第4讲指数与指数函数教案理新人教版

第4讲指数与指数函数

【2013年高考会这样考】

1.考查指数函数的图象与性质及其应用.

2.以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用.

3.以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小.

【复习指导】

1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分

的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重.

2.本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数

的性质.重点解决：⑴指数塞的运算；（2）指数函数的图象与性质.

AJKAOJIZIZHUDAOXUE................................................................................................................................................................................................................

01»考基自主导学必考必记：教学相长

基础梳理

1.根式

⑴根式的概念

如果一个数的〃次方等于a（A>l且，N*）,那么这个数叫做a的〃次方根.也

就是，若三,则x叫做a的。次方根，其中〃>1且〃CN*.式子电叫做根式,

这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

⑵根式的性质

①当〃为奇数时，正数的。次方根是一个正数，负数的。次方根是一个负数，这

时，a的A次方根用符号%表示.

②当〃为偶数时，正数的。次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的

〃次方根用符号电表示，负的〃次方根用符号一%表示.正负两个〃次方根可

以合写为+第0>0）

④当〃为奇数时，刷/=组

nI—&a

当〃为偶数时，j=\a\=<.

[—aa<

⑤负数没有偶次方根.

2.有理数指数募

⑴骞的有关概念

①正整数指数骞：a"=a，a....仆(n€N*)；

②零指数塞：a°=l(aWO)；

1

③负整数指数骞：1。=1(。片0,0©N*);

a

④正分数指数塞：「=g7(a>0,m、n£N*,且z?>l);

m11

⑤负分数指数塞：a——=一=(a>0,m、N*_g.n>l).

nm

⑥0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数塞没有意义.

(2)有理数指数塞的性质

①aZ'=e(a>0,八sCQ)

②⑷'=式(。>0,八sCQ)

③(呀=空(。>0,b>Q,rCQ).

3.指数函数的图象与性质

定义域R

值域（0,十四

性质过定点（0,1）

当x>0时，0<了<1;

x<0时，0<尸<1

当x>0时，y>l；

x<0时，y>1.

在（一OO,十8）上是增函

在（一8,十8）上是减函数

数

_____助#微电

一个关系

分数指数赛与根式的关系

根式与分数指数爆的实质是相同的工分数指数赛与根式亘以相互转化“通常利用一

分数指数赛进行根式的化简运算二一

两个防范

⑴指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0

<aVl和a>l进行分类讨论.

⑵换元时注意换元后“新元”的范围.

三个关键点

（n

画指数函数尸及>0,且*1）的图象，应抓住三个关键点：3a）,（0,1）,T,'

V町

双基自测

颔

1.（2011•山东）若点（a,9）在函数尸3、的图象上，则tan］的值为（）.

A.0B+

3

C.1D.^3

2.（2012•郴州五校联考）函数府=2k”的图象是（）

1_

3.若函数4勾=汨］，则该函数在（一8,+8）上是（）.

A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值

/］\1。©.3

4.（2011•天津）已知0=5年"4）=5"c=|则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

5.（2012•天津一中月考）已知〃5+Q5=3,贝UW+「=

KAOXIANGTANJIUDAOXI..........

02»考向探究导析研析考向：案例突破

考向一指数得的化简与求值

【例1】A化简下列各式（其中各字母均为正数）.

2［12

分力1旅

2

（1）'；

1

51（1\/2¥

（2）73+1_3。_?-1「卜3.斤3.

［审题视点］熟记有理数指数骞的运算性质是化简的关键.

_11_11111115

+

解⑴原式=^^6,b23~6

5121

⑵原式=_5，一/1一（4%-b-^-

13、

空—5,

513

51

4yjaB4aZr

方法总结》化简结果要求

⑴若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

⑵若题目以分数指数塞的形式给出，则结果用分数指数骞表示；

(3)结果不能同时含有根号和分数指数骞，也不能既有分母又有负指数哥.

【训练1】计算：

(1)0.027-7-十J肃一(81)。;

3

小aL3

⑵旧r

0.1~2/厘

考向二指数函数的性质

【例2】A已知函数《勾=1+万,x3(a>0且aWl).

⑴求函数《匈的定义域；

⑵讨论函数”匈的奇偶性；

(3)求a的取值范围，使腕>0在定义域上恒成立.

［审题视点］对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通过

求最值解决.

解⑴由于Q—iwo,且个片1,所以x*o.

