第04讲 图形的轴对称、等腰三角形（2大考点5种解题方法）（解析版）

第04讲图形的轴对称、等腰三角形（2大考点5种解题方法）考点考点考向一．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．三．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．四．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．五．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．考点精讲考点精讲一．轴对称的性质（共4小题）1．（2021秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．2．（2021秋•临海市期末）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B＝50或65度．【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分两种情况：①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，同理可得∠ABC＝65°．【解答】解：连接AP、BP，如图：∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵点Q与点P关于AC对称，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，综上所述，∠ABC为50°或65°，故答案为：50或65．【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．3．（2021秋•温州校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（）A． B． C． D．2【分析】证明∠ACB＝90°，∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，可得结论．【解答】解：∵点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，∴DB＝DB′，∠B＝∠B′，∠DAB＝∠DAC，∵BC垂直平分AB′，∴DA＝DB′，∠ACB＝90°，∴∠B′＝∠DAC＝∠DAB＝∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，∴AD＝DB＝2CD，∴＝2，故选：D．【点评】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明∠ACB＝90°，∠B＝30°．4．（2021秋•椒江区校级期中）如图，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E为CD的中点，若∠AEB＝120°，则AB的最大值为14．【分析】如图，作点A关于AE的对称点A′，点D关于BE的对称点D′，连接CA'、EC'、ED'、C'D'、D'B，证明△C′ED′为等边三角形，即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于AE的对称点C′，点D关于BE的对称点D′，连接CA'、EC'、ED'、C'D'、D'B，∵∠AEB＝120°，∴∠AEC+∠DEB＝60°，∴∠CEC′+∠DED′＝60°，∴∠C′ED′＝60°，∵EC′＝ED′，∴△C′ED′为等边三角形∵AB≤AC′+C′D′+D′B＝CA+CE+BD＝2+4+8＝14，∴AB的最大值为14，答案为：14．【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．二．轴对称图形（共2小题）5．（2021秋•开化县期末）如图图案中，成轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．（2021秋•湖州期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形．【解答】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．三．作图-轴对称变换（共6小题）7．（2021秋•衢江区期末）如图，在△ABC中，点A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根据上述信息在图中画平面直角坐标系，并求出△ABC的面积；（2）在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1．【分析】（1）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．【解答】解：（1）如图所示，△ABC的面积＝2×3﹣×2×2﹣×1×2＝3；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．8．（2021秋•东阳市期末）如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．（2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有4个．【分析】根据要求利用轴对称的性质作出图形即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图①所示，线段MN即为所求（答案不唯一）；（2）如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一），符合条件的三角形共有4个，故答案为：4．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021秋•开化县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）写出点A，B的坐标：A（﹣1，1），B．（﹣3，3）．（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）结合图形可得答案；（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．【解答】解：（1）由图知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），故答案为：（﹣1，1）、（﹣3，3）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．10．（2021秋•嵊州市期末）已知点A（2，3），点B与点A关于y轴对称，点C与点A关于x轴对称．（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC．（2）求线段BC的长．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出点B，点C即可；（2）利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）BC＝＝2．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．11．（2021秋•台州期末）如图，△ABC的顶点分别为A（1，3），B（4，5），C（1，5），先将△ABC以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到△A′B′C′，再将△A′B′C′以x轴为对称轴通过轴对称得到△A″B″C″．（1）画出△A″B″C″；（2）写出A″，B″，C″三点的坐标；（3）一般地，某一点P（x，y）经过这样的两次轴对称变换后得到的点P″的坐标为（y，﹣x）．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A″B″C″；（2）结合（1）即可写出A″，B″，C″三点的坐标；（3）结合（2）即可写出点P″的坐标．【解答】解：（1）如图，△A″B″C″即为所求；（2）A″（3，﹣1），B″（5，﹣4），C″（5，﹣1）；（3）点P″的坐标为（y，﹣x）．故答案为：（y，﹣x）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．12．（2021秋•余姚市期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的位置如图所示，（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点，不㝍画法）；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）根据点的位置写出坐标即可．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1.3），B′（﹣3，0），C′（﹣4，4）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．四．轴对称-最短路线问题（共5小题）13．（2021秋•余杭区月考）如图所示，点P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，若△PAB的周长最小，则∠O与∠APB的关系为（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APB C．∠O+∠APB＝180° D．2∠O+∠APB＝180°【分析】作点P关于OM的对称点P'，点P关于ON的对称点P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此时△PAB的周长最小值等于P'P''的长，由轴对称的性质可知△OP'P''是等腰三角形，所以P'OP''＝2∠AOP，推出∠P'＝∠P''＝＝，所以∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即得出答案．【解答】解：如图，作点P关于OM的对称点P'，点P关于ON的对称点P''，连接OP'，OP''，P'P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此时△PAB的周长最小值等于P'P''的长，由轴对称性质可知：OP＝OP'，OP＝OP''，∠AOP＝∠AOP'，∠BOP＝∠BOP''，∴∠P'OP''＝2∠AOB，∴∠P'＝∠P''＝＝，∴∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即2∠O+∠APB＝180°，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将△PAB的周长最小值转化为P'P''的长是解题的关键．14．（2021春•郯城县期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C． D．