第06讲 与圆有关的计算（3大考点）（解析版）

第06讲与圆有关的计算（3大考点）考点考点考向一、正多边形的相关计算1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决．二、弧长的计算在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝eq\f(nπR,180)．三、与扇形有关的面积计算在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR.考点考点精讲一．正多边形和圆（共5小题）1．（2022•鄞州区一模）如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（）A．S1+S2＝2S3 B．S1+S4＝S3 C．S2+S4＝2S3 D．S1+S5＝S3【分析】正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，由此即可判断．【解答】解：正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，∴S3＝S1+S4＝S2+S5，故选：B．【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2021秋•新昌县期末）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（）A． B． C．24 D．【分析】根据正六边形的性质即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于C，根据图形可知：∠OCB＝90°，∠OBA＝30°，圆的半径OB＝4，∴OC＝2，∴BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴图中阴影部分的周长＝6×4＝24．故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．3．（2022•金东区三模）如图，正五边形ABCDE和正方形AFGH内接于圆O，连结EF交AH于点M，则∠AME的度数为126°．【分析】根据正五边形ABCDE和正方形AFGH内接于圆O求出∠AEF＝45°，∠HAE＝9°，再根据三角形内角和解答即可．【解答】解：∵正方形AFGH内接于圆O，∴∠AOF＝∠AOH＝90°，∴∠AEF＝45°，∵OA＝OH，∴∠OAH＝45°，∵正五边形ABCDE内接于圆O，∴∠AOE＝72°，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE＝54°，∴∠HAE＝54°﹣45°＝9°，∴∠AME＝180°﹣∠MEA﹣∠MAE＝126°，故答案为：126°．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．4．（2022•金东区一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，当△ABC是直角三角形时，点C的个数为10．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置．【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述当△ABC是直角三角形时，点C的个数为10个．故答案为：10．【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．5．（2020秋•武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．【分析】（1）欲证明AE＝DE，只要证明＝．（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵E是的中点，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AE＝DE．（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，∵∠EDF＝90°，∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝DF，∵∠AED＝∠AOD＝45°，∴∠AED＝∠F＝45°，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形AECD＝S△DEF，∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，∴1+DE＝DE，∴DE＝+1，∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．弧长的计算（共11小题）6．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．【点评】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．7．（2022•西湖区校级二模）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（）A．2π B．4π C．6π D．8π【分析】根据弧长的计算方法进行计算即可．【解答】解：由弧长公式可知，l＝＝4π，故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的关键．8．（2022•鄞州区校级开学）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为．【分析】连接AE、AC、AD，由∠ABC＝90°，可知AC是直径且值为，可知∠AEC＝90°，根据勾股定理逆定理可判断出△ACD是等腰直角三角形，求出∠ACE＝∠CAE＝45°，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可．【解答】解：如图所示：连接AE、AC、AD，∵∠ABC＝90°，∴AC是直径，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，根据网格图形可知：，，∴AC2+AD2＝CD2＝26，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，∴∠EAC＝45°，∴所对的圆心角是90°，∴的长为以AC为直径的圆周长的，即．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键．9．（2022•金华模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为18cm，则此扇形的弧长为6πcm．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得：l＝＝6πcm，故答案为：6π．【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟记弧长公式l＝是解题的关键．10．（2022•柯城区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是（1，9），点A2022的坐标是（0，﹣2022）．【分析】根据题意分别写出A1…A8的坐标，根据规律解答．【解答】解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n＝（1，4n+1），A4n+1＝（4n+2，0），A4n+2＝（0，﹣（4n+2）），A4n+3＝（﹣（4n+3），1）．∵2022＝505×4+2，∴A2022的坐标为（0，﹣2022）．故答案为：（1，9），（0，﹣2022）．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，根据题意找出“A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）”这一规律，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．