:函数《匈的定义域为{x|x€R,且XWO}.

⑵对于定义域内任意x,有

《一匈=[7^+5](一匈3

(in

=k+犷=侬，

，4句是偶函数.

(3)当〃>1时，对牙>0,由指数函数的性质知^>1,

11

1>0,~~~+~>0,

a—LZ

(11)

又x>0时，x>0,：.x~~~~+~>0,

"一12J

即当x>0时，fx)>0.

又由(2)知《匈为偶函数，即《一匈=《匈，

则当xVO时，一x>0,有《一匈=(勾>0成立.

综上可知，当〃>1时，《另>0在定义域上恒成立.

第十x

当0Vz<1时，《勾=；.

a—

当x>0时，1>/>0,^'+1>0,

aA-l<0,x3>0,止匕时人为<0,不满足题意；

当x<0时，一x>0,《一勾=人药<0,也不满足题意.

综上可知，所求a的取值范围是a>l.

方法总结》⑴判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的

fX

形式，另外，还可利用《一勾±《为，7来判断.

1—X

⑵将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法.

a

【训练2】设《用=+丁是定义在R上的函数.

3.

⑴《为可能是奇函数吗?

⑵若《勾是偶函数，试研究其在(0,+8)的单调性.

考向三指数函数图象的应用

ex+「

【例3】A(2009・山东)函数尸三~7的图象大致为(

e-e

［审题视点］函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性.

e2-Y+12

解析当x>0时，e2*—1>0且随着x的增大而增大，故尸

e—1e—1

=1十二「>1且随着X的增大而减小，即函数y在(0,+8)上恒大于1且单调

递减，又函数了是奇函数，故选A.

答案A

方望期利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函

xx

\c—c-

数尸三17,尸—;一,y=igWT)等.

dI14

【训练3］已知方程10*=10—x,lgx+x=10的实数解分别为a和生则a+夕

的值是.

»考题专项突破考题展示：名师解读

难点突破3—如何求解新情景下指数函数的问题

高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除

最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数

学思想.

一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法

【示例】A（2011•福建五市模拟）设函数了=4为在（-8,+oo）内

fx?fx>K、

有定义.对于给定的正数&定义函数63=《X.取函数Q）

K,fx<.Ky

=2+A-+e-\若对任意的xC（—oo,+oo）,恒有反3=《为，则K的最大值为

力、（*）=代工）恒成立㈡八上）>K对任意的！

啰恒成立

I

（ffi）一►由K<f（恒成立，得K<，（上）3

庙题意，得K</（上）=2+上+屋"对上6R

Z1:恒成立.由/'（X）=1y=-—J=0,得；

-----►:cc

v----/*'=1,1=0,且上<0时，/'（工）V0,□:>0；

:时，f'（X）>0,所以/（“）min=f（0）=3,所以；

”K〈3,K的最大值为3

（JB）f

I

（H）一►此题较好地体现了化归思想

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法

【示例】A若4㈤=31*—二石㈤=2-3«-w,xCR,且Q)=

工x,工xW£x,

',,二则”勾=工㈤对所有实数X成立，则实数2的取值

上2x»hX>4X,

范围是.

(w)y（x）=j,（x）对所有实数工成立的等价条件是

力（；，：）&T2（.T）对所有实数工成立

f(X)=H)㈡丁］(X)&fz(M)㈡3晨"W2•

3—1㈡3sTf<2对所有实数1成立.

因为|；r—1|—I：r.—a|的最大值为|a-1\,

所以有311W20|以一1log32^1-

logs2W以W1+logs2

(Q)fl—log32W&<1+log32

此题确定I工一1-I-c-d的最大值可利用

其几何意义，即求数轴上一动点到两定点距

离差的最大值

我来逆绿

WOLAIYANLIAN

完成课时作业，大展身手

一、选择题

1.下列函数中值域为正实数集的是（）

2.（2012•杭州月考）函数尸胪@>1）的图象是（）

3.设力=4°。乃=8°",乃=5T:则（）

A.为＞%＞EB.乃＞%＞为

C.%＞乃＞与D.%〉乃〉为

4.已知Q）=3xi（24x《4,6为常数）的图象经过点（2,1）,则式药的值域（）

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[1,+oo）

5.已知函数而=才-*（＞0且£1）,当x＞2时，侬＞1,则侬在R上（）

A.是增函数

B.是减函数

C.当x＞2时是增函数，当亦2时是减函数

D.当x＞2时是减函数，当行2时是增函数

二、填空题

6.卓玉十郎X,=.

