江西省重点中学协作体高三一模数学试题

江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷2024.2命题：新余一中何幼平吉安县中刘泰峥孔丽华（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合,则（）A．B．C．D．2．在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知,则（）A．B．C．D．4．已知,则（）A．B．C．D．5．已知双曲线的左，右焦点分别为，点M为关于渐近线的对称点．若,且的面积为8，则C的方程为（）A．B．C．D．6．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数及其导函数的定义域均为R,记,且为偶函数，则（）A．0B．1C．2D．3二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9．下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则个体m被抽到的概率是0.2B．已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5C．数据27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位数是17D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为1610．已知函数,若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（）A．B．C．1D．211．已知正方体的棱长为1，M是棱的中点．P是平面上的动点（如下图），则下列说法正确的是（）A．若点P在线段上，则平面B．平面平面C．若,则动点P的轨迹为抛物线D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．的展开式中的系数为___________．13．已知正数x,y满足,若不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________．l4．斐波那契数列,又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…,在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为_____________________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，．（1）若，求c；（2）若,求的值．16．（15分）如图，在三棱锥中，．（1）证明：平面平面;（2）若E是线段上的点，且,求二面角的正切值．17．（15分）已知椭圆的左右顶点分别为A、B,点C在E上，点分别为直线上的点．（1）求的值；（2）设直线与椭圆E的另一个交点为D,求证：直线经过定点．18．（17分）设是一个二维离散型随机变量，它的一切可能取的值为,其中，令,称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：………现有个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X,落入第2号盒子中的球的个数为Y．（1）当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式：（2）设且,求的值．（参考公式：若,则）19．（17分）己知函数．（1）若,求的图象在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点．（i）求a的取值范围；（ii）求证：．江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCDACBDC1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D4.【答案】A由，得，即，所以.5.【答案】C；6.【答案】B7.【答案】D【详解】丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是，两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是.综上，概率为，D正确．8.【答案】C【详解】因为为偶函数，，所以，对两边同时求导，得，所以有所以函数的周期为，在中，令，所以，因此，因为为偶函数，所以有，，由可得：，所以.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.题号91011答案ADBCDABD9.【答案】AD【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；对于D，依题意，，则，所以数据的标准差为16，D正确.10.【答案】BCD11.【答案】ABD【详解】对于A项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：，平面，平面，∴平面，同理可知平面，又平面，∴平面平面，又，∴平面，∴平面，故A正确;对于B项，易知面，面，则，又平面，∴平面，而平面，∴，同理，又平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面，故B正确;对于C项，因为为定直线，是定角，到的距离为定值，所以时，在以为旋转轴，到的距离为半径的圆锥上，又平面，故平面截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；对于D项，设中点分别为N，Q，则点A的运动轨迹是平面内以N为圆心，为半径的圆（如图），易知平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，而，设与圆的交点分别为E，F（点E位于点F，Q之间，如上图所示），易知当点A分别位于点E，F时，点A到平面的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值，距离的最大值，∵的面积，故选项D正确．综上，正确选项为ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】二项式的展开式通项公式为，当时，，当时，，因此展开式中含的项为，故所求系数为.13.【答案】.14.【答案】.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.（13分）解（1）由题可得：CD=2BD，故…2分又,即，，即………………4分在中，根据余弦定理得即…6分，即，…7分（2），…8分，即又，①…11分又②，由①②得：…12分…13分16.（15分）（1）证明：在中，………1分过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则，∴≌，即OD=OB=3………………3分又又OD⊥AC，………………5分又∴平面ACD⊥平面ABC…6分（2）由（1）知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系，，………………8分设是平面ABE的一个法向量则，…12分而是平面ABC的一个法向量，………………14分设二面角平面角的大小为，则………………15分17.（15分）解（1）设，由题可知，………………2分又，由…4分，，…5分………………6分（2）由题可知，直线MA的方程为：联立方程可得：=45>0………………7分，………………8分又，，同理可得点D的坐标为………………9分（i）当直线CD垂直于x轴时，，即,，此时直线CD的方程为………………10分（ii）当直线CD不垂直于x轴时，………………11分故直线的方程为………………12分令y=0，则整理得，此时直线经过定点……………14分综上，直线经过定点………………15分另解：（ii）当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在轴上，设由C、D、Q三点共线知化简得：，则此时直线经过定点……………14分综上，直线经过定点………………15分解法二：（1）设，则，∵A、C、M三点共线，∴，…2分同理：，∴…4分又点在曲线E上，∴，代入上式得：………………6分（2）由又，∴…8分由题可得直线CD显然不与x轴平行设直线CD的方程为：由得…9分…11分又…13分由…14分∴直线CD：，∴直线经过定点…15分18.（17分）解（1）若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，…1分则P（X=0，Y=0）=，…2分P（X=0，Y=1）=…3分P（X=0，Y=2）=，P（X=1，Y=0）=…4分P（X=1，Y=1）=P（X=2，Y=0）=…5分P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0…6分故（X，Y）的联合分布列为（X，Y）012010200…7分（2）当…9分故…11分=…13分所以，…15分由二项分布的期望公式可得.…17分19.（17分）解（1）若，则，所以，所以，又，………………2分所以的图象在处的切线方程为，即.………………3分（2）（i）由题意知.令，则.因为有两个极值点，，所以有两个不等正实根，.若，，则在上递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意；………………5分若，令，解得，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减.所以时，取得极大值，即最大值为，………………6分所以，解得.………………7分当时，，又，所以