11．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，△ABC中，CA＝CB，以AB为直径的⊙O分别交CA，CB于点D，E．（1）求证：＝；（2）若∠C＝50°，半径OA＝3，求的长．【分析】（1）由CA＝CB，推出∠A＝∠B，推出＝，可得结论；（2）求出圆心角∠DOE＝80°，再利用弧长公式求解．【解答】（1）证明：∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）解：∵CA＝CB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠C）＝65°，∵OA＝OD＝OB＝OE，∴∠ADO＝∠A＝65°，∠B＝∠OEB＝65°．∴∠AOD＝∠EOB＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠DOE＝180°﹣2×50°＝80°，∴的长＝＝π．【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，记住弧长公式l＝．12．（2021秋•长兴县月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E＝∠F．（1）求证：AC是直径；（2）若⊙O的半径为1，∠E＝40°，求的长度．【分析】（1）连接AC，根据已知条件得到∠ADC＝∠ABC，推出∠ADC＝∠ABC＝90°，根据圆周角定理得到AC是直径；（2）连接OB，OD，根据三角形的内角和定理得到∠EAB＝50°，求得∠DOB＝2∠EAB＝100°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AC，∵∠E＝∠F，∠ADC＝180°﹣∠DAF﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠E，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴AC是直径；（2）解：连接OB，OD，∵∠E＝40°，∴∠EAB＝50°，∴∠DOB＝2∠EAB＝100°，∵⊙O的半径为1，∴的长度＝＝．【点评】本题考查了弧长公式：弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了圆内接四边形的性质．13．（2021秋•淳安县期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E．（1）求证：BD＝DC；（2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧BE的长．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）连接OE，根据圆周角定理求出∠BOE＝80°，然后根据弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB，∴BD＝CD，（2）解：连接OE，∵∠BAC＝40°，∴∠BOE＝80°，∵AB＝8，∴OB＝4，∴弧BE的长为：＝π．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．14．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD．（1）求证：∠A＝∠D；（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求的长．【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到＝，进而得出＝，根据圆周角定理证明即可；（2）连接OC、OD，根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵AC＝BD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠D；（2）连接OC、OD，∵AC⊥BD，∠A＝∠D，∴∠A＝45°，由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，∴的长＝＝3π．【点评】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．15．（2021秋•鄞州区期中）如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．（1）求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，求的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠AOD＝50°，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质可求出∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，由圆周角定理可得答案；（2）根据弧长公式进行计算即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝65°，∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵OD∥BC，OB＝OC，∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°；（2）由AB＝4可得半径为2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，因此的长为＝．【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的前提．16．（2021秋•上城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．【分析】（1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ACB，进而求出答案；（2）根据弧长的计算公式进行计算即可．【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下：如图，连接OD，∵OA＝OB，BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠ACB＝∠ODB，又∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，∴∠BOD＝∠BAC＝45°，由AB＝8，可得半径为4，所以的长为＝π．【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理，掌握弧长的计算公式，圆周角定理以及平行线的性质是正确解答的前提．三．扇形面积的计算（共13小题）17．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2【分析】直接根据图形中外围面积和可得结论．【解答】解：如图，该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π＝（840+9π）m2．故选：B．【点评】本题考查了矩形和扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．18．（2022•上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（）A．4 B．2 C．4π D．2π【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．【解答】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，＝12π，解得l＝4π，故选：C．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．19．