（3年高考2年模拟1年原创）高考数学03数列（解析版）

【金识源】（3年高考2年模拟1年原创）最新2013版高考数学专题03数列（解

析版）

【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布

数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数

学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特

征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度

大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的

思想、分类讨论的思想.通过对2010年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总

分的12%,大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、

前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中

等以上难度的试题或难度大的压轴题.

【考点pk］名师考点透析

考点一、数列的概念及表示方法

【名师点睛】

1.定义：按照一定顺序排列着的一列数.

2.表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法.

3.分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、

摆动数列和常数列.

a=2(〃=1)

4.%与5〃的关系:

5.求数列的通项公式的主要方法有（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.

（2）利用a,与S的关系，不要忘记验证ai能否与n22时a“的式子统一；（3）由递推公式求通项公式,

常化归为等差等比数列,或用利用迭加a「a*f（n）、迭乘“ae=f（n）、迭代等方法.

6.处理方法：.用函数的观点处理数列问题

【试题演练】

1.数列1,-',__L,…的一个通项公式是______。

234

【解析】这个数列的前4项的绝对值群是序列号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个

通项公式为d=包二.

n

2.已知数列｛4｝满足q=1,4=—L+1(〃N2),则%=.

an-\

Q

【解析】I考察数列的表示方法，了解数列的递推式也是一种表示方法，并能由递推式能写出数列的前几

项.

3.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,且S“=3/+〃，则数列的通项公式

an=-------

【解析】a..=6;7-2.提示:当，?22时，a,：=S.-5：“=，-2,当“=1时，q=$=4也适合,所以

a,;=6改-2.

4.已知4=—"+25〃(〃wN+),则数列｛4｝的最大项是。

【答案】第12项或13项

【解析】4是关于〃的二次函数.

考点二、等差数列的概念及性质

【名师点睛】

(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列.

(2)递推公式：a,(+l-an=d,all+l=an*q,qwO,〃eN*.

n

(3)通项公式：an=at+(n-l)<7,an=a｝q~\neN*.

(4)性质①单调性：dN0时为递增数列，dW0时为递减数列，d=0时为常数列.②若

m+n=p+q,Udam+an=ap+aq(m,n,p,qeN').特别地，当m+〃=2p时,有q“+a“=2册③

a.-a,”neN*).④S*,S2k-Sk,$3^-S?*,…成等差数列.

等差数列是个特殊的数列，对等差数列的概念、通项公式、性质、前n项和公式的考察始终没有放松。

一方面考查知识的掌握，另一-方面考察灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能力，对这部分的

考察坚持小题考性质，大题考能力的思想，大题的难度以中档题为主，估计这种考查方式在今后不会有大

的变化.已知五个元素国，a“,n,d,S中的任意三个，便可求出其余两个.证明数列｛a｝是等差数列的两种

基本方法是：（1）利用定义，证明a“-a,L\（G2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2a产a-"小（〃22）

【试题演练】

1已知｛g｝是等差数列，6+出=4,%+%=28,则该数列前10项和S10等于（）

A.64B.100C.110D.120

【答案】B

'2a,+<7=410x9

【解析】设数列的公差为d,则《1得％=1,4=2.故S|o=lOq+-----r/=100

2%+13d=282

2.等差数列｛%｝的前10项的和兀=100,前100项的和S侬=10,求前110项的和S.

解法一：设的首项为生，公差工则

10a；+-^-xl0x9rf=100।d=

2解得-0ilOa,+-xll0xl09rf=-110

1099

100<z,+-xl00x99tf=10,a,~

2110c

解法二：［aJ为等差数列,故可设S3:g

,100J+105=100_

则，解得ZB1CU-d=-l

110000.1+1005=10

:

sn.=110J+1105=110(110J^5)=-110

解法三：•••SI::-S［：='tV—

.=（%+生：：）><110_

**sllw'=C'=11Q

【点评】解法一转化为两个基本量,再求其它问题是重要的方法，也是解决这类问题的通法通解；解法二利

用了前n项和公式的函数式特征.解法三较为灵活，运用了整体代换的思想方法。

3.设等差数列｛七｝的首项％及公差"都是整数，前〃项和为S“，（1）若％|=0,SM=98,求数列的通项

公式；（II）若％>6,即>0,SM<77,求所有可能的数列｛为｝的通项公式.

