考研数学二(微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二（微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设非齐次线性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)－y2(x)]．B．y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．C．C[y1(x)＋y2(x)]．D．y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．正确答案：B涉及知识点：微分方程2．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1＋C2y2＋y3．B．C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．C．C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．D．C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．正确答案：D涉及知识点：微分方程3．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2．B．e2xIn2．C．ex＋ln2．D．e2x＋ln2．正确答案：B涉及知识点：微分方程填空题4．微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解为________．正确答案：y＝(x＋C)cosx；涉及知识点：微分方程5．微分方程xy’＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．正确答案：xy＝2；涉及知识点：微分方程6．微分方程xy”＋3y’＝0的通解为_______．正确答案：y＝C1x－2＋C1；涉及知识点：微分方程7．微分方程y”＝2y’＋2y＝e2的通解为________．正确答案：y＝ex(C1cosx＋C1sinx)＋ex；涉及知识点：微分方程8．设Y＝ex(C1sinx＋C1cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．正确答案：y”－2y’＋2y＝0．涉及知识点：微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9．求微分方程y’＋ycosx＝(lnx)e－sinx的通解．正确答案：y＝e－sinx(xlnx—x＋C)；涉及知识点：微分方程10．求微分方程满足初始条件的特解．正确答案：y2＝2x2(ln｜x｜＋1)；涉及知识点：微分方程11．求微分方程x2y’＋xy＝y2满足初始条件的特解．正确答案：；涉及知识点：微分方程12．求微分方程的通解．正确答案：；涉及知识点：微分方程13．设有微分方程y’－2y＝ψ(x)，其中试求在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，满足条件y(0)＝0．正确答案：；涉及知识点：微分方程14．设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’(u，v)＋f’(u，v)＝uv．求y(x)＝e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解．正确答案：y”＋2y＝x2e－2x，；涉及知识点：微分方程15．求微分方程y”‘＋6y”＋(9＋a2)y’＝1的通解，其中常数a＞0．正确答案：y＝C1＋e－3x(C2cosax＋C3sinax)＋；涉及知识点：微分方程16．设函数y＝y(x)满足微分方程y”－3y’＋2y＝2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝x2－x＋1在该点处的切线重合，求函数y＝y(x)．正确答案：y＝(1—2x)ex；涉及知识点：微分方程17．求微分方程y”＋5y’＋6y＝2e－x的通解．正确答案：y＝C1e－2x＋C2e－3x＋e－x；涉及知识点：微分方程18．求微分方程y”＋4y’＋4y＝e－2x的通解．正确答案：；涉及知识点：微分方程19．求微分方程y”－2y’＝e2x满足条件y(0)＝1，y’(0)＝1的解．正确答案：；涉及知识点：微分方程20．求微分方程y”＋2y’－3y＝e－3x的通解．正确答案：；涉及知识点：微分方程21．设函数y＝y(x)满足条件求广义积分∫0＋∞y(x)dx．正确答案：1；涉及知识点：微分方程22．求连续函数f(x)，使它满足f(x)＋2∫0xf(t)dt＝x2．正确答案：；涉及知识点：微分方程23．已知连续函数f(x)满足条件，求f(x)．正确答案：f(x)＝3e3x－2e2x；涉及知识点：微分方程24．设函数f(f)在[0，＋∞)上连续，且满足方程，求f(t)．正确答案：f(t)＝e4πt2(4πt2＋1)．涉及知识点：微分方程25．在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：；涉及知识点：微分方程26．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：；涉及知识点：微分方程27．假设：(1)函数y＝f(x)(0≤x＜＋∞)满足条件f(0)＝0和0≤f(x)≤ex－1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y＝f(x)和y＝ex－1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y＝f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y＝f(x)的表达式．正确答案：；涉及知识点：微分方程28．设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A．已知，且l过点，求l的方程．正确答案：；涉及知识点：微分方程29．设对任意x＞0，曲线y＝f(x)上的点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．正确答案：f(x)＝C1lnx＋C2；涉及知识点：微分方程30．在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群的总人数为N，在t＝0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k＞0，求x(t)．正确答案：；涉及知识点：微分方程31．设函数f(x)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为．试求y＝f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足条件的解．正确答案：3f2(t)＝2tf(t)＋t2f’(f)，y—x＝－x3y；涉及知识点：微分方程32．设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z＝h(t)－(设长度单位为厘米，时间单位为小时)．已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?正确答案：100小时；涉及知识点：微分方程33．设y＝f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，0为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式．正确答案：f(x)＝(x—1)2，0≤x≤1；涉