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文档简介

重庆市南川三校联盟2024年高三一诊考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为虚数单位,则的虚部为()A. B. C. D.2.已知复数,则()A. B. C. D.3.若直线的倾斜角为,则的值为()A. B. C. D.4.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()A. B. C.4 D.55.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人6.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-137.已知数列为等比数列,若,且,则()A. B.或 C. D.8.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()A.6种 B.12种 C.24种 D.36种9.已知是等差数列的前项和,若,设,则数列的前项和取最大值时的值为()A.2020 B.20l9 C.2018 D.201710.集合,,则()A. B. C. D.11.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.12.将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度,若所得到的两个图象重合,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.14.某校高三年级共有名学生参加了数学测验(满分分),已知这名学生的数学成绩均不低于分,将这名学生的数学成绩分组如下:,,,,,,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法中正确的是________(填序号).①;②这名学生中数学成绩在分以下的人数为;③这名学生数学成绩的中位数约为;④这名学生数学成绩的平均数为.15.设全集,集合,,则集合______.16.已知向量,,满足,,,则的取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.18.(12分)已知函数(1)若,不等式的解集;(2)若,求实数的取值范围.19.(12分)已知,函数,(是自然对数的底数).(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.20.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,求的值.22.(10分)某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:2340.4其中,(Ⅰ)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率;(Ⅱ)商场销售一件该商品,若顾客选择分2期付款,则商场获得利润l00元,若顾客选择分3期付款,则商场获得利润150元,若顾客选择分4期付款,则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为(单位:元)(ⅰ)求的分布列;(ⅱ)若,求的数学期望的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用复数的运算法则计算即可.【详解】,故虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念,注意复数的虚部为,不是,本题为基础题,也是易错题.2、B【解析】

利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.3、B【解析】

根据题意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将代入计算即可求出值.【详解】由于直线的倾斜角为,所以,则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及直线倾斜角与斜率之间的关系,熟练掌握公式是解本题的关键.4、D【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.5、D【解析】

根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.6、B【解析】

由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.7、A【解析】

根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,,.故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.8、B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论,由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县,则方法数有种.如果甲与另一人一同到县,则方法数有种.故总的方法数有种.故选:B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算,属于基础题.9、B【解析】

根据题意计算,,,计算,,,得到答案.【详解】是等差数列的前项和,若,故,,,,故,当时,,,,,当时,,故前项和最大.故选:.【点睛】本题考查了数列和的最值问题,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.10、A【解析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.11、C【解析】

由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.12、B【解析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后,所得的两个图像重合,那么,利用的最小正周期为,从而求得结果.【详解】的最小正周期为,那么(∈),于是,于是当时,最小值为,故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系,属于简单题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.14、②③【解析】

由频率分布直方图可知,解得,故①不正确;这名学生中数学成绩在分以下的人数为,故②正确;设这名学生数学成绩的中位数为,则,解得,故③正确;④这名学生数学成绩的平均数为,故④不正确.综上,说法正确的序号是②③.15、【解析】

分别解得集合A与集合B的补集,再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知,集合A中集合B的补集,则故答案为:【点睛】本题考查集合的交集与补集运算,属于基础题.16、【解析】

设,,,,由,,,根据平面向量模的几何意义,可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆,C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆,为的距离,利用数形结合求解.【详解】设,,,,如图所示:因为,,,所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆,C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆,则即的距离,由图可知,.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义,还考查了数形结合的方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】

(1)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(2)由四边形是平行四边形,且,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)先证,可得为的中点,从而得出是的中点,可得.【详解】(1)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(2)因为,两点不在棱的端点处,所以,又四边形是平行四边形,,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)如图,延长交的延长线于点,若四边形为菱形,则,易证,所以,即为的中点,因此,且,所以是的中位线,则是的中点,所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题,和线段长的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,属中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)依题意可得,再用零点分段法分类讨论可得;(2)依题意可得对恒成立,根据绝对值的几何意义将绝对值去掉,分别求出解集,则两解集的并集为,得到不等式即可解得;【详解】解:(1)若,,则,即,当时,原不等式等价于,解得当时,原不等式等价于,解得,所以;当时,原不等式等价于,解得;综上,原不等式的解集为;(2)即,得或,由解得,由解得,要使得的解集为,则解得,故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用,属于中档题.19、(1)当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(2)【解析】试题分析:(1),分,讨论,当时,对,,当时,解得,在上是减函数,在上是增函数。所以,当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(2)原命题为假命题,则逆否命题为真命题。即不等式在区间内有解。设,所以,设,则,且是增函数,所以。所以分和k>1讨论。试题解析:(Ⅰ)因为,所以,当时,对,,所以在是减函数,此时函数不存在极值,所以函数没有极值点;当时,,令,解得,若,则,所以在上是减函数,若,则,所以在上是增函数,当时,取得极小值为,函数有且仅有一个极小值点,所以当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(Ⅱ)命题“,”是假命题,则“,”是真命题,即不等式在区间内有解.若,则设,所以,设,则,且是增函数,所以当时,,所以在上是增函数,,即,所以在上是增函数,所以,即在上恒成立.当时,因为在是增函数,因为,,所以在上存在唯一零点,当时,,在上单调递减,从而,即,所以在上单调递减,所以当时,,即.所以不等式在区间内有解综上所述,实数的取值范围为.20、(1)79颗;(2)5.5秒.【解析】

(1)利用各小矩形的面积和为1可得,进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率,从而得到频数;(2)平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.【详解】(1)第一到第六组的频率依次为0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和为1所以,,

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