解：⑴由之=9s得2q+13d=l」入41=\+10d=<喙解得^=-22=20.因此&｝的通项公

式是a.=21-2%〃=1=2=3：…一

"S14<77S'%+13d41L；2a1+r^<0①

（2）Sau>0,得,q+10/>0,即-2a1-20e/>n②

1

>6.>6.-lax<--.③

由①+@得—7dv1L即d>——.由①代.jIndW-L即」W—-.于是<■dW——.又d6Z，故

713713

d=-l.代入①②得10<用£12.又qeZ,故生=11或生=「所以，所有可能的数列｛aj的通项公式是

a..•2=12一片'和a.匕.=13-7工-〃=1.2.3….

4S”为数列"的前〃项和，且满足仇=1,2b“1(n22).证明数列｛1-｝成等差数列，并求数

4.b.S,-S：S.

列也｝的通项公式.

RL>>/c*C*\

解：由已知血、=1泌2』,又5..=4+5、+…+如所以、=1

b,.S..-S：-*^i£-SzlS,：-S；

即也二2=i,所以1_一_L=L.又5=s=1,用二数列•是首项为1,公差为1的等差数

-S.S..,S..S..,1-•S,2

列’由上可知/号即5：=W漕以当,士时——二一高

因此「2n=1

n>2

1nm+lj

【点评】本题考察等差数列的证明，证明手差数列的、本方法早刊用定义，证明&-生_1=常数(n22)；

或利用等差中项，即证明2a：=a—+a-1碎>2i

5.设等差数列｛6,｝的前〃项和为S“，已知q=12,S12>0,S13<0o(I)求公差d的取值范围；

(II)指出S-S2，…，S2,中哪一个值最大，并说明理由

-i-------——d>0,

2；1羽+66d>0

13x1)•>4

解：(I)根据题意，有,13q------；—d〈：0,整理得13q<0解得-=cd-3.

,q+2〃=]_,-i

।

[31々+&,|

(II)解法一：因为d<0,/.a:>a:>a3>-->al:>：差>…•兀S/=-------———=13a-<0>a-<0.

又又=二!三刍」=6侬+%1=6|。,-a-l>0,>U.所以数列的前6项和S：最大.

d、,、d•»r《、

解法二：：a,=12-2d.二.S.=」「+12-d乩考察函数i=二f+12-二d；工，

।•■>、*

3<1、<1，cj

・・・dc0：-三=二一上：「.£=二一二时，1的取值有最大值,又・,--<^<-3,

la2d2d7

所以64二-上.•.—；，所以当，?=6时S.最大，即数列的前6项和最大.

2d!

【点评】本题给出的两种解法，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.

考点三、等比数列的概念及性质

【名师点睛】

(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列.

(2)递推公式：a,+]_a“=d,%=ajq,q*O,〃eN".

(3)通项公式：a“=q+(〃一l)d,a“=qq"，neN,.

人[a.<0,(a,>0[a,<0,fa,>0

(4)性质①单调性：当4।或《।时，为递增数列；当《।，或1।时为递减数

[0<<7<1[q>1[q>L[0<q<l

列；当q<0时为摆动数列；当q=l时为常数歹1J.②若/”+〃=p+g,则=4•%(m，n,p,qGN*)

特别地若，7?+〃=2P则③&=q"-"'O，neN*,gwO).@Sk,S2k-Sk,Sik-S2k,…，当

a...

qw—1时为等比数列；当q=-1时，若k为偶数,不是等比数列.若人为奇数是公比为-1的等比数歹U.

等比数列的定义、判断、通项公式和前〃项和公式的探求，等比数列的性质的应用是历年的必考内容,

考察的形式类似于等差数列，考察题型既有基本题，也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识有关

的综合题。估计在2010年高考中，仍是重点.五个元素国，a”n,q,S,中知三，可求另两个.次数较高时

可除或换元；证明数列｛a｝是等比数列的两种基本方法是：(1)利用定义，证明二J(〃22)为常数；(2)

利用等比中项，即证明•a,(〃)2).运用等比数列求和公式时•，需对fl和进行讨论.

