x当x1，x∴x1+x∴-2m+3m-3整理得：2m∴△=-9当x1，x2都为正数时，此时∴x1+x∴-2整理得：2m解得：m1=6，经检验：m=6不符合题意，∴m=-9故答案为：-9【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：对于x3x=xx-n理解运用：如果x3-n2+1x+n=0，那么因此，方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程解决问题：求方程x3+3x【答案】x1=2，x【分析】解法一：利用材料所给信息，将方程转化为：x3-5x+2+3x2+x-14=0后，把x3-5x+2写成x解法二：直接将x3【详解】解：解法一：x3x3x3x3xxxx+2x-2xx-2xx-2xx-2x+2∴x-2=0或x+2=0或x+3=0，解得：x=2或x=-2或x=-3；解法二：x3x3xxx2x+2x-2∴x-2=0或x+2=0或x+3=0，解得：x=2或x=-2或x=-3；故答案为：x1=2，x2【点睛】本题考查了高次方程和利用因式分解解一元二次方程的解法，看懂和理解给出的内容是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023春·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：(1)x2(2)3x【答案】(1)x1=2-(2)x1=1【分析】（1）移项后，利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：移项得x2∵a=1，b=-4，c=-3，∴Δ=∴x=4±2∴x1=2-7（2）解：3xx-13x-1x-1=0或3x-1=0x1=1或x【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)方程的另一个根为：x=3；以此两根为边长的直角三角形的面积为32或2【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值，然后求解一元二次方程得出方程的另一个解；分两种情况讨论直角三角形的面积：①当该直角三角形的两直角边是1、3时；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，利用勾股定理确定另一条直角边，然后求面积即可得．【详解】（1）证明：x2其中：a=1，b=-(m+2)，c=2m-1，∴∆=b∴在实数范围内，m无论取何值，m-22即∆>0，∴关于x的方程x2（2）解：根据题意得：将x=1代入方程可得：12解得m=2，∴方程为x2解得：x1=1或∴方程的另一个根为x=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为：12②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为32则该直角三角形的面积为12综上可得，该直角三角形的面积为32或2【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理，分情况讨论三角形等，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．19．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2(1)求a的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且【答案】(1)a≥3(2)a的值为1．【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可；（2）用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出a的值．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ≥0，即2a+1整理得：4a-3≥0，解得：a≥3（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1∴x1+x∵x1∴x1+x整理得：a2+2a-3=0，即解得：a=-3(舍去)或a=1，则a的值为1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识并灵活应用是解题的关键．20．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【答案】(1)(24(2)长为9m，宽为5m【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD；（2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案．【详解】（1）解：设花圃的宽AB长为x米，则长AD=22-3x+2=24-3x故答案为:(24-3x)；（2）解：由题意可得：22-3x+2x=45，解得：x1=3；∴当AB=3时，AD=15>14，不符合题意舍去，当AB=5时，BC=9，满足题意．答：花圃的长为9m，宽为5m．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出AD是解答本题的关键．21．（2021春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a不为0(1)若关于x的方程x-2mx+n=0是倍根方程，则(2)请写出一个倍根方程，要求二次项系数为1，并求出它的解．(3)关于a的一元二次方程ax2+bx+c=0（a不为0【答案】(1)-4或-1(2)x2-9x+18=0（答案不唯一），解为x(3)x1=【分析】（1）利用因式分解法解方程，再利用“倍根方程”的定义得到-nm=2×2（2）根据“倍根方程”的定义写出一个二次项系数为1的方程，求解即可；（3）利用“倍根方程”的定义设x1=2x2，根据【详解】（1）解：∵x-2mx+n∴x1=2，当-nm=2×2当-nm=（2）例如x2-9x+18=0，二次项系数为∴x-3x-6解得：x1=3，∴方程x2（3）∵方程ax∴设x1∵5a+b=0，∴-b∴x1∴x2∴x2=5【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．22．（2023春·浙江·八年级阶段练习）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作(1)代数式x2-12的不变值是______，A=(2)说明：代数式2x(3)已知代数式x2-nx+n，若A=0，求【答案】(1)-3和4，7(2)见解析(3)1【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程2x2-x+1=x（3）由A=0可得出方程x2-nx+n=x有两个相等的实数根，进而可得出【详解】（1）解：依题意，得：x2-12=x解得：x1=-3，∴A=4--3故答案为：-3和4，7；（2）解：依题意，得：2x2-x+1=x∵Δ∴2x∴代数式2x（3）解：依题意，得：x2-nx+n=x即∴Δ整理得：n2解得n=1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．23．（2022春·浙江温州·八年级温州绣山中学校考阶段练习）温州某学