【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB＝2，∠BAC＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝2×＝．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．15．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为15．【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A点作AM⊥CD交于点M，此时AP+PD的值最小，在Rt△A'DM中，A'D＝＝15，则A'D即为所求．【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A点作AM⊥CD交于点M，∵AP＝A'P，∴AP+PD＝A'P+PD＝AD，此时AP+PD的值最小，∵AB＝5，DC＝4，BC＝12，∴AM＝12，DM＝5+4＝9，在Rt△A'DM中，A'D＝＝＝15，∴AP+PD的最小值是15，故答案为：15．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．【解答】解：∵，∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，∴l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，∵AD⊥BC，AD＝BC，∴BB'＝BC，BB'⊥BC，∴△BB'C是等腰直角三角形，∴∠B'＝45°，∵PB＝PB'，∴∠PBB'＝∠B'＝45°，∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．17．（2021秋•义乌市期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）（2）最低费用为多少？【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价＝单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．【解答】解：（1）根据分析，水厂的位置M为：（2）如图2，，在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），∴BE＝（千米），∴铺设水管长度的最小值为50千米，∴铺设水管所需费用的最小值为：50×3＝150（万元）．答：最低费用为150万元．【点评】（1）此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量，单价＝总价÷数量，数量＝总价÷单价，要熟练掌握．五．等腰三角形的性质（共7小题）18．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝，则AB的长为（）A． B．2 C．4 D．6【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，∠ACB＝110°，∴∠ACH＝∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，∵∠ECD＝15°．∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，∴∠ACH＝∠ACF＝55°，∴CA平分∠HCF，∵AF⊥CE，CH⊥AB，∴AH＝AF＝，∴AB＝2AH＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF．19．（2021秋•台州期末）如图，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，则∠ADE的度数为（）A．40° B．65° C．70° D．75°【分析】证明△EAD≌△CAB，由全等三角形的性质即可得∠C＝∠E＝40°，∠B＝∠ADE，根据等腰三角形的性质得出∠B＝70°，即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠EAD＝∠CAB，在△EAD和△CAB中，，∴△EAD≌△CAB（SAS），∴∠C＝∠E＝40°，∠B＝∠ADE，∵AC＝BC，∠C＝40°，∴∠B＝70°，∴∠ADE＝70°．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．20．（2021秋•缙云县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度数．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝65°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝25°．【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝65°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．21．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，则∠CDE＝（）A．14° B．35° C．20° D．30°【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+28°，∠AED＝∠C+∠EDC，再根据∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED即可得出结论．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+28°，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠EDC，∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠C+∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+28°﹣∠EDC，解得∠EDC＝14°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．22．（2021秋•东阳市期末）若等腰三角形中有两边长分别为4和5，则这个三角形的周长为（）A．13 B．12 C．12或13 D．13或14【分析】因为腰长没有明确，所以分①4是腰长，②5是腰长两种情况求解．【解答】解：①4是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+5＝13；②5是腰长时，能组成三角形，周长＝5+5+4＝14．所以，它的周长是13或14．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是分①4是腰长，②5是腰长两种情况求解．23．（2021秋•长兴县期中）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2（n为正整数）．若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长．【分析】由于n+2≠n+6，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①n+2＝3n；②n+6＝3n．求出n的值后，根据三角形三边关系即可求解．【解答】解：①如果n+2＝3n，解得n＝1，三角形三边的长为3，3，7，3+3＜7，不符合三角形三边关系；②如果n+6＝3n，解得n＝3，三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．综上所述，它的三边的长为5，9，9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系．24．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝80°．在△BDC中，BD＝BC，∴，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．（2）设∠BCD＝x°，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，∴2α＝β．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答．巩固巩固提升一、单选题1．（2020·浙江绍兴市·）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．（2020·台州市书生中学八年级期中）下面选项中的四边形不是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2020·浙江八年级期末）下列图形属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念判断．【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，掌握识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．4．（2019·浙江宁波市·八年级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段 B．等腰三角形 C．角 D．有一个内角为的直角三角形【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义，结合各选项所给图形的特点进行判断即可．【详解】解：A、线段是轴对称图形，故本选项不符合；B、等腰三角形是轴对称图形，故本选项不符合；C、角是轴对称图形，故本选项不符合；D、有一个内角为60°的直角三角形不是轴对称图形，故本选项符合；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形的性质是解决问题的关键，难度一般．5．（2021·浙江）若等腰三角形的顶角为，则它腰上的高线与底边的夹角等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据三角形内角和定理求出底角的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求出．【详解】解：根据题意，底角=（180°-α）=90°-，∴夹角为90°-（90°-）=．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理和直角三角形的两锐角互余；本题的结论可以记住，分析别的问题时可直接应用．6．（2021·浙江八年级期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【详解】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，∴∠BAC=∠OAD=α，在△ABC中，∠ABC=（180°-α），∵BC∥OA，∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，∴β+（180°-α）=90°，整理得，α=2β．