2008年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2008年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题5.综合题6.证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设函数在x=0处连续，则常数a与b的值为()．A．a=0b=一3B．a=一3b=0C．a=0b=3D．正确答案：A解析：由题意可知，函数y=f(x)在x=0处连续，又因则3+b一0=f(0)=a，所以a=0，b=一3．2．当x→0时，函数eax一1与是等价无穷小量，则常数a的值为()．A．2B．C．一2D．正确答案：B解析：3．设函数f(x)的一个原函数为e-x，则不定积分等于()．A．lnlnx+CB．x+CC．D．正确答案：D解析：由题意可知，函数f(x)的一个原函数为e-x，4．在空间直角坐标系中，平面π1：2x+y+z+7=0与平面π：x+2y—z+4=0的夹角为()．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意可得，平面π1的法向量n1={2，1，1}，平面π2的法向量n2={1，2，一1}，5．设积分区域D是由直线y=x，y=0及所围成的闭区域，则二重积的值为()．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：如图所示，积分区域D可表示为填空题6．设函数F(x)的定义域为[-1，1]，则函数g(x)=f(x+1)+f(sinx)的定义域为__________．正确答案：[-2，0]解析：由函数f(x)的定义域为[一1，1]，则解之得一2≤x≤0，所以函数的定义域为[一2，0]．7．设函数f(x)在x=1处可导，，则f’(1)的值为________．正确答案：4解析：由题意可得，则f’(1)=4．8．函数f(x)=x4一2x2在[0，2]上的最小值为__________．正确答案：一1解析：由函数f(x)=x4—2x2，则f’(x)=4x3一4x，当0＜x＜1时，f’(x)＜0，则函数f(x)=x4—2x2单调减少；当1＜x＜2时，f’(x)＞0，则函数f(x)=x4一2x2单调增加，所以函数f(x)=x4一2x2的最小值为f(1)=一1．9．设函数f(x)=x—∫0e1xrf(x)dx，则∫01exf(x)dx的值为__________．正确答案：e一1解析：10．设由方程ex一xyz=1所确定的隐函数为z=z(x，y)，则=________．正确答案：解析：令F(x，y，z)=ez一xyz一1，则Fz=ez一xy，Fx=一yz，所以综合题11．求极限正确答案：12．设由参数方程,所确定的函数为y=y(x)，求正确答案：13．已知∫xf(x)dx=arcsinx+C，求正确答案：原方程两边对x求导数，得14．计算定积分正确答案：15．设函数其中f，δ具有二阶连续导数，求正确答案：16．求函数f(x，y，z)=xy2+yz2+zx2在点(1，1，0)处的梯度．正确答案：17．计算二重积分，其中区域D是由直线y=x，y=0及曲线x2+y2=4围成第一象限的部分．正确答案：18．计算对坐标的曲线部分I=∮L[xln(x+y)一4y]dx+[x-yln(x+y)一ey]dy其中L是以点A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)为顶点的三角形闭区域的正向边界曲线.正确答案：设D是三角形区域，如图P=xln(x+y)一4y，Q=x—yln(x+y)一ey由格林公式，得19．求微分方程y’’一2y’一3y=3e2x的通解．正确答案：齐次方程所对应的特征方程为r2一2r一3=0，即(r一3)(r+1)=0特征根为r1=3，r2=一1对应的齐次方程的通解为Y(x)=C1e3x+C2e-x令y*(x)一Ae2x，则y*=2Ae2x，y*=4Ae2x，代入原方程并消去e2x，得4A一4A一3A=3解得A=一1所以y*(x)=一e2x从而微分方程通解为y(x)=C1e3x+C2e-x一e2x．20．求幂级数的收敛域及和函数，并求级数的和．正确答案：证明题21．计算抛物面z=4一x2一y2与平面z=0围成立体的体积．正确答案：立体在xOy面的投影区域为D={(x，y)｜x2+y2≤4}所以，所求立体体积为22．设函数f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(0)=f(1)=0，又F(x)=x2f(x)，证明：至少有一点ε∈(0，1)，使得F’’(ε)=0．正确答案：由条件知，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，并且F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知，至少存在一点η∈(0，1)使F’(η)=0又F’(x)=2xf(x)