新人教A版高中数学选择性必修二《4. 4 数学归纳法》教学设计

《4.4*数学归纳法》教学设计

一、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

①了解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的基本步骤；

②能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。

（2）过程与方法目标：

借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下条件

过程的类比和迁移，从特殊到一般，抽象出证明数学命题的方法，进而推广

为数学归纳法的原理和步骤，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的

数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

借助具体实例，加强数学归纳法的提炼过程和认知过程，激发学生的学习热情，

深挖其育人价值，培养学生敢于猜想，善于思考，严谨求实的科学精神，培养学

生发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

二、［教学重难点］

教学重点：了1尾数学归纳法的基本思想和原理,掌握数学归纳法的基本步骤，

能应用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题；

教学难点：数学归纳法的原理。

三、【教学过程】

（一）引入生活实例，启发学生思维

（情境一）某人看到树上有几只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。”你认为这

样的说法可靠吗？为什么？

答：不可靠，以偏概全。事实上，这是不完全归纳的体现，体现着数学中的归纳

思想。

数学中，我们把通过验证一系列特殊情况得出一般性结论的方法称为归纳法。

那么归纳法可以分为“不完全归纳法”和“完全归纳法”。“不完全归纳法”是只

考察部分对象，只验证一部分个体成立，就得到一般性结论的方法，这样的结论

不一定可靠。

例如，我们在推导等差数列通项公式时，采用这样的方法：

七=q+”,q=6+2d,%=q+3d,...

由此，我们猜想%=6+（〃-1）4。这就是不完全归纳法。那么这样的猜想真的

正确吗？结论还有待证明。

而“完全归纳法”考察全体对象，是对每一个个体进行逐一验证后得到一个一般

性结论，这样的结论一定可靠。

（情境二）在数列｛%｝中，己知卬=1,。用=丁匚（〃€乂*）,经计算发现4=1,,

生=—L=1，/='=1，%=—匚=1，由此我们猜想对于任意一个正整数n,

2-12-12-1

afl=1(〃£N").

问题：如何验证这个猜想呢？

我们发现，每一次验证，都对这个猜想的正确性增添了一分把握，但是我们

不能这样无限的验证下去，这是不现实的。那么我们就想找到一种方法，能够通

过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立。

【设计意图：】以上两个情境都是在合情推理的基础上提出猜想，但它们的正确

性还有待证明。让学生意识到需要建立一种无穷递推机制，将一个无穷的归纳过

程转化为有限步骤的演绎，实现从有限到无限的飞跃，即呈现数学归纳法产生的

必要性。

（二）立足生活情境，激发学生兴趣

（情境三）那么你能相信仅凭一指之力就能推倒一座摩天大厦吗？

【实例】播放多米诺骨牌的游戏视频

（三）创新问题情境，擦亮思维火花

【探究】看完这段精彩的视频，请同学们思考，多米诺骨牌全部倒下的条件是什

么？（10S）

通过观看视频我们发现当骨牌间距合适时，只要推倒第一块骨牌，那么后面的骨

牌就随着前面骨牌倒下而倒下。

【结论】由此我们可以得出：多米诺骨牌全部倒下的条件是：

①第一块骨牌必须倒下；

。并且任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

那么这两个条件的作用是什么呢？我们来做一组实验。

（实验一：）首先，实验一同时满足（1）（2）两个条件。在该实验中骨牌间距合

适。用手推倒第一块骨牌，可以发现随后第二块骨牌、第三块骨牌、、、全部骨牌

依次倒下，试验成功；

问题1：缺少条件①可不可以？我们来做第二组实验。

（实验二：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，

第二块骨牌，第三块骨牌、、、自然也没有倒下，游戏失败；

小结：第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提。

问题2：缺少条件②可不可以？我们来做第三组实验。

（实验三：）在该实验中，我们让骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨

牌间距足够大，其他骨牌间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，

第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。

（四）合作探究，点燃思维的火花

思考1：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述？

事实上，条件（2）给出的是一种递推关系：前一块骨牌倒下就会带动后一块骨

牌也倒下。也就是

第k块骨牌倒下今第k+1块骨牌倒下

在条件（2）的作用下，只要是第一块骨牌倒下，无论是有多少块骨牌，即

使是有无限块，最终有也一定全部倒下。

【设计意图】挖掘“骨牌原理”，类比“骨牌原理”寻找和构建递推关系，呈现

数学归纳法产生的合理性。

思考2:你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是*=1（〃eN*）”与上述多米诺

骨牌游戏有相似性吗？

回顾探究中猜想数列的通项公式是=1(〃eN*)的过程:

