第24章 圆（解析版）

2022-2023学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练第24章《圆》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角

1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

细节剖析：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

细节剖析：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

细节剖析：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.

细节剖析：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

.

(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含

(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.

(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.

(5)和有两个公共点相交.

知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.细节剖析：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

知识点04：圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.细节剖析：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.考点提优练考点提优练考点01：垂径定理1．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（）A．36 B．24 C．18 D．72解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四边形ACBD的面积＝．故选：A．2．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为2．解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．∵CH是直径，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠CDB＝∠DBH，∴＝，∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根据勾股定理CH＝＝2，故答案为2．3．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为4．解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI＝OP＝＝2，由勾股定理得：DI＝＝＝2，∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝2，即CD＝DI+CI＝4，故答案为：4．4．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．5．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．6．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，在Rt△OEM中，∵OE＝4，∴，，∵，∴，∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．7．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A． B．2m C． D．3m解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴该拱门的半径为m，故选：A．考点02：圆周角定理8．（2022•梁子湖区二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AO⊥BC于点E，若∠BDC＝150°，AE长为2+，则弦BC的长为（）A．2 B． C．2 D．4解：连接AB、AC、OB、OC，∵∠BDC＝150°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∵AO⊥BC，∴OB＝OC＝BC，BE＝CE＝BC，∠BOE＝30°，设⊙O的半径为r，∴BE＝CE＝r，OB＝r，OD＝r，∵AE长为2+，∴r+r＝2+，∴r＝2．故选：A．9．（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26° B．38° C．52° D．64°解：连接OC，∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，∴，∴∠COB＝∠BOD，∵∠A＝26°，∴∠COB＝2∠A＝52°，∴∠BOD＝52°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．故选：B．10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝15°．解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，∵BC＝BD，∴∠C＝∠BCDC＝25°，∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，∵ED是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，故答案为：15°．11．（2022•宜兴市校级二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点C（x，y）为平面内一动点，以AC为直径作⊙E，若过点且平行于x轴的直线被⊙E所截的弦GH长为．则y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+4x；经过点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）与点C运动形成的图象交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图象的最高点，若△ADF的面积是△ABF面积的3倍，则k＝﹣2．解：∵点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（x，y），∴点E的坐标为（，），过点E作EM⊥GH于点M，连接EH，∴MH＝GH＝．∵点M在过点（0，）且平行于x轴的直线上，∴EM＝﹣＝，∵AC＝，∴EC＝EH＝AC＝，在Rt△EMH中，EH2＝EM2+MH2，即（＝）2＝（）2+（）2，整理得x2﹣4x+y＝0，即y＝﹣x2+4x，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x，故点C的运动轨迹为y＝﹣x2+4x，如图，过点B作BR⊥FA于点F，过点D作DN⊥FA于点N．设点B，D的横坐标分别为x1，x2，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴点F的坐标为（2，4），∵△ADF的面积是△ABF面积的3倍，即DN＝3BR，∴x2﹣2＝3（2﹣x1），整理得3x1+x2＝8，联立，解得，代入3x1+x2＝8，解得k＝﹣2或2（舍去）．故答案为：y＝﹣x2+4x；﹣2．12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，AB为半圆O的直径，CD＝AB＝2，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，∵CD＝AB，∴CD＝OC＝OD，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD＝∠COD＝30°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵E为CB的中点，∴OE⊥BC，∵F为弧AC的中点，∴OF⊥AC，CH＝AH，∴四边形OECH为矩形，∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝AC，设CE＝x，则BE＝x，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，∴AC＝CE＝x，在Rt△ACB中，（x）2+（2x）2＝（4）2，解得x＝4，∴AC＝4，∴OE＝2，在Rt△OEF中，EF＝＝＝2．13．（2022•西安模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC．（1）求证：BF∥CD．（2）当AD+CD＝5时，求线段BD的长．解：（1）∵AB＝BC，∴，∵∠ADC＝90°．∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵CF⊥BD，∴∠DCF＝45°，又∠F＝∠BDC＝45°，∴∠F＝∠DCF＝45°，∴BF∥CD；（2）如图：延长AD至点N，使得DN＝DC，连接NC，∵∠ADC＝90°，DN＝DC，∴∠N＝∠DCN＝45°，∴sinN＝，∵AD+CD＝5，∴AD+DN＝AN＝5，∴∠N＝∠BDC，∵∠DAC＝∠DBC，∴△NAC∽△DBC，∴，∴，解得：BD＝5，∴线段BD的长为5．考点03：切线的判定与性质14．（2022•社旗县一模）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A． B．或 C． D．或解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴，即，∴AP＝，∴OP＝或OP＝，∴P（﹣，0）或P（﹣，0），故选：B．15．（2022•新河县二模）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（）秒时相切．A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，∵开始时O点到AB的距离为7，∴当圆向右移动7﹣1或7+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，∴t＝＝3（s）或t＝＝4（s），即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切．故选：C．16．（2021秋•海州区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．6﹣ B．4 C．5 D．3解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′CD′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OE＝3，∴CH＝B′C﹣B′H＝1，∴CG＝B′E＝OH＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故选：B．17．（2022•晋江市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为（1，﹣1）．解：如图：过点B作BM⊥OA，垂足为M，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，则AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵点A（2，0），∴OA＝2，∵点B是直线y＝﹣x上的一个动点，∴设点B的坐标为（m，﹣m），∴OM＝BM＝m，∴∠MOB＝45°，∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝OB，∵BM⊥OA，∴OM＝AM＝OA，∴BM＝OA＝1，∴OM＝BM＝1，∴点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．18．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为2；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为或10﹣6．解：如图，⊙O与AD相切，连接OD，连接CO并延长CO交BD于点F，∵点O到AD的距离等于⊙O的半径，且OD是⊙O的半径，∴OD就是点O到AD的距离，∴AD⊥OD，∴∠ODA＝90°，∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠OFD＝90°，∴OF＝OD＝OC，DF＝OD•sin60°＝OD＝OC，∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为2；如图，点O在CD边上，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥OC，∴⊙O与BC相切于点C，∵AD＝CD＝2，∴OC＝OD＝CD＝×2＝，∴⊙O的半径为．如图，⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，∴四边形OGAL是矩形，∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，∴DL＝2﹣r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CH＝CD＝，∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，∴四边形MKHC是矩形，∴KM＝CH＝，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，∴＝sin∠KBM＝sin60°＝，∴，∴BK＝2，∵KH∥BC，∴∠OKG＝∠ABC＝60°，∵∠OGK＝90°，∴＝tan∠OKG＝tan60°＝，∴KG＝OG＝r，∴OL＝AG＝6﹣2﹣r＝4﹣r，∵∠OLD＝90°，∴OL2+DL2＝OD2，∴（4﹣r）2+（2﹣r）2＝r2，整理得r2﹣20r+84＝0，解得r＝10﹣6，r＝10+6（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为10﹣6，综上所述，⊙O的半径为或10+6，故答案为：2；或10﹣6．19．（2021秋•南皮县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是边BC上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．（1）当BP＝3时，点C在⊙P上；（填“上“内“或“外“）（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．解：（1）∵正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，∴BM＝AB＝4，∠B＝90°，∵PB＝3，BC＝8，∴PC＝5，∵PM＝＝＝5，∴PM＝PC，∴点C在⊙P上，故答案为：上；（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，设PC＝PM＝x，在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2，当⊙P与边AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4．综上所述，BP的长为3或4，故答案为：3或4．20．（2022•五华区校级模拟）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．（1）证明：连接OC，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠ACD＝2∠A，∴∠ACD＝2∠ACO，∴∠ACO＝∠DCO，∴∠A＝∠DCO，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠DCO，∴OC∥DE，∴∠E+∠OCE＝180°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠D＝∠A＝∠ACO，∴∠D＝∠BCE，又∠BEC＝∠CED＝90°，∴△BCE∽△CDE，∵＝＝2，∴BC＝CE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵OC∥ED，∴∠OCB＝∠CBE，∴∠CBE＝∠OBC，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴＝＝，∵AC＝4，∴AB＝2，∴OA＝，即⊙O的半径为．21．（2022•金水区校级模拟）如图，AE是半圆O的直径，D是半圆O上不同于A，E的一点，作∠FAD＝∠DAE，过点D作DC⊥AF于点C，CD的延长线与AE的延长线相交于点B．（1）求证：CD是半圆O所在圆的切线；（2）若，AC＝4，求⊙O的半径．（1）证明：如图，连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAE，∵∠FAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AC，∵DC⊥AF于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，∴CD是半圆O所在圆的切线．（2）解：设OD＝OA＝OE＝2m，则AE＝4m，∵，AC＝4，∴BE＝AE＝×4m＝m，∴OB＝BE+OE＝3m，AB＝BE+AE＝5m，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝＝＝，∴OD＝×4＝，∴⊙O的半径长是．22．（2022•河南模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E是AC的中点，连接ED．点F在上．且FO⊥AB，连接BF并延长交AC的延长线于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，试说明AF、BG的数量关系．