（2022•鄞州区一模）如图，⊙O的半径为6，直径AB垂直平分圆内的线段CD，∠CAO＝30°，OC＝3，以点O为圆心OC为半径画扇形，则以下说法正确的是（）A．∠COD是120° B．线段AD的长为6+ C．的长是5π D．阴影部分的面积是7.5π【分析】过点O作OH⊥AC于H，根据直角三角形的性质求出CH＝3，AH＝3，AC＝3+3，可得∠OCH＝45°，∠OCD＝15°，可得出AD＝AC＝3+3，∠OCD＝∠ODC＝15°，即可得∠COD＝150°，再根据弧长公式和扇形面积公式即可解答．【解答】解：过点O作OH⊥AC于H，∵∠CAO＝30°，OC＝3，⊙O的半径为6，∴OH＝AO＝3，∠ACD＝60°，∴CH＝＝＝3，AH＝3，∴OH＝CH，AC＝3+3，∴∠OCH＝45°，∴∠OCD＝15°，∵直径AB垂直平分圆内的线段CD，∴OC＝OD，AD＝AC＝3+3，故B错误，不合题意；∴∠OCD＝∠ODC＝15°，∴∠COD＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故A错误，不合题意；∴的长是：＝π，故C错误，不合题意；阴影部分的面积是：×π×3＝7.5π，故D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，弧长和扇形的面积计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键．20．（2022•上城区一模）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14π B．7π C． D．2π【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．21．（2022•鹿城区校级三模）已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为cm2．【分析】根据扇形的面积公式s＝lr，求解即可．【解答】解：扇形的面积＝××2＝（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S＝lr＝．22．（2022•嘉兴一模）弧度是表示角度大小的一种单位，我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度角，记作1rad．若圆半径r＝2，圆心角α＝2rad，则圆心角为α的扇形面积是4．【分析】利用扇形的面积公式：S＝lr即可得解．【解答】解：∵圆半径r＝2，圆心角α＝2rad，∴扇形的弧长为4，∴扇形的面积为S＝lr＝×4×2＝4．故答案为：4，【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，属于基本知识的考查，23．（2022•温州模拟）若扇形的圆心角为100°，半径为6，则该扇形的面积为10π．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：由题意得，n＝100°，r＝6，故可得扇形的面积S＝＝＝10π．故答案为：10π．【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．24．（2022•瑞安市一模）已知扇形的面积为4π，圆心角为90°，则它的半径为4．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：设扇形的半径为R．则有＝4π，∴R＝4（负根已经舍去），故答案为：4．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形面积S＝．25．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD＝的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠ACD＝∠DBA，又∵∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，∴CD∥AB．（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴S扇形BOD＝．在Rt△ODE中，∵DE＝cos30°OD＝＝，∴S△BOD＝＝＝，∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．∴S阴影＝．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．26．（2021秋•开化县期末）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度数．（2）求出CE的长度．（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，由∠AOC＝60°，求得∠A＝30°，即可得到OE＝OA＝OC，即可求得CE＝＝2；（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；（2）∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴OE＝OA，∴CE＝OC＝＝2；（3）连接OD，∵∠CBD＝∠OBC＝30°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝π﹣4．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．27．（2021秋•余姚市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．（1）求证：点D是的中点．（2）若AC＝OD＝6，求阴影部分（弓形AC）的面积．【分析】（1）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据平行线的性质得出∠OEB＝∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理得出即可；（2）连接OC，过O作OF⊥AC于F，根据等边三角形的判定得出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOC＝60°，解直角三角形求出OF，再分别求出扇形AOC和△AOC的面积即可．【解答】（1）证明：连接BC交OD于E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC∥OD，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，即OD⊥BC，∵OD过圆心O，∴＝，即点D是的中点；（2）解：连接OC，过O作OF⊥AC于F，∵AC＝OD＝6，∴OC＝OA＝AC＝6，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OA，OF⊥AC，∴∠COF＝AOC＝30°，∴CF＝OC＝＝3，由勾股定理得：OF＝＝＝3，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣＝6π﹣9．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记垂径定理和扇形的面积公式是解此题的关键．28．（2022•南安市一模）如图：在平面直角坐标系中，已知⊙M经过坐标原点，与x轴，y轴分别交于A、B两点，点B的坐标为（0，2），OC与⊙M相交于点C，且∠OCA＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】从图中明确S阴＝S半﹣S△，然后依公式计算即可．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，连接AB，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，由题意知，OB＝2，∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4即圆的半径为2，∴阴影部分的面积等于半圆的面积减去△ABO的面积，S阴＝S半﹣S△＝﹣×2×2＝2π﹣2．