【试题演练】

1在等比数列｛。“｝中，ax=l,al0=3,则a2a3a4a5a6a7a8%=()_

(A)81(B)27^27(C)G(D)243

【答案】A

【解析】在等比数列中，•.•1+〕。-2+9=3--•；+-=5+6：由等比数列的性质可得

@a「==a：生==a;a■:从而a：a：a.:■:a-a；a：=II=SI.

2.等比数列｛a,｝中，S“是其前w项和，若与o=lO,$2。=30,求S30.

.a/l-gLI

—~—=10

解法一：设公比为g,=10,5“=30-gHL于是」‘

可|1一。一I

-------=30

Il-g

两式作商1+/=3;3：=2.二5：.=勺1二^='"二--^1+/+/」

1-5--?

=Sg(l+/+g：：)=70二S*=70.

解法二：S「，Sy—S--.S~--S:-成等比数列，IS：.—S］：广=Sj--IS；--SyI＞又因为S「=10.Sy=30»

..S”=70.

【点评】解法一将问题转化为求数列的基本量，利用方程思想思想求解，是通法通解，要注意过程中蕴含

的运算技巧，解法二运用等比数列的性质，大大简化了运算过程.

3.已知正项数列｛a,｝,其前〃项和S“满足105“=d+5。“+6且为，%，%5成等比数列，求数列｛4｝的

通项a“

解：•「IOS.：=a,；+5q：+6,①代，】=''存10a，-a；+5a•1J,故a：=1或a：=3

又IOS,：7=a」+5aAi+6(，?22I②①-②得1°~,：=(a；・a：_J+6(q：-a”]|,

即(a,：+a”[)(a*-a^_x-ll=0a,.+_th0,..a,.—a—=5i>7>2j

当生=3时，a；=13,出=~3a】，.：，勾§不成生：*'洌.\4h3;

当q=2时，生=12,ai5="2>有ag=cf，a,=2>a..—5n—3

【点评】本题在解题过程中，以S.：与a：的关系为好题的切入短，将S：与a的递推关系转化为a：与的

递推关系，然后再来求解.很多问题通途判断或构造转化为特会数列(等比或等差数列)而得以求解。

4.设数列｛4｝的前〃项和为S„.已知q=a,an+i=Sn+3",neN".(I)设"=S„-3",求数列也｝

的通项公式；(H)若。，用2a“，neN\求。的取值范围.

解:(I)依题意，S，i-S,：=a，z=S,：+3",即S=i=2S,：+3‘，由此得S：7-3J=2(S,：-3").

因此，所求通项公式为4=5：-3"=3-3):』，，?6、.①

(II)由①知5：=3'：+9-3)广】，，?wN*,于是，当kN2时，

&=S,-S.=3"+(a-3)又2.—3.一(a-3)x24：=、X3'i+(a—3)2人：，

，:-1，：_：

a..,,-ar=4x3+(a-3)2=广二+a-3•

Lj

'c..一

当7工》2时，a.1—a.二+a—3、0=a3一9.

又生=4十3>4,综上，所求的a的取值范围是9,+x).

5.设二次方程为才2一品,/+1=0(刀£N+)有两个实根a和£,且满足6a—2a(3+6/?=3.

(1)试用/表示&“；

2

⑵求证：｛4-3是等比数列;

3

解：⑴由根与系数的关系得‘f代入6a—2a尸-64=3,化尚得牝：=（备-=

*123

IR

]171,%一71

3证明:因为悬-】=9「1所以ML二于是一止=々可以证明孰W。故⑶一三｝

m-

是公比为:的等比数列

点评：一些数列通过适当的变形,可以得到一个等比数列（或等差数列），形如antl=qa„+p的数列就可以转化为

一个等比数列.对于给出通项公式的数列，要证明｛%｝是等比数列，只需证明也或‘上是一个与〃无关

%明T

的常数即可；对于以前后两项递推的形式给出的数列，若能变形成也或‘工是一个与〃无关的常数，也

«n-i

能证明数列｛为｝是一等比数列.

