第08讲 投影（学生版）

第二十九章投影与视图29.1投影目标导航目标导航课程标准课标解读通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。1.理解和掌握平行投影、中心投影以及正投影的概念，能够正确区分它们的区别与联系。2.能够利用投影的相关知识，进行有关计算。知识精讲知识精讲知识点01平行投影1.投影的概念一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影.这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面。物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面。2.平行投影由平行的光线所形成的投影是平行投影.太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影。【微点拨】平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影。【即学即练1】在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（）A． B．C． D．知识点02中心投影1.中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心。在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。(1)等高的物体垂直于地面放置时，中心投影如下图：(2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图：【微点拨】在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置.2.平行投影与中心投影的关系(1)联系①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线；而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，如灯泡发出的光线.②都有变化：在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同物体和它们的影子之间存在着相似关系.在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也会跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.(2)区别①比例不同：太阳光线是平行的，因此在同一时刻下，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例.②方向不同：同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.如何判断物体的投影是在太阳光下还是在灯光下形成的：①太阳光线是平行光线，灯光光线是从一点发出的，因此，在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形状就可得出结论.②如果已知影子，那么先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们得到光线，由两条光线可大致判断它们是否平行，若光线平行，则为太阳光线；若光线相交，则为灯光光线.3.中心投影的计算与太阳光相比，灯光对我们来说是近距离的，我们可以把灯光光线看成是从一点发出向四周发射的，而且同一物体对于同一光源在不同的地点的影长也不相同.物体中心投影的大小是随着投影中心距离物体的远近的变化而变化的.根据中心投影的性质结合相似三角形的知识，在日常生活、生产中可以进行求影长、物体的高度等的计算.【即学即练2】小卓家餐桌正上方有一盏灯，晚饭时妈妈打开此灯，在此情境下，下列关于灯泡安装的高度与餐桌在地面上的影子的说法正确的是（

）A．餐桌在地面上不会形成影子 B．当灯泡安装在屋顶时，影子最大C．当灯泡安装在屋顶时，影子最小 D．影子的大小与灯泡安装的高度无关知识点03正投影(1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影(如图所示).(2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3种情况.①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，这时AB=A1B1。②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，这时A2B2<AB.③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3B3，如图.一般地，线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。平面图形的正投影分3种情况：①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等.②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是一条线段，如图.一般地，平面图形正投影有如下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.【微点拨】正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制.(3)作物体的正投影.作物体的正投影，观察和思考的过程如下：把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者一物体一投影面的顺序摆好，由观察者的眼睛假想发出一束平行的投射线，这些投射线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影.【即学即练3】如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（

）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01平行投影的应用【典例1】如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米考法02中心投影的应用【典例2】如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（

）A． B． C． D．分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，小红晚上在一条笔直的小路上由处径直走到处，小路的正中间有一盏路灯，那么小红在灯光照射下的影长l与她行走的路程之间的变化关系用图象刻画出来大致是（

）A． B．C． D．2．太阳发出的光照在物体上是（），路灯发出的光照在物体上是（）A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影3．下列各种现象属于中心投影的是（

）A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子4．如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的光线为（）A．该影子实际不可能存在 B．可能是太阳光线也可能是灯光光线C．太阳光线 D．灯光光线5．在某一时刻，测得一根长为2米的标杆的影长为4米，同时测得一根旗杆的影长为10米，那么这根旗杆的高度为________米．6．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越______（填“长”或“短”）．7．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．8．小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．9．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．(1)根据题意画图，找出路灯的位置．(2)求路灯的高和影长．10．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；(2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．题组B能力提升练1．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（

）A．5 B．6 C．7 D．82．下列结论正确的有（

）①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（

）A．小明比小强的个子高 B．小强比小明的个子高C．两个人的个子一样高 D．无法判断谁的个子高4．如图，在平面直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影A′B′长为（

）A． B． C．5 D．65．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的影长为_________．7．在平坦的操场上，某一时刻阳光照射下，身高的小明影长，同一时刻附近旗杆影长为，则旗杆高度为_______m．8．一块直角三角板如图所示放置，，，，测得边在平面的中心投影长为，则长为________，的面积是________．9．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？10．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长题组C培优拔尖练1．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（）A． B． C． D．2．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（

）A．米 B．米 C．8米 D．10米3．如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（

）A．8 B．9 C．10 D．124．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A． B． C． D．5．如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______．6．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，则木竿的长度为__________．7．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．8．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2m，已知此时高1.4m的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高________m．9．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在P处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．(2)估计路灯的高，并求影长合计的步数．10．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．(1)直接写出∠BAD＝；(2)求旗杆的高度.（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31