考研数学二(常微分方程)模拟试卷17(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷17(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式为()．A．ae2χ＋bχ＋cB．aχ2e2χ＋bχ＋cC．aχe2χ＋bχ2＋cχD．aχe2χ＋bχ＋c正确答案：D解析：y〞－4y＝0的特征方程为λ2＝4＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式为y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式为y2＝bχ＋c，故原方程特解形式为aχe2χ＋bχ＋c，选D．知识模块：常微分方程2．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，则该微分方程为()．A．y″′－y〞－y′＋y＝0B．y″′＋y〞－y′－y＝0C．y″′＋2y〞－y′－2y＝0D．y″′－2y〞－y′＋2y＝0正确答案：A解析：由y1＝eχ，y2＝2χe－χ，y3＝3e－χ为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程为(λ－1)2(χ＋1)＝0，即λ3－λ2－λ＋1＝0，所求的微分方程为y″′－y＋y＝0，选A．知识模块：常微分方程填空题3．微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解为_______．正确答案：y＝(χ＋C)cosχ涉及知识点：常微分方程4．设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．正确答案：2χ解析：∫0χf(χt)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χ(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ3，则F2(χ)＝χ4＋C0．因为F(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2，故f(χ)＝2χ．知识模块：常微分方程5．连续函数f(χ)满足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，则f(χ)＝_______．正确答案：2e3χ解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，两边对χ求导得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce-∫-3dχ＝Ce3χ，取χ＝0得f(0)＝2，则C＝2，故f(χ)＝2e3χ．知识模块：常微分方程6．设y＝y(χ)可导，y(0)＝2，令△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是当△χ→0时的无穷小量，则y(χ)＝_______．正确答案：2涉及知识点：常微分方程7．的通解为_______．正确答案：χ＝解析：由得－2χ＝y2，则知识模块：常微分方程8．微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解为_______．正确答案：ln(χy)＝Cχ解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分离变量得，积分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解为ln(χy)＝Cχ．知识模块：常微分方程9．微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解为_______．正确答案：y＝C解析：令＝u＋χ，则，代入原方程得，两边积分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10．求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．正确答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分离变量得＝(1＋χ)dχ，两边积分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C．涉及知识点：常微分方程11．求微分方程χy′＝yln的通解．正确答案：χy′＝yln可写为，令u＝，原方程化为u＋χ＝ulnu，变量分离得，积分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解为y＝χeCχ＋1．涉及知识点：常微分方程12．求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．正确答案：令y′＝p，则原方程化为涉及知识点：常微分方程13．设χ＞0时，f(χ)可导，且满足：f(χ)＝1＋f(t)dt，求f(χ)．正确答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，两边对χ求导得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因为F(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．涉及知识点：常微分方程14．求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．正确答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得．令u＝，则原方程化为，积分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即＝Cχ，将初始条件y(1)＝0代入得C＝1．由即满足初始条件的特解为y＝．涉及知识点：常微分方程15．求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．正确答案：由(y－χ2)dχ－2χdy＝0，得即原方程的通解为y＝(其中C为任意常数)．涉及知识点：常微分方程16．求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．正确答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得令u＝，则，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解为y2(y＋3χ)＝C．涉及知识点：常微分方程17．求微分方程cosy－cosχsin2y＝siny的通解．正确答案：由cosy－cosχsin2y＝siny得－cosχsin2y＝siny，令u＝siny，则－u＝cosχ.u2，令u-1＝z，则z＝－cosχ，解得z＝[－cosχ)e∫dχdχ＋C]e－∫dχ＝[－∫eχcosχdχ＋C]－χ＝[－eχ(sinχ＋cosχ＋C]e－χ＝Ce－χ－(sinχ＋cosχ)则涉及知识点：常微分方程18．求微分方程χy＝χ2＋y2满足初始条件y(e)＝2e的特解．正确答案：由χy＝χ2＋y2，得，令＋u，得，解得u2＝lnχ2＋C，由y(e)＝2e，得C＝2，所求的特解为y2＝χ2lnχ2＋2χ2．涉及知识点：常微分方程19．求微分方程χ2y′＋χy＝y2满足初始条件y(1)＝1的特解．正确答案：由χ2y′＋χy＝y2得，令u＝，则有，两边积分得，即＝Cχ2，因为y(1)＝1，所以C＝－1，再把u＝代入＝Cχ2得原方程的特解为y＝．涉及知识点：常微分方程20．求微分方程的通解．正确答案：涉及知识点：常微分方程21．求微分方程的通解．正确答案：令χ＋y＝u，则－1，于是有，变量分离得＝dχ，两边积分得u－arctanu＝χ＋C，所以原方程的通解为y－arctan(χ＋y)＝C．涉及知识点：常微分方程22．设y＝eχ为微分方程χy′＋P(χ)y＝χ的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)＝0的特解．正确答案：把y＝eχ代入微分方程χy′＋P(χ)y＝χ，得P(χ)＝χe－χ－χ，原方程化为y′＋(e－χ－1)y＝1，则将y(ln2)＝0代入y＝C＋eχ中得C＝－，故特解为y＝－＋eχ．涉及知识点：常微分方程23．设f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．正确答案：由f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，得f(χ)＝eχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt，两边对χ求导，得f(χ)＝eχ－∫0χf(t)dt，两边再对χ求导得f〞(χ)＋f(χ)＝eχ，其通解为f(χ)＝C1cosχ＋C2sinχ＋eχ．在f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt中，令χ＝0得f(0)＝1，在f′(χ)＝eχ－∫0χf(t)dt出中，令χ＝0得f′(0)＝1，于是有，故f(χ)＝．涉及知识点：常微分方程24．求微分方程χy〞＋3y′＝0的通解．正确答案：令y′＝p，则，解得p＝，即y′＝，则y＝－＋C2．涉及知识点：常微分方程25．设当χ＞0时，f(χ)满足∫1χf(t)dt－f(χ)＝χ，求f(χ)．正确答案：由∫1χf(t)dt－f(χ)＝χ，两边求导得f(χ)－f′(χ)＝1，解得f(χ)＝Ceχ＋1，而f(1)＝－1，所以f(χ)＝1－2eχ－1．涉及知识点：常微分方程26．求满足初始条件y〞＋2χ(y′)2＝0，y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．正确答案：令y′＝p，则y〞＝，代入方程得＋2χp2＝0，解得＝χ2＋C1，由y′(0)＝1得C1＝1，于是y′＝，y＝arctanχ＋C2，再由y(0)＝1得C2＝1，所以y＝arctanχ＋1．涉及知识点：常微分方程27．求微分方程yy〞＝y′2满足初始条件y(0)＝y′(0)＝1的特解．正确答案：令y′＝p，则y〞＝，代入原方程得当p＝0时，y＝1为原方程的解；当P≠0时，由，解得p＝C1＝C1y由y(0)＝y′(0)＝1得C1＝1，于是－y＝0，解得y＝C2＝C2eχ，由y(0)＝1得C2＝1，所以原方程的特解为y＝eχ．