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，利用了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．29．（2021•婺城区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若AB＝4，AC＝2，求：（1）弦CD的长度；（2）弧BC的长；（3）弓形CBD的面积．【分析】（1）连接CB，AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°；解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形得到CP＝AC＝，根据垂径定理即可得到结论；（3）连接CO，OD，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，求得S扇形COD＝＝π，S△COD＝CD•OP＝，于是得到结论．【解答】解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∴CB2＝AB2﹣AC2＝42﹣（2√3）2＝16﹣12＝4，∴CB＝2＝AB，∴∠A＝30°，∵CD⊥AB，∴CP＝AC＝，∴CD＝2CP＝2；（2）连接OC．∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴的长＝＝；（3）连接CO，OD，∵CO＝AO，∴∠A＝∠ACO＝30°，∠COB＝2∠A＝60°，∴∠COD＝120°，∴S扇形COD＝＝π，∵OP＝OC＝1，∴S△COD＝CD•OP＝，∴弓形CBD的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝π﹣．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及扇形的面积的计算，注意掌握数形结合思想的应用．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·浙江杭州·九年级期中）半径为6，圆心角为的扇形面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：扇形的面积==6π，故选B．【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．2．（2021·浙江温州市·九年级期末）已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据扇形的面积公式直接求解即可．【详解】解：由扇形的面积公式可得，这个扇形的面积为故选B【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．3．（2020·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．2π C．4 D．4π【答案】D【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝＝4π，故选：D．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S＝．4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆 D．正n边形的中心角等于【答案】A【分析】根据垂径定理、圆内接四边形的性质、正多边形的性质分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项A符合题意；B、∵圆内接四边形的对角互补，∴选项B不符合题意；C、∵任意三角形都有一个外接圆，∴选项C不符合题意；D、∵正n边形的中心角等于，∴选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、圆内接四边形的性质等知识；熟记有关性质是解题的关键．5．（2021·浙江九年级期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据正多边形的中心角=计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意=72°，∴n=5，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=．6．（2021·浙江金华市·）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项．【详解】解：由题意得：∠BAC=45°，∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形，若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可，∴；故选B．【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．7．（2021·浙江九年级期末）已知，正六边形的边长为2，则的长为（）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】连接，交于点，先根据正六边形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：如图，连接，交于点，正六边形的边长为2，，是等边三角形，，同理可得：，，故选：C．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．8．（2021·浙江浙江省·九年级期末）如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设正六边形的边长为a，MN是△PCD的中位线，求出△PBM和△PCD的面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a，连接AC交BE于H点，如下图所示：正六边形六边均相等，且每个内角为120°，∴△ABC为30°，30°，120°等腰三角形，∴BE⊥AC，且，且，∵AF∥CD，P为AF上一点，∴，MN为△PCD的中位线，∴，由正六边形的对称性可知：，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．二、填空题9．（2021·浙江）圆心角为120°，半径为4的扇形的面积是__________________．【答案】π【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：由题意得，n＝120°，R＝4，故可得扇形的面积S＝＝＝π．故答案为：π．【点睛】此题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．10．（2021·浙江温州市·九年级期末）如图，在的内接正六边形中，______°．【答案】【分析】首先求出正六边形的内角和，然后根据正六边形每个内角都相等即可求出的度数．【详解】解：∵多边形是正六边形，∴正六边形的内角和为，∴正六边形的每个内角度数为．∴．故答案为：．【点睛】此题考查了正六边形的内角度数，解题的关键是熟知多边形内角和公式．多边形内角和=．11．（2021·浙江九年级）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．【答案】【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm，∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2，故答案为：．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．12．（2020·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，则弧BC的长为___cm．