考点四、求数列的通项

【名师点睛】

在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。数列通项公式

的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应

于已知数列类型的题目.2、公式法，若已知数列的前〃项和S“与%的关系，求数列｛处｝的通项M可用

公式4,=11求解。3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通

.........n>2

常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数

列。4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，

观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这

种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转

化方法。

【试题演练】

1.已知数列｛%｝的前〃项和S“满足S“=2%+（—.求数列｛%｝的通项公式。

解：由生=耳=%—1=%=1当心2时，有a,=S”-Sz=2(&_az)+2x(_l)；

-1

.'.ar_=+2x(-1)'7=1arr/x(一，*....,az=2ax-2.

：a.=2>1^+2>1X(-I)+2，>:X(-4):+-•+2xJ)-

=产+(fRT)i+(-y、-+(f]

廿_(目斗

=全=H一产1

经嗡证%=1也满足上式，所以a=A:I=+(Ji]

s.............“=1一

点评：利用公式a,=/。、求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.

-S,：-S,：T.....>7>2

2.已知数列｛%｝满足为=，，an+i=an+—,求凡。

2n+n

1111

解：由条件知:-----==—―----

犷+方k(k+1)--n2+1

分别令外=……G7）,代入上式得行一1）个等式史，之，

即（的一里）十（生一生）+（%—生）+....；*］）=（1一：；十（:-3+（：_<）+............

12JJ4k一1k

-11,131

所以a,.一小=1一一:a=一,a..=十1一一=---

点评：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递压公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题,

有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。递推公式为4川=怎+/（〃），转化为。,用—%=/（/?）,利

用累加法（逐差相加法）求解。递推公式为=/（〃）即，转化为4包=/（〃），利用累乘法（逐商相乘法）

%

求解。递推式：。,出=必,,+/（〃）只需构造数列也,｝‘消去/（"）带来的差异.递推公式为。,用=pa“+q

（其中p,q均为常数，（P4（p—l）H0））,转化为：an+l-t=p（an-t）,其中f=—L,再利用换元法

1-P

⑹......（〃=1）

转化为等比数列求解。递推公式为S,,与巴的关系式。（或S”=/（《,）），利用%=/°°进行

⑸,-S,3〃N2）

求解。

3.已知数列｛%｝前n项和S“=4-a“-5二.（1）求明+1与a”的关系；（2）求通项公式明.

解：⑴由S,：=4-%-4y得：S,：_[=4-a,j_1于是S.i-S,：=(q：-&_[)+(Jy-白已所以

（2）两迦司乘以产得：=+2由-。1=4-4一与=q=1.于是数列匕&｝是以2

为首项，2为公差的等差数列，所以二公=2+26-1、=2，：=2=9

4.已知数列｛%｝满足4]=1,且a“+|=3a,+2,求a”.

解：设a,l+|+t=3（%+1）,贝ijan+l=3a,,+2f=>f=1,an+l+1=3（a„+1）=>｛%+1｝是以（%+1）为首项，

以3为公比的等比数列n*+1=（%+1）-3"T=2・3”T=。“=2・3"T-1

点评：求递推式形如*M=pa“+q（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列

«„+1+-^—=p（a„+—乙）来求得，也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一

p-\1-P

种题型.

5.数列｛%｝中，/=1,劭=2,3a〃+2=2%+]+。“，求数列｛。〃｝的通项公式。

?1、

解：由3a空_：=2a,1]+4得-：设G_ka—=〃（冬--kaj

2111

比较系数得k+力=二，一旧2=±,解3左=】八=一士或;C=-2」2=l

j3JJ

若取太=1/7=-2，则有（a,.rJ

33

...9：>1一%｝是以一:为公比，以为-,1=2-1=1为旨项的等比数列.•.低[-4=（一3"1

由逐差法可得a,：=（a,：—&_i）+也：-1—々u-----1r（a；-%）+%

…+J；)?+(-g)+1+1

点评：*+2=P%+i+4%型的递推式，通过对系数P的分解，可得等比数列｛%-*_/，设

。“+2—鼠J*=/?（*+]-%%），比较系数得/?+k=p,-hk-q,可解得/?,上。

6.设｛&｝是首项为1的正项数列,且（加1）a/—禽=0（*N+）,求它的通项公式.

解：数列｛生）是首项为1的正项数列:・.・二#0.