%=1“臼及递推公式＞出=1"三及递推公式＞生=1……

显然，虽然可以这样一直验证下去，但由于正整数个数的无限性，我们没有办法

把所有的正整数全都拿出来一一验证。

类比我们在多米诺骨牌中得到的递推关系：第k块骨牌倒下今第k+1块骨牌倒

下，我们能不能也给数列明一个类似的递推关系呢？

%==1及递推公式

如果卬=1>4+1=1

观察这个递推公式，只要保证了4=1,那么4+i=l'%+2=1'4+3=1……,也

就是第k项后面所有的项都为1.

及递推公式、八

问题：那么是否只要有了见,=_11=1"4+1_=i1这个递推关系，就能保证

对所有的正整数n，=K〃wN*)?

答：不是，还需要保证q=1

教师：非常好。％=1是我们进行归纳的基础和前提。

所以，我们在证明数列忸力的每一项都是1的过程中只需要保证两个条件:

⑴马=1

_］递推公式_i

观察上面两个步骤，我们通过有限步的递推关系取代之前无限步的验证过程,

真正地实现了从有限到无限的飞跃。

【设计意图】通过思考，将多米诺骨牌游戏的两个步骤类比，迁移到证明猜想“数

列的通项公式是凡=1(〃eN*)，，,实现现实情境向数学知识的自然迁移，使数学

归纳法的原理生成水到渠成。

思考3:归纳多米诺骨牌全部倒下和证明数列明=15eN*)过程的共性，你能得

到推理的一般结构吗？

⑴①骨牌原理：第一块骨牌必须要倒下

②当〃=1时，%=1成立

③类比抽象：证明当n=l时，猜想正确。

(2)①证明“如果前一块骨牌倒下，那么后一块也跟着倒下”

②证明如果第k项等于1,那么第k+1项也等于1.

③类比抽象：证明"如果n=k时猜想正确，那么n=k+l时，猜想也正确”。

⑶根据①②，所有的骨牌都能倒下。

根据①②，

根据①②，猜想对于一切正整数n都成立。

【设计意图】通过以上类比，迁移的过程，让学生真正理解“自动递推，无穷验

证”的实质，从而实现从有限到无限的转化，为抽象、概括出归纳法的原理奠定

坚实的基础。

下面我们将对情景二给出严格的证明。

猜想:%=1（"3）①

（1）当〃=1时，罚=1,猜想成立。

（2）假设当〃=时，①式成立，即

ak=1

那么根据递推公式，有

%+i=-■--=---=1

I2-ak2-1

即当〃="+1时，①式也成立。

由⑴⑵可知，①式对任何”eV’都成立。

【设计意图】承上启下，一方面证明了探究中的猜想，获得了证明数学命题的方

法，另一方面，也通过类比、迁移、从特殊到一般的抽象过程，推广为数学归纳

法的原理和步骤，使学生对数学归纳法形成更直观的认识。

【小结】由此，我们发现了一个证明与正整数n有关的命题方法，它可按如下两

个步骤进行：

1）证明当n取第一个值）时命题成立。

2）假设当“=时命题成立，那么当n=k+i时命题也成立。根据

（1）和（2）,可知命题对都成立。我们称这样的证明方法为数学归纳法。

（五）师生合作，形成概念

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按如下步骤进行：

（1）证明当n取第一个值”。（〃。，"）时命题成立。

（2）以n=k时命题成立”为条件，推出“当n=k+l时命题也成立”。

根据（1）和（2）,可知命题对从〃o（〃o'N*）开始的所有正整数都成立。这种证

明方法叫做数学归纳法。

思考4:数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？

（1）类比“骨牌原理”，第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提，因此,

第一步为命题成立提供了基础，它是后面递推的出发点,我们将这一步称之为“归

纳奠基”。

（2）同样地，在“骨牌原理”中，要保证只要第k块骨牌倒下，那么第k+1块

骨牌一定也倒下，再加上k的任意性，才能保证骨牌一直倒下去的传递性。所以，

第二步就是在确认一种递推关系，从第一个正整数开始以后，一个

接着一个地传递下去，从而完成证明。因此，第二步是在保证命题成立的递推性，

我们将这一步称之为“归纳递推”。

总之，“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤之间相互依存，彼此关联，

它们是一个有机的整体，缺一不可。

（六）学以致用，实际演练

【例】用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么

=a[+(〃-l)d①

对任何〃eN*都成立。

问：数列NJ有什么特点？

答：1,｝是等差数列。

问：等差数列具有什么特征？

答：氏+1一6=".

