第十三章《轴对称》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

第十三章《轴对称》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．D【分析】根据轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，得到正确选项即可．【详解】解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；②这两个图形的对应线段一定互相平行或在一条直线上，故原说法错误；③两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，故原说法错误；④这两个图形的对应线段一定互相平行或在一条直线上，故原说法错误．正确的有1个．故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握定义与性质是解题关键．2．B【分析】根据垂直平分线的性质可直接进行求解．【详解】解：由到的三个顶点的距离相等的点P应是的三条垂直平分线的交点；故选B．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．3．A【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．【详解】解：∵点，∴点A关于x轴的对称点的坐标是，故选：A．【点睛】此题主要考查坐标的对称，解题的关键是熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．4．A【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【详解】解：∵与点关于轴对称，∴，∴∴，故选：A．【点睛】本题考查了点的对称，正确理解点对称的性质是解题关键．5．B【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．【详解】解：如图所示，以为腰，为顶角，这样的点C的个数有5个，以为腰，为顶角，这样的点C的个数有4个（点B，A，在同一条直线上，不符合题意），综上，满足条件的点C的个数有9个，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意取舍．6．D【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：当时，如图2（1），此时对应的时间为或；当时，如图2（2），此时对应的时间为或；当时，如图2（3），此时对应的时间为或；故选：D．【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．7．C【分析】根据题意知这是动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论．【详解】解：∵直线垂直平分，∴、关于直线对称，令直线交于，如图所示：∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，，且的最小值等于，∴周长的最小值是，故选：C．【点睛】本题考查动点最值问题，涉及到垂直平分线的性质和三角形周长等知识点，确定的最小值是解决问题的关键．8．C【分析】根据平行线的性质可求出．根据角平分线的定义可得出，从而得出，进而可证．最后根据三角形周长公式即可得出．【详解】∵，∴．∵平分，平分，∴，∴，∴．∵，∴．故选C．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的周长公式．证明出和是等腰三角形是解题关键．9．D【分析】连接，，根据对称性质，得到===3，根据三角形三边关系定理，判定，选择即可．【详解】如图，连接，，根据对称性质，得到===3，根据三角形三边关系定理，所以，故选D．【点睛】本题考查了对称的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性质，三角形两边之和大于第三边是解题的关键．10．C【分析】对于①，根据等边三角形的性质，得，，然后利用“边角边”定理，证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对①作出判断；对于②，根据全等三角形对应角相等，得，求出，利用三角形的内角和定理，求出的度数，可对②作出判断；对于③，由，计算得出的度数，结合，，判断三个内角的大小关系，结合等腰三角形的判定方法，即可对③作出判断；对于④，根据，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得到与的数量关系，据此可对④作出判断．【详解】解：为等边三角形，，．在和中，，，，①正确．，，．，，②正确．．又，，的三个内角均不相等，不是等腰三角形，③错误．，，，，，④正确．综上所述，正确的结论有①②④，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．11．3【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．12．10°或100°【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点即为所求；在中，，，，由作图可知：，，；由作图可知：，，，，．综上所述：的度数是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．13．##128度【分析】先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据邻补角的定义可得，最后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案．【详解】解：四边形是长方形，，由折叠的性质得：，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．14．8【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，过点P作于点E，如图所示：∴，∴，∴当取最小时，即为最小，∴当点B、P、E三点共线时最小，如图所示：∴，∴，，∵，∴；故答案为：8．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15．160°【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．【详解】作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为周长最小值，故答案为：160°．【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．16．12【分析】在射线BC上取一点，使得．过点A作AH⊥BC于H．证明，推出AF+FE=AF+，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：在射线BC上取一点，使得．过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AHAC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝，∵，BF＝BF，∴△FBE≌△（SAS），∴，∴AF＋FE＝AF＋，根据垂线段最短可知，当A，F，共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小，最小值＝12，故答案为12．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，角平分线的定义，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．17．①②③④⑤【分析】由等边三角形的性质即可判定①②③正确；由②与③可以证明，由全等三角形的性质可得④正确；由③的结论及三角形内角和可判定⑤正确．【详解】、均为正三角形，，；，，，，故①正确；，故②正确；，，，，，故③正确；，，，，，，故④正确；设与交于点，如图所示，，，故⑤正确；综上，①②③④⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定及三角形内角和定理等知识，其中证明三角形全等是问题的关键．18．见解析【分析】利用两点之间线段最短得出答案．【详解】解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．【点睛】此题考查最短路径问题.求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．19．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）直接利用AAS证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到即可证明垂直平分．【详解】（1）解：∵平分，，，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∴垂直平分．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．20．(1)见解析(2)9【分析】（1）利用证明，即可推出；（2）先证是等边三角形，推出，再利用含角直角三角形的性质得出，进而求出，根据可得，进而可证是边长为3的等边三角形，即可求出的周长．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∵为边的中点，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：如图，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，即的周长是9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是证明和是等边三角形．21．(1)见解析(2)75°【分析】（1）根据直接证明△ABE≌△ACD；（2）根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角和求得，根据全等三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD．（2）在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∵∠CBE＝30°，∵△ABE≌△ACD．∴∠ADC＝∠BEA＝75°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．22．(1)；(2)成立，见解析．【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，证明解答即可；（2）同（1）方法进行证明即可求解．【详解】（1），证明如下∶∵是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，即．在与中，∴，∴．（2），证明如下∶∵是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，即．在与中，∴，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的角进行等效转换是解答本题的关键．23．(1)证明见解析；(2)；(3)1．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）设cm，cm，，，根据全等三角形的性质即可