浅谈二次问题（二次函数、方程）在初高中的衔接数学

浅谈二次问题（二次函数、方程）在初高中的衔接(数学）高初中知识的衔接能否顺畅，一直是目前教育界共同关注的焦点之一。学生进入高一年级后，高一一些学科的教师首先做的便是：用一个月的时间将初中的内容“补一补”。这样做的目的，显然是为了完成初中到高中知识的过渡、衔接。但如何能让学生顺利地实现思维方式及知识上的衔接，恐怕仍需要不断尝试。今就数学中二次函数、方程（不等式）这部分知识初中到高中的衔接问题谈一些个人的看法。首先来看初中新旧教材之间的对比。新旧教材在对一元二次方程处理上，都是通过配方得到公式x=，然后用因式分解法解一元二次方程。不同的是旧教材中涉及了二次三项式的因式分解，而新教材中只是将像5x2=4x,x-2=x(x-2)这样有较明显公因式的方程进行了因式分解的练习。新教材也提到了(x+2)(x-4)=0这种已分解好了的方程，但显然比旧教材难度降低了一些。新教材对一元二次方程的学习至此告一段落。但旧教材却依然往下进行：一元二次方程的根的判别式；根与系数的关系；用公式法对二次三项式进行分解；一元二次方程的应用；可化为一元二次方程的分式方程。可以说对一元二次方程的问题，新教材的难度已大大下降。在旧教材中作为一元二次方程重要部分的“根与系数的关系”，在新教材中也仅在课后复习题C组（相当于课本上最难级别的练习）中以练习的形式出现，以三个例子要求猜想x1+x2,x1x2与方程中系数的关系并证明。在二次函数的学习中，新教材与旧教材相比，也有不小的区别。旧教材对二次函数的处理，是先从y=ax2(a>0或a<0)图像出发，扩展到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，然后用待定系数法求二次函数解析式。新教材则是先以二次函数所描述的关系作为开端，然后结识抛物线y=x2等。接着通过实际问题（刹车距离问题）开始研究二次函数，并扩展到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，又结合几个函数（y=3(x-1)2+2,y=3(x-1)2;y=3x2,y=3(x+1)2）研究了函数图像的平移。进而又研究了二次函数对称轴与顶点坐标，并归纳了二次函数的三种表示方式。然而，新教材对二次函数的研究并未就此罢休，它接着以“何时获得最大利润”，“最大面积是多少”对二次函数在实际生活中的应用又作了进一步的阐述。新教材与旧教材相比，最大的变化还在后面：新教材对二次函数与一元二次方程的关系进行了研究，并归纳出结论。可以看到，新教材的指导思想是强化关于二次问题在实际生活中的应用，并融入函数方程思想；与此同时也淡化了纯代数运算与一些结论。高考中对二次问题又有什么要求？研究函数性质时，要求理解二次函数的单调性，最值及其几何意义。在函数与方程中，要求能够结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。在不等式中的要求：①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框架。高考内容标准中关于对二次问题的要求看起来是比较简单的。但事实上虽然近几年高考对二次问题的考察难度有所下降，但二次问题仍是高考中的必考点，而且每年的高考题中涉及的二次问题都占了不小的分值。其中对一元二次方程的根与系数关系以及二次函数图像的考察屡见不鲜。代数运算的能力是不可低估的。新教材对实际应用题的要求较高，但对代数运算能力的要求要比旧教材的低。这显然是新教材的一些变化。这些变化对高中的学习有多少影响？初中教材发生了很大的变化，而高中教材的变化不过是个别知识点的增加与难度的降低。以前的初高中教材一脉相承，而现在的初高中教材在衔接中似乎已有了“裂痕”。在高中二次问题的学习中，又该如何做好衔接工作？我认为做好以下三点是必要的。一、强化“根与系数关系”的教学，并培养学生的熟练程度与应用意识。笔者对一些高一新生进行调查（来自不同的初中），涉及到二次方程根与系数关系的问题有三个（均是旧教材中的例题）：（1）求2x2+3x-1=0两根的平方和与倒数和；（2）已知5x2+kx-6=0一根为2，求另一根及k的值；（3）已知两数和为8，积为9，求这两个数。其中第一个题由于很明显提到了两根，所以学生都做得很好，知道将x12+x22写成(x1+x2)2-2x1x2，也能将写成；第二个题是给出了一根，所有的学生都是将2代入方程求得k=-7，然后将方程写成5x2-7x-6=0，分解因式求另一根，而没有找到利用根与系数关系求解的简便之处：此题令另一根为x1，则2x1=,得x1=，又2+x1=得k=-7；第三题则显然是二次方程的构造。但多数同学即使在列出后也未能想到去构造一元二次方程，而是用代入法消元求解。事实上若能在根与系数问题上稍加强化，学生是有能力去构造x2-8x+9=0这一方程求解的。因此，对二次方程中“根与系数关系”的问题，是有必要强化的。新教材在课后习题中虽有涉及，初中教师也未忽视，但毕竟没有对它进行强化，在中考试题中也没有任何提及。而在高中对二次问题学习中，这个问题开始变得突出。所以教师可选择适当的时机进行补充练习。例如可以做以下练习:⑴设x1，x2是方程x2-7x-4=0的两个根，求①(x1-1)(x2-1)②③(x1-x2)2④⑵m为何值时，关于x的二次方程8x2-(m-1)x+(m-7)=0两根①都为正②异号且负根的绝对值大于正根③两根都大于1⑶求一个一元二次方程，使它的两根是,.