分析：回顾我们探求等差数列通项公式的过程（课本14页），我们是在合情推理

的基础上，利用不完全归纳法推测出4=4+（〃-1粟，这样得到的结论不一定

可靠。现在我们尝试着用数学归纳法给出严格的证明。

问：第一步要做什么？

答：证明“当n=l时命题成立。”

问：证明“当n=l时命题成立”到底是要证什么成立？

答:证明等式%=q+（"Dd成立。

师：（1）当n=l时，左边=4,右边=/+（lTM=，，①式成立。

问：第二步要做什么？

生：假设当〃=启色“〃<>，/€""）时命题成立，那么当n=k+l时命题也成立。

问：在这里条件是什么，要证明什么？

生：条件是等差数列｛2｝当n=k时，①式成立。要证明当"="+1时，①式也成

立。

师：（2）假设当〃=以kN〃o，kwN"）时，①式成立，即

ak=a]+（k-\）d

由｛a_｝是等差数列，有

%-4=d,

于是

%=4+d

=q+(k—V)d+d

-a}+kd

即当n=k+l时，①式也成立。

由(D(2)可知，①式对任何〃wN*都成立。

【设计意图】呼应了课前引入中的问题，也使学生熟悉用数学归纳法证明数学命

题的基本过程和规范表述。

【练习1]

1111Z/、13

试判断-l+F+Q+…+^(〃eN)与五的大小。

士$1113

解：当n=l时，左边=币=万〈五.

十1111713

当n-?FH-13------1-----=—I—=—>—.

Mn-2盯，2+12+2341224

十、+1111113713

Mn-3W，3+13+23+34566024

…1111111153313

Mn-4盯，4+14+24+34+4567884024

归纳上述结果，猜想：

111113,/、

-----1------1-----F,••H------>—(nN2,riwN)

n+\71+2〃+3n+n24①

十法11713

证明：⑴当n=2时，左边=有+壬=方＞五，猜想成立•

⑵假设当〃=m々22从€”"）时，猜想成立，即

111113

----------1-------------1------------F•••H-----------

Z+lZ+2Z+3k+k24

那么

------------------1---------------------1--------------------F•••d--------------------------1---------------------1------------------------

(A+1)+1(%+1)+2(々+1)+3(攵+1)+%-1(k+1)+&伏+1)+%+1

=-----------1----------F,•,H-------------1--------------------1-----------------------------

Z+2k+3k+kZ+攵+1攵+Z+2Z+1

13111

>------1------------------1-----------------------------

24Z+Z+lk+k+2攵+1

13111

=------1--------------1-------------------------

242Z+12k+2k+\

131113

-------1-------------------------->—

242Z+12k+224

即当n=k+l时，猜想也成立。

由⑴⑵可知，猜想对任何〃€“(〃>2)都成立。

注：由此可以说明，数学归纳法一定会有一个起始值”。，以这个起始值"。为首

项递推出“。以后的每一项都成立。值得注意的是，这个起始值”。不一定是1,

类似于这道例题的起始值是2o

【设计意图】这是一道探究题，

【小结】下面我们来构建用数学归纳法证明命题的结构框图。

►数学归纳法的结构

证明一个与正整数，，（，*"o，〃eN）有关的命题

⑴证明当"％®CN,）（2）假设当〃=贴2入心时命题

I时命片成立立.证明当二二1时命题也成立.

对所有正整数N,命题都成立。

【设计意图】构建数学归纳法的结构框图。借助结构框图使学生加深对数学归纳

法的理解，结合框图，逐层剖析，让学生明白第一步是证明奠基性，第二步是证

明递推性，深化对使用数学归纳法的操作程序的认识，从而突出重点，攻克难点。

【练习2］用数学归纳法证明：

证明:

⑴当〃=1时，左边=L,右边=1-4=’,①式成立。

22,2

⑵假设当〃=红左GN*)时,猜想成立,即