【答案】【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．【详解】解：弧BC的长为故答案为．【点睛】考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．13．（2021·浙江九年级期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为___．【答案】【分析】连接、，得到为等边三角形，求得扇形的面积减去的面积即可．【详解】解：连接、，如下图：∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB∴，，∴又∵AE⊥BC，AE经过圆心O∴∴∴为等边三角形∴，∴∴在中，，，∴由勾股定理得故答案为：【点睛】此题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积计算，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．14．（2020·浙江杭州·）请判断：①任意三点可以确定一个圆：②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤每个内角都是的六边形是正六边形，⑥圆内接平行四边形是矩形；以上其中正确的结论是_______．【答案】④⑤⑥【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆的有关定义及性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①不在同一直线上的任意三点可以确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；④同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；⑤每个内角都是120°的六边形是正六边形，正确，符合题意；⑥因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；故圆的内接平行四边形是矩形正确，此选项正确，符合题意；正确的有④⑤⑥，故答案为：④⑤⑥．【点睛】此题主要考查了确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，熟练利用相关知识是解题关键．15．（2020·浙江温州·九年级期末）如图，已知点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________．【答案】12【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=30°，于是得到结论．【详解】解：连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB=15°，∴∠AOB=2∠ADB=30°，∴这个正多边形的边数==12，故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．16．（2021·浙江九年级）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在弧AB上，连接EF、BE．若AF的长是，当线段EF的值最小时图中阴影部分的面积是___．【答案】【分析】连接OF，令弧AF所对圆心角为，根据弧长公式即可求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得OE的值，从而得出E在以O为圆心，1为半径的圆上，得出EF的值；过点E作于点M，在直角三角形OEM中即可得出EM的值，最后根据S阴影=S扇形OBF-S△BOE及扇形公式即可得出答案．【详解】解：连接OF，令弧AF所对圆心角为，E为CD中点E在以O为圆心，1为半径的圆上，OF与CD交点即为所求E点此时EF最短，EF=OF-OE=1过点E作于点M，S阴影=S扇形OBF-S△BOE故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式、直角三角形斜边上的中线定理，熟练掌握弧长公式并灵活运用是解题的关键．17．（2021·浙江杭州·）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点P是边上任意一点，以点C为旋转中心．把按逆时针方向旋转，则在旋转过程中，点P运动的最短路径长为_________．【答案】【分析】画出旋转图形，求出△ABC的三边，根据垂线段最短，判断出CP⊥AB时，点P的运动路径最短，求出此时CP的长，再利用弧长公式计算．【详解】解：画出旋转图形如图：∵AC2=32+32=18，BC2=42+42=32，AB2=72+12=50，而点P是AB边上任意一点，∴当CP⊥AB时，点P的运动路径最短，此时CP===，∴点P的最短运动路径为=，故答案为：．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，求弧长，垂线段最短，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．三、解答题18．（2021·浙江杭州·九年级期末）根据题意求各图中阴影部分的面积．（1）如图1，在中，，，以A为顶点，为半径画弧，交于D点．（2）如图2，已知扇形的圆心角为，半径为2．（3）如图3，是的直径，弦，，．（4）如图4，半径为，圆心角为的扇形中、分别以、为直径作半圆．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）cm2【分析】（1）阴影部分的面积等于三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．（2）阴影部分的面积等于扇形的面积-三角形的面积，根据面积公式计算即可．（3）首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．（4）假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q面积相等．连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出M部分的面积=S△AOD，利用阴影部分Q的面积为：S扇形AOB-S半圆-SM，故可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠A=45°，∴阴影部分的面积==；（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵∠AOB=60°，OA=OB=2，∴△OAB为等边三角形，∴AB=2，∴AC=BC=1，OC=，∴阴影部分的面积==；（3）如图，记交于∵∠COB=2∠CDB=60°，又∵CD⊥AB，∴∠OCE=30°，CE=DE=，∴OE=OC=OB=，∴OE=BE，则在△OEC和△BED中，，∴△OEC≌△BED（SAS），∴阴影部分的面积=扇形OCB的面积=（4）设整个图形分割成P，Q，M，M四个部分，面积分别为SP，SQ，SM，SM．∵扇形OAB的圆心角为90°，扇形半径为2，∴扇形面积为（cm2），半圆面积为：（cm2），∴SQ+SM=SM+SP=（cm2），∴SQ=SP，连接AB，OD，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴SM=S△AOD=×2×1=1（cm2），∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB-S半圆-SM=（cm2）．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟知三角形及扇形的面积公式是解答此题的关键．19．（2021·浙江杭州·九年级期中）已知：如图，D是外接圆上一点，且满足，连接．（1）求证：是的外角的平分线．（2）若，求劣弧的长度．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质得∠EAD=∠DCB，再根据弦相等得圆周角相等、等弧所对圆周角相等即可得证．