⑷已知方程x2+4x-3=0.求做一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程根的2倍。⑸a，b是一元二次方程x2-(2m+1)x+2m+3=0的两实根.a，b又构成某矩形的相邻两边。若此矩形对角线长为，求实数m的值。第一类练习⑴⑵可以认为是从正向考察根与系数的关系，通过将所给条件转化成x1+x2与x1x2的形式培养学生对代数式的变形能力；第二类练习⑶⑷⑸为较隐蔽或逆向的对根与系数的应用。通过练习让学生体会根与系数在一元二次方程中的应用。这两类练习对培养学生的分析能力，代数运算及变形能力是有帮助的。学生在高中的学习中，尤其是学习直线与二次曲线的位置关系时，涉及到“中点问题”及“距离问题”时，便能很自然的加以应用，不会再因为对“根与系数关系”的不熟悉而使问题变得无从入手或思路不通畅了。例：直线y=x-1与抛物线y2=2x交于A，B两点，求AB中点坐标。此题完全大可不必求出A，B坐标，只需在将y=x-1代入y2=2x，得到x2-4x+1=0后利用x1+x2=4得==2，将其代入直线y=x-1得。即AB中点为（2，1）.再如：上题中再求。若求A,B两点坐标，利用两点距离公式则显得较繁。而从公式出发，只需将写成，问题又很轻易解决。所以“根与系数的关系”甚至可以说是一种意识。具备这种意识显然是十分必要的。（以上公式的得出可归功于这种意识）二、加强“因式分解”的练习，提高对二次三项式进行分解的能力。初中新教材对二次三项式的分解比之旧教材难度已经下降。但在高中对这种能力的要求却没有下降。其中“十字相乘”是一个主要的手段。虽然初中教师进行了课外补充，但我仍认为在高中还需要加强此方面的能力。这种方法有着快速、简捷的作用，对解二次方程，不等式是十分方便的。“十字相乘”的练习当然不能停留在分解x2-3x-2=0，2x2-11x+12=0这种较简单的类型上，完全可以对x或系数进行“改头换面”。如：2cos2α-2sinα-1/2=0，m2-（a+1/a）m+1=0，2x2+xy-3y2=0这些式子在高中数学学习中是经常会遇到的。通过这种练习，若能形成一种对分解二次三项式的“条件反射”，则许多问题就有了很快突破的可能？。请看2000年高考填空题15题，设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，……）则它的通项公式是an=____若具备“慧眼识破能够因式分解”的能力，何愁此题不会做？再如2000年高考解答题17题：已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1α∈（0，π），求sinα，tanα的值。此题中第一步自然是将2α的三角函数化为α的三角函数。经过化简得到4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0.然后提出公因式2cos2α,将上式写成2cos2α（2sin2α+sinα-1）=0.括号内是一个关于sinα的二次三项式。此时的“条件反射”发挥了作用，于是上式写为2cos2α（2sinα-1）（sinα+1）=0,此题可解。由此可知，若能将因式分解加以强化，形成分解意识，培养分解能力，将会受益匪浅。三、教学中，应在充分发挥学生主体作用的前提下加强教师的主导作用。与旧教材相比，初中新教材有两个较大的变化。一是对数学知识的学习更贴近生活。教材往往以实际生活中的例子引出所要研究的知识，言语中多了一份亲切感。教材强调了从学生已有的生活经验出发，让学生经历将实际生活问题抽象成数学模型并能解释、应用。这也是课改的一个切入点。据学生反映，他们初中的老师很多都给予了他们动手实践、自主探索或与他人合作学习的机会，这是此届学生学习习惯中的一个优点。二是开始谈到一些重要的思想，而这些思想对以后的学习是非常有帮助的。以二次函数为例。从知识上来讲，新教材不仅列举了大量实际应用模型，而且已经开始注入函数方程思想。这也是新教材在知识处理上的一个突破。高中阶段，在二次函数的学习中仍要坚持这种思想。当然高中毕竟不同于初中，这种思想方法不仅要继承，还要加强，在函数、方程、不等式三者联系中逐步强化这种意识。近几年高考中涉及二次函数、方程、不等式的问题虽然难度有所下降，但仍然是必考点之一。而函数方程，函数不等式思想的渗透，离不开教师的强化作用。不可否认，数学知识来源于实践又指导实践。但目前高中课本上所学知识，就当前学生水平而言，还不能够完全用于实践。数学知识不同于一般的生活知识，也在于它的抽象性。在二次函数、方程、不等式教学中，照样离不开一些数学抽象，有时是学生不易想到的，所以教师的主导作用是不能忽视的。个人以为：在高中的教学中，不仅要将学生在初中时形成的主动探索、积极创新的优良学习风格发扬光大，而且也要加强教师的主导作用。而加强教师的主导作用，关键是必要时应给予学生较明确的思考方向。如求函数y=x2+7x+8的最小值，很多学生用公式法去配方，速度较慢，但在实际解题中用公式所研究问题的方法而不用公式本身，反倒能够很快的解题。此外在考察二次函数单调性时，启发学生意识到对称轴的决定作用；在学习二次函数限定范围内求值域问题时，引导学生培养作图识图能力；在研究二次曲线与直线位置关系时，强化学生从二