新教材高中数学第十章概率10.1.2事件的关系和运算课件

10.1.2

事件的关系和运算课标定位素养阐释1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算.4.加强数学抽象、直观想象和数据分析等素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

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习

自主预习·新知导学事件的关系和运算【问题思考】1.某班数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5),采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示.(1)请写出这一试验的样本空间.提示:样本空间Ω={1,2,3,4,5}.(2)请用集合的形式表示下列事件:C=“选择第1组”,D=“选择第1组或第2组”,E=“选择第1组或第3组”,F=“选择第1组或第2组或第3组”,G=“选择第4组或第5组”.提示:C={1},D={1,2},E={1,3},F={1,2,3},G={4,5}.(3)请用集合的关系和运算回答下列问题:①C与D有什么关系?②D∪E与哪个集合相等?③D∩E与哪个集合相等?④E与G有公共元素吗?F与G呢?⑤用集合的形式怎样表示E∩G,F∩G,F∪G?提示:①C包含于D;②D∪E=F;③D∩E=C;④没有;没有;⑤E∩G=⌀,F∩G=⌀,F∪G=Ω.2.填表:3.做一做:(1)同时抛掷两枚硬币,朝上的面都是正面为事件M,朝上的面至少有一枚是正面为事件N,则有(

)A.M⊆N B.M⊇N

C.M=N D.M<N(2)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,设事件P=“向上的点数是1”,Q=“向上的点数是3或4”,M=“向上的点数是1或3”,用集合的形式表示事件P∪Q=

,M∩Q=

.

解析:(1)因为事件M={(正,正)},N={(正,反),(反,正),(正,正)},当事件M发生时,事件N一定发生.所以有M⊆N.(2)因为事件P={1},Q={3,4},M={1,3},所以P∪Q={1,3,4},M∩Q={3}.答案:(1)A

(2){1,3,4}

{3}

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

事件的关系与运算分析:根据集合间的包含、交、并、补,来判断事件间的关系和运算.【例1】

掷一枚骰子,观察朝上的面的点数.设事件A=“出现1点”,B=“出现偶数点”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”,E=“点数是3的倍数”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系?【例1】

掷一枚骰子,观察朝上的面的点数.设事件A=“出现1点”,B=“出现偶数点”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”,E=“点数是3的倍数”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系?分析:根据集合间的包含、交、并、补,来判断事件间的关系和运算.解:(1)因为掷一枚骰子,试验的结果为1,2,3,4,5,6,所以试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.(2)因为A⊆C,所以事件C包含事件A;因为C∩D=⌀,C∪D=Ω,所以事件C与事件D互为对立事件;因为D⊇E,所以事件D包含事件E.1.事件间的运算:2.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示,利用集合间的运算判断事件间的运算,必要时可利用Venn图判断.提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据集合间的关系来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件间的关系的定义来推理.【变式训练1】

盒子里有6个红球,3个白球,现从中任取三个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,B=“3个球中有2个红球,1个白球”,C=“3个球中至少有1个红球”,D=“3个球中既有红球又有白球”.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解:(1)对于事件D,可能的结果为“1个红球2个白球”或“2个红球1个白球”,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”“3个红球”,故C∩A=A.探究二

互斥事件与对立事件的判断【例2】

某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,B=“至少订一种报纸”,C=“至多订一种报纸”,D=“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与D;(3)B与C;(4)A与D.分析:要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断;或把事件用集合表示,利用集合的关系来判断.解:方法一(概念法)(1)由于事件C=“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B=“至少订一种报纸”与事件D=“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与D是互斥事件;由于事件B发生会导致事件D一定不发生,且事件D发生会导致事件B一定不发生,故B与D是对立事件.(3)事件B=“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C=“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(4)事件A=“只订甲报”与事件D=“一种报纸也不订”不可能同时发生,故A与D是互斥事件.但在一次试验中,事件A与事件D有可能都不发生,故A与D不是对立事件.所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.方法二(集合法)用x1,x2分别表示甲、乙两种报纸的订阅情况,以1表示订阅报纸,0表示不订阅报纸,则样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.A={(1,0)},B={(1,1),(1,0),(0,1)},C={(1,0),(0,1),(0,0)},D={(0,0)}.(1)因为A∩C={(1,0)},所以A与C不是互斥事件.(2)因为B∩D=⌀,B∪D=Ω,所以B与D是对立事件.(3)因为B∩C={(1,0),(0,1)},所以B与C不是互斥事件.(4)因为A∩D=⌀,A∪D≠Ω,所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.互斥事件与对立事件的判断方法:(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合表示分别是A,B.①事件A与B互斥,即A∩B=⌀;②事件A与B对立,即A∩B=⌀,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即A=∁ΩB或B=∁ΩA.特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.【变式训练2】

一个射击手进行一次射击.事件A=“命中的环数大于7环”;事件B=“命中环数为10环”;事件C=“命中的环数小于6环”;事件D=“命中的环数为6,7,8,9,10环”.判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.(1)事件A与B;(2)事件A与C;(3)事件C与D.解:试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={8,9,10},B={10},C={0,1,2,3,4,5},D={6,7,8,9,10}.(1)不是互斥事件,理由:A∩B={10}≠⌀.(2)是互斥事件,但不是对立事件.理由:A∩C=⌀,但A∪C={0,1,2,3,4,5,8,9,10}≠Ω.(3)是互斥事件,也是对立事件.理由:C∩D=⌀,且C∪D=Ω.探究三

多个事件运算的表示【例3】

设有A,B,C三个事件,用A,B,C的运算表示以下事件:(1)A,B,C至少有一个发生;(2)A,B,C同时发生;(3)A,B,C都不发生;(4)仅A发生;(5)A,B,C仅有一个发生.分析:按照事件的和、积、对立的定义表示.解:(1)因为A∪B表示事件A,B至少有一个发生,所以事件A,B,C至少有一个发生,用A∪B∪C(或A+B+C)表示;(2)因为A∩B表示事件A,B同时发生,所以事件A,B,C同时发生,用A∩B∩C(或ABC)表示;1.表示多个事件的运算时,要紧扣运算的定义,常用的定义有:(1)事件A不发生用

表示;(2)并(和)事件表示至少有一个发生;(3)交(积)事件表示同时发生.2.出现“至少”“至多”“恰有”等名词,注意分情况讨论.【变式训练3】

甲、乙、丙三人各投一次篮,分别记事件A=“甲投中”,B=“乙投中”,C=“丙投中”,试用A,B,C表示下列事件:(1)甲、乙投中但丙没投中;(2)甲、乙、丙都投中;(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中;(4)只有乙投中.易

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析对立事件的概念模糊致误【典例】

从一批产品中取出三件产品,设事件A=“三件产品全是次品”,则事件A的对立事件

=

.

错解:“三件产品全是正品”或“三件产品全不是次品”.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?正解:从一批产品中取出三件产品,试验的结果有四种:“三件正品”“二件正品一件次品”“一件正品二件次品”“三件次品”,故“三件产品全是次品”的对立事件是“三件产品不全是次品”.答案:“三件产品不全是次品”或“三件产品中至少有一件正品”【变式训练】

一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是

.

解析:连续射击两次有以下四种情况:第一次中靶第二次没中靶,第一次没中靶第二次中靶,两次都中靶,两次都没中靶.故“至少有一次中靶”的对立事件为“两次都没中靶”.答案:“两次都没中靶”随

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习1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得1张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.必然事件 D.不可能事件解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,故它们是互斥事件,又因为甲、乙可能都得不到红牌,即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生.所以它