日,7

———D"J-+1=。令=r.-'.(??—1)S—r—；?=Q：分解因式得l)r—??](1—1)=0：1・:=

-h舍去）:即

30=二,到此可采用:

a,.k+1

1

法一:，累积法）"X&X生X巴,、…x2：.xrx2x4x-x—./.a,=l,

药生生外「；工3」5nn

法二：（迭代法）『竺二&T="X匚冬_尸山•匚•二-产…

??+1n〃n-1n外-1n-2

>7-1>7-272—31.1

=----•-------..........-«].・・〃=一

n汽-1汽-22・

法三口特殊数列法）.••\=」、「比也三=L...数列是一个以6为首项」为公比的等

生〃+1叫

比数列，即常数数列...，?2=1,...a产」.

n

法四：（归纳猜想）由递推关系求函数的前几项,然后根据前几项猜出其通项公式,后用数学归纳法证明（略）.

此方法以后解决.

总结：数列｛a,｝的两个重要变形,在适当的条件下应用起来非常方便.⑴a“=a+（戊-a）+（&-a）+-F（a—a,

-i）;

（2）a„=Si,—,—......-^2-.

为42%

这些方法在等差数列和等比数列的推导过程中都有应用,方法还是来源于课本呀！

考点五、求数列的和

数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想

方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不会有太大的改变。数列求和的

常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求•些特殊数列的和，数列求和的基本方法：

1.基本公式法：（1）等差数列求和公式：[=〃（。广）=叼+〃（7）上（2）等比数列求和公式：

na],q-1

S,尸q（l-/）%—a“q"⑶《+C：+C；+…+&=2".

\-q~\-q，q

2.错位相消法：一般适应于数列｛〃/“｝的前〃向求和，其中｛2｝成等差数列，｛〃｝成等比数列。

3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项

再求和.常见的拆项公式有：（1）若｛《｝是公差为d的等差数列，则-----=------------；

《M.+ian+J

（2）。⑶/:/=；（内-甸7:（4）C-=C：+I-C：；

（2〃一++'n+k+7nk'

（5）〃♦加=（〃+1）!—〃！.

5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

【试题演练】

解：设数列的通项为4，则么=-------=--------

几（〃+1）n"+1

・•・Sn=4+2+.......+么=（1_1）+（〈-：）+....+（--77）

223n〃+1

_]1

〃+1n+1

【点评】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项公式分成两项差的形式,

相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.一般地，如果数列｛4｝是公差为d的等差数列，求数列

II

:m卜的前九项和,可根据m="m（'——二）进行求和.

、《，・%+'da„a,I+1

2.求数歹ijl+l,'+4,4+7,二+10,……,-^-+（3n-2）,……的前〃项和

aaaan

当—时，5:=,一支2三交=三三

1-J-

也1叶Ca'Q+一，一5-1上⑴一加

*"1时，窿=—r+--------------7F+—;—

]一±-3-61-

a

【点评】本题用的是分组转化求和法，一般地，如工数列1生；定由等缪列、翱蝴域已知哪的数列㈱的

渊缢的，可用嵯第•注意在应用等比入列的求弋公式时，^对公比分类讨论.

3.求和卬=C：+4C；+7C；+10C；+…+(3〃+1)C：

解：•.•W=C：+4C：+7C；+…+(3〃-2)C；；-'+(3〃+1)C；；①，

=(3〃+1)C：+(3〃-2)C『+(3〃-5)干+…+4C：+C：

卬=(3〃+1)C；+(3〃-2)C：+(3n-5)C,；'-2+…+4C：+C：②，

①+②得2W=(3/z+2)(C：+C\+C：+…+C：)=(3”+2)x2",W=(3〃+2)x2"-'.

【点评】本题用的是倒序相加法，倒序相加法是课本推导等差数列前〃项和的方法，学习过程中应予以重

视.选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应

的变换.题目中=3〃+1,又C；=C；T,.•.而运用倒序相加法方法是比较好的想法。

4.“数列｛%｝的前〃项和为S,,%=1,4.I=2S,(〃wN").(I)求数歹(]｛凡｝的通项七;(II)求数列

｛na„｝的前〃项和北.

