第2讲-空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)VIP

第2讲空间向量基本定理、坐标运算及应用一[玩前必备]1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？【名师提醒】不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；(5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1,y2＝λy1,z2＝λz1))，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)＝eq\f(z2,z1)．(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．5.直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0【玩转典例】考点一基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（）A． B．C． D．空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底中基向量与基底基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A． B．C． D．考点二基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．2．（2020·陕西新城。西安中学高二期中）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．考点三坐标的运算【例3】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设，向量，，则（）A． B． C．3 D．4（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（）A． B．或 C． D．或【例4】（2020·全国高二课时练习）已知.（1）若，分别求λ与m的值；（2）若，且与垂直，求.【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量平行的向量是（）A． B．C． D．2．（2020·全国高二课时练习）已知向量，，若，则k的值等于（）A．1 B． C． D．3.（2020·济南模拟）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；(3)设|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c.考点四平面的法向量【例5】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．1.利用待定系数法求平面法向量的步骤1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))(3)列方程组：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程组(4)解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0.))(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)(6)得结论：得到平面的一个法向量2.求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0【玩转跟踪】1．（2020年广东惠州）正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．考点五空间向量证明平行【例6】（2020年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.（2）证明平面EFG∥平面PBC线线平行线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题【一玩转跟踪】1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.考法六空间向量证垂直【例7】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；②证明两平面的法向量垂直【玩转跟踪】1．（2020·浙江高三其他）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（）A． B． C．与相交但不垂直 D．2．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是()A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角3．（2020·江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题（1）求证：（2）求证平面．【玩转练习】1.若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是

A. B. C. D.2.（2020•菏泽期末）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则A． B．1 C． D．23．（2020•安徽期末）空间直角坐标系中，点，，关于点，2，的对称点的坐标为A．，1， B．，5， C．，， D．，3，4.（2020•阳泉期末）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于A． B． C． D．5．（2020•烟台期末）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为

A. B. C. D.6.（多选）（2020•南通期末）设，，是空间一个基底A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底7.（多选）（2020•三明期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5，8.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．9．（2020•黄浦区校级月考）已知向量，则10．（2020•福建期中）已知空间三点，2，，，1，，，0，（1）求向量的夹角的余弦值，（2）若向量垂直，求实数的值．11．（2020·内蒙古集