7.已知正数a满足才一2a—3=0,函数（为=k,若实数m、A满足

则m、n的大小关系为.

三、解答题

8.函数侬=处＞＞0,且£1）在区间[1,2]上的最大值比最小值大盘求。的

值.

9.函数尸lg（3—4x+/的定义域为M,当xC〃时，求《Z=2'+2—3X4x

的最值.

10.已知函数侬=4.—4X+3.

⑴若2=—1,求侬的单调区间；

⑵若磔有最大值3,求a的值.

双基自测

Z7T7TI—

1.解析由题意有9=9,则a=2,「.tan7=tan:=43.答案D

65v

x>l,

2.解析侬।答案B

L，mi,

i

3.解析设尸《药，t=2x+\,则尸［r=2'+l,x€(—8,+8)

r=2-'+l在(一oo,+oo)上递增，值域为(1,+8).

1

因此尸:在(1,+8)上递减，值域为(0J).答案A

,⑴10

4.解析c=~log30.3=5—log30.3=51og3-,10&3.4>1。&2=1,

10

10&3.6<10g4=1,Iog3y>log33=l,

101010

XIog23.4>log,y>log3y,.,.logj3.4>log；-^>k>&3.6

又•.了=5*是增函数，.♦.a>c>6.答案C

11

5.解析由已知条件号+。一9=9•整理得：。+厂=7

又(a+L)2=49,因此才十12=47.答案747

【训练1】

1.解

13

42,42333344

⑵原式%•七对。-b°=~

【训练2】2解⑴假设《匈是奇函数，由于定义域为R,

e*a(e-xa}

；《一勾=_不药，即_+_：=一二十二，

aeIzeJ

(n

整理得a+-d+e、=O,

Ia)

1

即。+-=0,即#+1=0显然无解.

a

■■《匈不可能是奇函数.

(2)因为Q)是偶函数，所以《一匈=4匈，

ezez1

即一+G=—+—,整理得a—(eA-e^=0,

aeae卜a,

1

又•「对任意xWR都成立，.,.有〃-一=0,得〃=±1.

当a=l时，4勾=e=+ex,以下讨论其单调性，

任取Xi,X2C(0,+8)且Al<X2,

则《苟)一{A2)=exi+e—Xi—ex2—e—x2

罚一6苞exi+再一

exi+西'

.」X1,兹€(0,+oo)且画〈兹，

/.+A^>1,e过一e&VO,ex1-\-x2—1>0,

-X

ea

.•..)一侬)<0,即伞］)<仆2),二函数侬=—+、，

ae

当a=l时在(0,+8)为增函数,

同理，当a=—1时，侬在(0,+8)为减函数.

【训练3】解析作函数尸《匈=10*,了=4匈=lgx,y=力(匈=10—x的图

象如图所示，由于y=4匈与了=/匈互为反函数，...它们的图象是关于直线y=x

对称的.又直线尸力⑶与尸X垂直，.)=《匈与尸力(匈的交点4和尸欧匈与了

=力㈤的交点8是关于直线尸x对称的.而了=*与了=力(匈的交点为(5,5).又方

夕+3

程10'=10—X的解&为4点横坐标，同理，夕为3点横坐标..♦.丁=5,即々

+夕=10.答案10

课时作业

1.解析：・•・l—x€R,尸4*的值域是正实数集，

\pj

.•.7=Qr的值域是正实数集.答案：B

/X,

2.解析:尸2㈤=1_当X>0时，与指数函数尸仪2>1)

ax<

的图象相同；当亦0时，尸。一、与尸豕的图像关于？轴对称，由此判断B正

确.答案：B

3.解析：利用幕的运算性质可得%=2",乃=2.，乃=小,

再由尸2*是增函数可知选D.答案：D

4.解析：由侬过定点(2,1)可知b=2,因而=3=2在区4］上是增函

数，可知C正确.答案：C

5.解析：令2—x=t,则胃2—x是减函数，,当x>2时，侬>1,

.•.当HO时，才>1.」.0。<1.」.式因在R上是增函数.答案：A

11/i1\

6.解析：原式=27X2%+(2§义3万16=2+22x33=2+4X27=110.

答案：110

7.解析：2a—3=