高考数学一轮复习 第七章 立体几何 分层限时跟踪练36-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(三十六)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图图7­1­9是一个边长为1的正方形(如图7­1­9所示)，则原图形的形状是()【解析】直观图中正方形的对角线为eq\r(2)，故在平面图形中平行四边形的高为2eq\r(2)，只有A项满足条件，故A正确．【答案】A2．如图7­1­10是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的直观图是()图7­1­10【解析】由俯视图可排除A、C，由正视图和侧视图可排除B；D正确．【答案】D3．(2015·许昌模拟)一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图7­1­11所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为()图7­1­11【解析】三棱柱一定有两个侧面垂直，故只有C选项正确．【答案】C4．(2015·东北四校联考)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【解析】因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．【答案】B5．(2015·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()【解析】易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形．注意到侧视图是从左到右看到的图形，结合B、D选项知，D中侧视图方向错误．【答案】D二、填空题6．如图7­1­12，某三棱锥的三视图都是直角边为eq\r(2)的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是．图7­1­12【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示．AB，AC，AD两两垂直，且均为eq\r(2)，所以四个面中面积最大的为△BCD，且△BCD是边长为2的正三角形，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)7．如图7­1­13是水平放置的△ABC(AD为BC边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC中的四条线段AB，BC，AC，AD，其中最长的线段是，最短的线段是．图7­1­13【解析】根据题意，画出原图如下，故AC最长，BC最短．【答案】ACBC8．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是．【解析】①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD­A1B1C1D1中的四面体ACB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③【答案】①三、解答题9．如图7­1­14所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．图7­1­14【解】设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm，∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4)，解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9cm.10．如图7­1­15中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．图7­1­15(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；【解】(1)如图．(2)所求多面体的体积：V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．(2015·贵州七校联考)如图7­1­16所示，四面体ABCD的四个顶点是图7­1­16长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤【解析】正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.【答案】B2．(2015·南昌一模)如图7­1­17，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­图7­1­17A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2【解析】由题意知三棱锥P­BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高，故两视图面积之比为1∶1.【答案】A3．(2015·郑州模拟)如图7­1­18，图7­1­18网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为．【解析】由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥，如图所示．其中面ABC⊥面BCD，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝4，取BC的中点M，连接AM，DM，则DM⊥面ABC，在等腰△BCD中，BD＝DC＝2eq\r(5)，BC＝DM＝4，所以在Rt△AMD中，AD＝eq\r(AM2＋DM2)＝eq\r(42＋22＋42)＝6，又在Rt△ABC中，AC＝4eq\r(2)＜6，故该多面体的各条棱中，最长棱为AD，长度为6.【答案】64．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．其中真命题的序号是．【解析】命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；③正确，如右图，PD⊥平面ABCD，其中底面ABCD为矩形，可证明∠PAB，∠PCB为直角，这样四个侧面都是直角三角形；命题④由圆锥母线的定义知是正确的．【答案】①③④5．一圆柱被从顶部斜切掉两块，剩下部分几何体的正视图和俯视图如图7­1­19所示，其中正视图中的四边形是边长为2的正方形．图7­1­19(1)画出此几何体的侧视图；(2)求此几何体侧视图的面积．【解】(1)侧视图如图所示，为一个底边长为2，高为2的等腰三角形．(2)S＝eq\f(1,2)×2×2＝2.6．如图7­1­20，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图7­1­21为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．图7­1­20图7­1­21(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.【解】(