第03讲圆中的切线问题及圆系方程（高阶拓展）（教师版）

第03讲圆中的切线问题及圆系方程（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第6题,5分圆中切线问题给值求值型问题余弦定理解三角形2022年新I卷，第14题,5分圆的公切线方程判断圆与圆的位置关系2021年新I卷，第11题,5分切线长直线与圆的位置关系求距离的最值2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5分【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解2.熟练掌握圆系方程的快速求解【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习知识讲解一、圆中切线问题已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;已知圆方程为圆:.(1)过圆上的点的切线方程为.(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.4.过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度一般方程(标准方程)二、常见的圆系方程1、同心圆圆系(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;(2)与圆同心圆的圆系方程为:;2、过线圆交点的圆系过直线与圆交点的圆系方程为:;3、过两圆交点的圆系过两圆交点的圆系方程为,此圆系不含)(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:考点一、圆中切线问题1．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆上点的切线方程为．【答案】【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.【详解】由题知，，则切线斜率，所以切线方程为，整理为．故答案为：2．（2023·江苏·高三专题练习）过点引圆切线，则切线长是.【答案】3【分析】根据切线的垂直关系即可由勾股定理求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得：，得到圆心坐标为，圆的半径，，切线长是，故答案为：33．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是.【答案】【分析】求出以为直径的圆的方程,将两圆的方程相减,即可求解.【详解】圆的圆心为,半径为2，以为直径的圆的方程为,将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程.故答案为:.4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为.【答案】/【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值【详解】设，则有①，又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，则点均在以为直径的圆上，设的中点为，则圆的方程为，化简得；直线即为两圆的公共弦，所以对于和，两式相减可得直线的方程为，由①可得，，整理得，由得故直线过定点，因为，说明在圆内，当时，此时最小，为故答案为：5．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为.【答案】【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径，设切点为，因为，可得，所以切线长为.故答案为：.6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是.【答案】【分析】先求得的方程，再根据圆心到切线的距离，半径和切线长的勾股定理求最小值即可【详解】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是故答案为：1．（2023秋·四川成都·高三成都外国语学校校考期末）已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；当直线的斜率存在时，可设直线l：，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：，所以直线l：，即.故选：D【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】由题意可得点在圆上，根据切线的性质求切线斜率，进而求切线方程.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，∵，∴点在圆上，又∵，则切线的斜率，∴切线方程为，即.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，过点作圆的两条切线，设切点分别为、，而，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，作差变形可得：；即直线的方程为.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据题意，设为直线上的一点，由圆的切线的性质得点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．【详解】由题意可得的圆心到直线的距离为，即与圆相离；设为直线上的一点，则，过点P作圆的切线，切点分别为，则有，则点在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径为，则其方程为，变形可得，联立，可得：，又由，则有，变形可得，则有，可得，故直线恒过定点，设，由于，故点在内，则时，C到直线的距离最大，其最大值为,故选∶B考点二、圆系方程1．（2023秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.圆配方可得，圆心坐标为，半径为2，弦心距，弦长为，过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即．最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，，所求面积最小的圆方程为：，故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【分析】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【详解】由解得两圆交点为与因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）所以垂直平分线为y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）所以r所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故选：A3．（2023秋·河南焦作·高三校考阶段练习）已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为．【答案】【分析】求出圆心坐标，再求出圆的半径即可.【详解】依题意，圆的圆心，则半径，所以圆的标准方程为.故答案为：4．（2021秋·江苏泰州·高三校考阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心为点，且经过点．（2）经过两点，且圆心C在直线上．（3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接求出半径即可得出方程；（2）求出直线的中垂线方程，与直线联立可求得圆心坐标，再求出半径即可得出；（3）联立两圆方程，求出交点坐标，设出圆心，即可建立关系求出.【详解】（1）可得半径为，所以所求圆的方程为；（2）直线的斜率为，中点为，则直线的中垂线方程为，即，联立方程组可得，即圆心为，半径，故所求圆的方程为；（3）联立方程组解得或，即交点坐标为，因为圆心在直线上，则可设圆心为，则它到两个交点的距离相等，即，解得，即圆心为，则半径，故所求圆的方程为.5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（