解：（1）证明：如图1，连接OD，AD，∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2），理由如下：如图2，∵FO⊥AB，AG⊥AB，∴FO∥AG，∵O为AB的中点，∴F是BG的中点，∵∠BAC＝90°，∴．考点04：切线长定理23．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．24．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．π B．2π C．4π D．0.5π解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．25．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．26．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．27．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为14．解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．28．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为20cm．解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．29．（2013•西藏模拟）如图，AD、AE、CB都是⊙O的切线，切点分别为D、E、F，AD＝4cm，则△ABC的周长是8cm．解：∵AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，∴CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝4cm，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝AC+CF+BF+AB＝AC+CE+BD+AB＝AE+AD＝8cm．故答案为：8cm．30．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为16cm．解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．31．（2011秋•海淀区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2．解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD＝CE，∵∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴AD＝CE，∵AD＝2，∴CE＝2．故答案为：2．32．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．33．（2018秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．（1）证明：连接OP．∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴PA＝PC，OA⊥PA，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OPA≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥PA，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．34．（2012秋•姜堰市校级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．解：①∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，又∵直线EF是⊙O的切线，∴EB＝EQ，FQ＝FA，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．35．（2008秋•恩平市校级期中）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周长是8；（2）连接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF为圆直径∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．考点05：正多边形和圆36．（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（）A．18° B．25° C．30° D．45°解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是＝120°，∴∠1＝120°﹣90°＝30°，故选C．37．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（）A．6 B． C． D．8解：∵正方形面积是2，∴其边长为：，如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，∵正八边形的每个内角为180°﹣＝135°，∴∠AEF＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE＝EF•sin45°＝×＝1，∴AB＝+1×2＝+2．∴正八边形的面积为：S正方形ABCD﹣4S△AEF＝＝，∴非阴影部分面积是S正八边形﹣S正方形＝﹣2＝2+．故选：C．38．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．∵如图是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案为：．39．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为2．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．40．（2022•咸安区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥y轴，将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2024时，顶点A的坐标为（﹣，1）．解：根据题意，连接OA，在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝60°，∴△AOB是等腰三角形，OA＝OB＝AB＝2，∴∠AOH＝30°，AH＝AF＝2＝1，∴OH＝＝，∵正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转6次回到原位置，2024÷6＝337...2，∴当n＝2024时，顶点A的坐标为（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．41．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．（1）求点Q的运动总长度；（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BCO＝2∠A＝120°，∵P，O，Q共线，∴120°﹣n+2n＝180°，∴n＝60°，∴点Q的运动总长度＝＝；（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，∵BJ＝OJ＝1，∴JH＝BJ＝，BH＝，∴CH＝，∴CJ＝＝＝，∵BM＝MP．BJ＝OJ，∴JM＝OP＝1，∴CM≤JM+CJ＝1+，∴CM的最大值为1+．42．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．43．（2019秋•垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝90度，并说明理由．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝EM，且∠EON＝108度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC＝60°，∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．故答案为：90°，EM，108°．考点06：扇形面积的计算44．（2022•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AO是△ABC的中线．以O为圆心，OA长为半径作半圆，分别交AB，AC于点D，E，交BC于点F，G．则图中阴影部分的面积为（）A．2﹣π B． C．4﹣π D．π解：连接DO，过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，∴＝30°，∴＝2，BO＝＝＝2，∴S△ABO＝＝2＝2，∵∠ABO＝60°，∴∠AOH＝30°，∴＝＝1，AH＝＝＝，∴S△ADO＝＝＝，∵∠DOF＝90°﹣60°＝30°，DO＝2，S