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．7．（2021·浙江八年级期末）在中，，若，则为（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=40°，∴∠C=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2021·浙江八年级期末）如图所示，是将长方形纸片沿折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（）对A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】从最简单的开始找，因为图形对折，所以首先△CDB≌△C′DB，由于四边形是长方形所以，△ABD≌△CDB．进而可得另有2对，分别为：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，∴C′D=CD，BC′=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可证明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三对全等．所以，共有4对全等三角形．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．9．（2021·临海市外国语学校）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】A【分析】如图，延长，根据折叠的性质，可知，由平角的定义可得，由平行线的性质可得，进而求得．【详解】如图，延长，折叠，，，，，，，，．故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的添加辅助线是解题的关键．10．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．11．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）如图，在△ABC纸片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为是（）A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据折叠的性质得到：DE=CD，BE=BC=5cm，求出AE=4cm，根据△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE代入数值计算即可得解．【详解】由折叠得：DE=CD，BE=BC=5cm，∵AB=9cm，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，故选：B．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．二、填空题12．（2021·诸暨市滨江初级中学八年级期中）已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则周长为_____．【答案】12【分析】由等腰形三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案．【详解】解：∵等腰三角形有一边长为5，一边长为2，①若5为腰长，2为底边长，则第三边的长为5，∵5，5，2能组成三角形，∴此时周长为：5+5+2=12；②若2为腰长，5为底边长，则第三边的长为2，∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，故舍去；∴周长为12．故答案为：12．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．13．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，的中垂线交于点D，交于点E，如果的周长为22，那么的周长为_______．【答案】34【分析】由AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，可得AD=BD，又由BC=10，△DBC的周长为22，可求得AC的长，继而求得答案．【详解】解：∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，∴AD=BD，∵△DBC的周长为22，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22，∵BC=10，∴AC=12，∵AB=AC，∴AB=12，∴△ABC的周长为12+12+10=34，故答案为：34．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2021·浙江）已知等腰的一个内角为，则的度数为________．【答案】70°或40°或55°【分析】分∠B是顶角和底角，再分情况讨论，根据三角形内角和与等腰三角形底角相等计算可得．【详解】解：若∠B是顶角，当∠B=70°，则∠A=∠C=（180°-70°）÷2=55°；当∠A=∠C=70°，则∠B=（180°-70°×2）=40°；若∠B是底角，当∠B=70°，则顶角为（180°-70°×2）=40°，当顶角为70°，则∠B=（180°-70°）÷2=55°，故答案为：70°或40°或55°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据已知角为顶角和底角，分类讨论．15．（2020·浙江绍兴市·）将图1中纸片的A点以为折线往下折，A点恰好落在上，如图2所示，再分别以图2的为折线，将C，D两点往上折，使得A、B、C、D、E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中的，则图3中的度数____度．【答案】68【分析】根据三角形内角和定理和折叠的性质解答即可．【详解】解：由图2知，∠BAC+∠EAD=180°-124°=56°，∴图3中∠CAD=180°-56°×2=68°，故答案为：68．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，结合图形解答，需要学生具备一定的读图能力和空间想象能力．16．（2020·浙江八年级期末）如图，将正方形沿对折，使得与重合，得到折痕后展开点分别在边上，再沿折叠，使得点落到点．折痕与相交于点．若，则为________度．【答案】67.5°【分析】根据折叠的性质得到∠DAC=∠BAC，∠AEF=∠A′EF，再根据平行线的性质得到∠A′ED=∠DAC=45°，∠COF=∠A′EF，从而计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，由第一次折叠可知：∠DAC=∠BAC=45°，∠AEF=∠A′EF，∵A′E∥AC，∴∠A′ED=∠DAC=45°，∠COF=∠A′EF，∴∠COF=∠A′EF=∠AEF=（180°-45°）=67.5°，故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是利用折叠和平行线的性质得到相等的角．17．（2021·浙江八年级期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角的大小是_____【答案】50°或80°或20°【分析】分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．【详解】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD=120°-α，∠CPD=40°，①当PC=PD时，∴∠PCD=∠PDC==70°，即120°-α=70°，∴∠α=50°；②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD=∠CPD=40°，即120°-α=40°，∴α=80°；③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP=∠CPD=40°，∴∠PCD=180°-2×40°=100°，即120°-α=100°，∴α=20°，此时点P与点B重合，点D和A重合，综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α=50°或80°或20°．故答案为：50°或80°或20°．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．18．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，，点D在边上，关于直线，对称，的角平分线交边于点G、连接，当的值等于_______时，为等腰三角形．【答案】10°，25°或40°【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三种情况讨论解答即可，当GD=GF时，就可以得出∠GDF=80°，根据∠ADG=40°+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．②当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．③当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．故答案为：10°，25°或40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．19．（2020·浙江杭州市·）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）【答案】都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．20．（2020·浙江绍兴市·八年级月考）如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_____________．【答案】6【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=AH∴∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案为6．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．21．（2020·浙江金华市·）如图，在中，，，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是________．【答案】【分析】过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．【详解】如图，设点B的对应点为N，由题意得：∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，则MP＝MQ，设MP＝MQ=x，∵