解：(1)••・&_1=25".S.』=2$：…亨=3•.£=，：=1数列｛SJ是首项为1,公比为3的等比数

9

：

列：S..=E-V*)当??22时，a..~JS...=J*'(rL2)..,.a..=(‘、'】

-1-1八•2-3.n>2

(2)•.,工：=%+2a：+3生++正公.刍，:=1酎，7j=l；

当，f2?时，Z.=1+4.3:^6.31+-J+4-3l+6.3:++2«3，!-\

.-.-2L=-2+4+2（3】+3：++3一）一3一=-1+（1-2%）3、

二7；=8+5-=）3。％722）,又当，?=1时，上式也成立.二工：=2+6-二）3"1（，”T"）

【点评】本题的求和主要考察了错位相述的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和，这是高考命题

的热点，在复习中务必引起充分的重视.

考点六、数列综合应用

【名师点睛】

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题

也常归结为数列建模问题.

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求当还是求

S,特别要准确地确定项数〃.

3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

数列的综合问题一类是等差、等比数列的综合问题，另一类是与其他章节以及内容结合的综合问题，

因为数列、不等式、解析几何是新课标高考的重点内容，将其密切结合在一起命制综合题是历年高考的热

点和重点。数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及以函数为背景进行数列的构造命题，体现

了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题者的首选。

【试题演练】

1.已知等比数列｛/｝的首项为q=工，公比q满足q>0且qwl。又已知％,5%，9%成等差数列。（1）

求数列｛a,,｝的通项（2）令a=log3?,求证：对于任意〃eN*,都有‘<二一+二一+...+」--U

2姑2b2b3b.bz

(1)解：2•5%=q+9%lOq，=q+9。闷49q4—10如+1=0

A-，:

：q>0fi55=l/.?=-/.a,,=azq-=3

一

(2)证明：,.■5”=log广=log；3’=%,——­-=------=――-—

1

b,._b,,_x?j(«+)nn+1

岫：小区":"：-i22?n>:+ln+l2地：5：与，M：-i

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是工学中的事，思想，本N中的第(2)间，采用裂项相消法法,

求出数列之和，由n的范围证出不等式.

2.已知数列｛%｝的前〃项和为5,，且S”=2a“-2(〃=1,2,3,i),数列电｝中，4=1,点列(々也Q在

直线x—y+2=0上.(1)求数列｛6｝,也,｝的通项a“，bn；(2)若7；为数列｛£｝的前〃项和,证明：

当〃22时，2S“>Tn+3”.

(I)解：由已知S“=2a“-2,S,i=2a,i-2(〃22),又S,,-S,i=%("22)所以，an=2an-2an_i,

所以，巴;_=2(〃z2),即数列｛“"｝是等比数列.因为q=S”，/=24]-2,〃[=2.an=2"

an-l

因为点P(bn,bn+D在直线X—y+2=0上，所以bn—b田+2=0,所以bn“f=2,即数列｛bj是等差数在又,

bi=l,所以2=2"-1

(II)证明：由已知,=2(1-2")=2川一2,.」(1+2"-1)=心即证明不等式2"+2>/+3“+4(〃22),

1—22

(1)当n=2时,2』6,n2+3n+4=14,不等成立.(2)假设当n=k时,不等式成立，BP2k，2>k2+3k+4J&AL,

那么，当11=1<+1时，2*3>2/+6k+8,

以下只须证明21+6及+8*(k+l)2+3伙+1)+4成立，即只须证明k'+kNO成立，因为当k》2时，k2+k>

0成立，所以当n=k+l时，不等式2"+2>/+3"+4成立综合(1)(2),原不等式成立.

【点评】本题综合考察数列中已知前〃项和求通项，等差、等比数列的判断和证明，以及利用数学归纳法

证明相关问题的方法和步骤。

3.在数列141,也,1中，囱=2,34,且a“，bn,成等差数列，bn,an+x,。加成等比数列(〃eN*)

(I)求念，&,以及6，庆,从,由此猜测1%1,121的通项公式，并证明你的结论；

(II)证明：—^―+—5—+…+—-—<—.

a

a1+4〃2+%n+12

解：(I)由条件得2b：=4：+a,：_p与_：=6.也"由此可得

生=65：=9,生=12,5：=16,a4=20,d4=25.

猜测%=，G+1),A=(*+1)J用数学厂纳法证HP.①当；ku寸，由上可得结论成立.