）A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）B．直线的方程为C．线段的长为D．两圆有两条公切线与【答案】CD【分析】根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确.【详解】对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误．对于B选项，联立方程组，两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误．对于C中，原点O到直线AB的距离为，根据勾股定理得，所以C正确．对于D中，由圆，可得，可得圆的圆心坐标为，半径为，又由圆，可得圆心，半径为，可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，由和，可得两圆心所在直线为，即，联立方程组，解得，即交点坐标为，在直线上任取一点，设点关于直线对称点为，可得，解得，即对称点的坐标为，所求的另一条切线过点，，可得其方程为，故所求切线方程为或，所以D正确.故选：CD.1．（2023·高三课时练习）求经过两圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程．【答案】【分析】先求两圆交点坐标，再求得圆心和半径，从而求得所求圆的方程..【详解】由解得或，设.设所求圆的圆心为，由得，即，解得，所以圆心，半径，所以所求圆的方程为.2．（2023·江苏·高三专题练习）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.【答案】【分析】设出所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆心在直线上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而确定出所求圆的方程.【详解】可设圆的方程为,即,此时圆心坐标为,当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，,解得,则所求圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.3．（2022·全国·高三专题练习）求经过两圆与的两个交点且半径最小的圆的方程.【答案】【分析】根据两圆的方程求出两圆相交弦所在的直线方程，结合待定系数法、圆的几何性质进行求解即可.【详解】设圆和圆的两个交点为，，则直线的方程为，即，设所求圆方程为.化简得：则半径最小时，圆心在直线上.解得.故所求圆的方程为.【点睛】本题考查了过两圆交点且半径最小的圆的方程，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.4．（2023·吉林长春·高三校考阶段练习）已知两圆和．（1）求公共弦所在的直线方程；（2）求公共弦的长度；（3）求经过原点以及圆和圆交点的圆的方程．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由两圆公共弦的直线方程为两圆方程相减即可得；（2）法一：联立公共弦所在直线方程与其中一圆的方程求得交点坐标，根据两点距离公式即可求公共弦的长度；法二：求其中一圆的圆心到公共弦的距离，它与圆的半径、公共弦的一半的关系：即可求公共弦的长度；（3）设圆的方程为，由它过原点以及圆和圆交点，将点坐标代入求参数，即可得圆的方程.【详解】（1）将两圆方程相减，有公共弦所在直线方程为．（2）法一：由（1）有：，代入圆得，有，．∴或，交点坐标为和．∴两圆的公共弦长为．法二：由（1）有两圆相交弦所在直线为，且圆心，圆心到直线的距离，设公共弦长为，由勾股定理，得，解得，所以公共弦长．（3）设经过原点以及圆和圆交点的圆的方程为，∴结合（1）（2），，得，∴，【点睛】本题考查了圆的位置关系，根据两圆相交求公共弦所在直线方程及长度，并求过原点、两圆交点的圆的方程，属于基础题.【能力提升】1．（2023·全国·高三专题练习）圆在点处的切线方程为．【答案】【分析】计算，根据垂直关系得到斜率为，得到切线方程.【详解】圆的圆心为，即，则，则切线斜率为，故切线方程为：，即.故答案为：2．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的直线方程为.【答案】【分析】根据题意以为圆心，为半径作圆，两圆方程作差即可得直线的方程.【详解】圆的圆心，半径，方程化为一般式方程为，则，以为圆心，为半径作圆，其方程为，方程化为一般式方程为，∵，则是圆与圆的交点，两圆方程作差可得：，∴直线的方程为.故答案为：【点睛】关键点睛：根据两圆相交进行求解是解题的关键.3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.【详解】圆：，即，圆心为，半径，又，所以点在圆上，且，所以切线的斜率，所以切线方程为，即.故选：C4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；点在圆上，故，即故直线l的方程为：令令当l的横纵截距相等时，又解得：即，即故选：A5．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解．【详解】易知圆在点处的切线的方程为，所以，，，所以，当且仅当，时，等号成立．所以的最小值为.故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.【详解】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．7．（2022秋·全国·高二专题练习）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是．【答案】【分析】由题意可知面积最小的圆是以交点所在线段为直径的圆，求圆心和半径.【详解】∵圆的方程可化为．∴圆心坐标为，半径为，∴圆心到直线的距离为．设直线和圆的交点为，．则．∴过点，的最小圆半径为．联立得，故，则圆心的横坐标为：，纵坐标为，∴最小圆的圆心为，∴最小圆的方程为，即．故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆相交的综合问题，意在考查圆的几何问题和坐标系法解决几何问题的综合问题，属于中档题型.8．（2023·江苏·高二专题练习）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.【答案】【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程.【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为，化简得.故答案为：.【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.9．（上海宝山·高二校考期中）（1）求以为圆心，且与直线相切的圆的方程．（2）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得半径，即可求得圆的方程；（2）依题意可知，弦长为直径的圆的面积最小，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系求得圆心坐标，由弦长公式求出圆的半径，则圆的方程可求．【详解】解：（1）∵到直线的距离，∴以为圆心，且与直线相切的圆的方程为；（2）设直线与圆的两个交点为，由得，，，设中点为，则，，即中点为．∴．∴最小圆的方程为．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查求圆的标准方程．求出圆心坐标和圆的半径得圆的标准方程是求圆方程的基本方法．10．（2023·江苏·高三专题练习）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．【答案】【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程.【详解】法一：解方程组，得或，∴直线与圆交于点．设所求圆的方程为()，将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足，故所求圆的方程为．法二：设所求圆的方程为，又在圆上，则，解得，故所求圆的方程为，即．【真题感知】一、单选题1．（全国·高考真题）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，构造方程解出斜率；再根据切点在第三象限求得结果.【详解】易知切线的斜率存在，设切线方程为圆的方程可化为：，圆心为，半径，解得：又切点在第三象限

本题正确选项：【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，关键是明确直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径.2．（全国·高考真题）圆过点的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率结合点斜式即可求方程.【详解】由题意知，圆：，圆心在圆上，，所以切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，即.故选：D.3．（山东·高考真题）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为A． B．C． D．【答案】A【详解】画图可知直线的斜率为负，其中一个切点为，代入A,D只有A满足.【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，通过研究过切点的直线方程，考查快速反映能力，是对三维目标之一的情感态度价值观的有力考查．4．（江苏·高考真题）下列方程是圆的切线方程的是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：已知圆的圆心为，半径为1，圆心只有到直线的距离为1，即此直线与圆相切．故选C．考点：直线与圆的位置关系．5．（全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可