②假设当，?=；：时，结论成立，即a=太(h。，b-.-;,t+l):短>么当；尸；：-1时，

生_1=2d；.-a,-2(^c+l):-k(k+1)=(,.+l)(/c+2),5』=—=(k干2);.所以当；?=<-l时，结论也成

%

立.由①②，可知2：=7?S+1),AS+1):对一产〉三权都成立.

(II)—^―=-<—.；；>2W，由(、知a,+\=9+DU，?+l)>2(，?+l)，].

生+&612

]]…]…]

用+“az+b:生+”：622x33x4，?(n+l)

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进

行归纳、总结、推理、论证等能力.

4.设数列｛4｝满足4=0,4“+|=。端+1—"6'',其中。为实数(I)证明：qe[O,l]对任意〃eN*成

立的充分必要条件是ce[0,1]：(II)设0<c<g,证明：—(3c)"T,neN*;

I2

(HI)设0<c<一,证明：a；+a：H-a~>n+\------,〃eN*

31l-3c

解：(1)必要性：Va,=0,/.a2=l-c,又Va2e[0,l],/.0<l-c<l,B|Jce[0,l]

充分性：设ce[0,l],对〃eN*用数学归纳法证明%e[0,1]当”=1时，a,-0e[0,l].

假设七e[0,l](Z21)则4+]=ca；+1-cWc+l-c=1,且％+|=ca；+l-cNl-c=N0

I.ak+ie[0,1],由数学归纳法知ane[0,1]对所有“eN"成立

(2)设OvcuL当总=1时，a；=0,结论成立当n22时，

C*

a,.=caL+1-G「・1-a..=c(l-+&-i+a：)

•.,OvCv1,由(1)知所以1+?_1+0'£3Pi-a,_.>0

>:nI

W3c(l-a』)/.1-a..<3c(1-a...)<(3：1-a..^^--•<(3c)(l-a1)=(3c)-

；.生"-(3c)ZgZ)

：3)设0ec•」，当，?=1时，a｛=0>2-j,结论成立=，工21时，由(二)知a..>l-(3c)r>i>0

3-Zc

：.a,?>(l-(3c),>l):=1-2(3c)，:-1+(3cV->1-0产

aj+a：+…+a；=a：H---Ha；>>?-12[3c+广：「r-----

=7+1_--------->打+1------

l-3cl-3c

点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。

5.已知函数/(x)=—1+》2—2.(I)设｛4｝是正数组成的数列，前"项和为S,其中d=3.若点

(a“,a：+i—2a“+J(nGN*)在函数片产(x)的图象上，求证：点(〃,S)也在尸，3的图象上；(H)求函

数/Xx)在区间(a~l,a)内的极值.

(I)证明：因为/“)=；》3+》2一2,所以广(x)=V+2x,由点(a“,a3—2a“+1)(〃GN+)在函数尸〃(x)

的图象上，又a,>O(〃eN+),所以(a“_i—a”)(a“+]-a,-2)=0,所以

S“=3〃+也押乂2=〃2+2〃，又因为/'(〃)=/+2〃,所以5“=/'(〃)，故点(n,S“)也在函数

尸=f'(x)的图象上.

(II)解：f\x)-x1+2x-x(x+2),山/'(x)=0,得x=0或x=-2.

当/变化时，/'(X)、/(x)的变化情况如下表：

X(-00,-2)-2(-2,0)0(0.+OO)

f⑺+0-0+

4)/极大值极小值/

注意到|(。-1)一4=1<2,从而

2

①当a-1<-2<a,即-2<a<-1时/(x)的极大值为/(-2)=-§,此时/(%)无极小值;

②当。一1<0<a,即0<a<1时/（x）的极小值为/（0）=-2,此时/（%）无极大值;

③当a4-2或-1<a40或a>1时/（x）既无极大值又无极小值.

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方

法，考查分析问题和解决问题的能力.

6.甲、乙两大型超后，2009年的销售额均为p（2009年为第1年），根据后场分析和预测，甲超市前〃年

的总销售额为+乙超市第〃年的销售额比前一年多台.（I）求甲、乙两超市第〃年的销售

额的表达式；（H）根据甲、乙两超市所在地的后场规律，如果某超后的年销售额不足另一超市的年销售

额的20%,则该超后将被另,•超市收购，试判断哪一个超市将被收购，这个情况将在哪一年出现，试说明

理由