对数的概念导学案高中数学新北师大版必修第一册2

4.1对数的概念

（一）

（1分钟）

1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算.

2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化.

3.理解常用对数、自然对数的概念及记法.

（1分钟）

对数是指数的逆运算.但有趣的是，在数学史上，对数却是先于指数被发现的.1614

年，纳皮尔发明了对数和对数表.1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20

多年，当时人们并没有发现指数和对数之间的关系.后来，数学家欧拉才提出“对数源于指

数”，这一说法得到了数学家们的广泛认可.至此，对数逐渐得到完善，成为我们今天所用

的对数.

（24分钟）

精讲1：对数的概念

【问题1】对于函数y=13xl.0-,给定任意一个x,我们可通过幕的运算计算出任意一

个y的值.反之，如果知道y的值，能否计算出x的值呢？

【答案】能.

【问题2】若2三16,0"=9,则x的值分别是多少？

【答案】满足2工=16的x的值为4,满足@"=9的x的值为2

【抽象概括】

⑴定义：

一般地，如果炉=N（a>0,且存1）,那么数x叫作以。为底N的对数，记作x=log〃N.

其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

（2）常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把logiW记作IgN；以无理数e=2.71828…

为底数的对数称为自然对数，并且把logH记为InN.

特别提醒：对数的概念中规定“a>0,且时1”的原因

⑴若a<0,则当N为某些值时，x的值不存在.如户1。&28不存在.

(2)若a=0,

①当附0时，x的值不存在.如logo3(可理解为0的多少次累是3)不存在.

②当N=0时，尤可以是任意实数，是不唯一的，即logo。有无数个值.

(3)若a-l,

①当*1时，x的值不存在.如logi3不存在.

②当N=1时，尤可以为任意实数，是不唯一的，即logil有无数个值.

因此规定。>0,且存1.

【学以致用】

【例1】求下列各式中x的取值范围.

(l)log2(x-10)；(2)log(x-i)(x+2).

【方法指导】对于(2)表达式中的真数含有x,底数也含有无，结合对数的概念，列出

不等式组，求得x的取值范围.

【解析】⑴由题意有x-10>0,...QlO,

即x的取值范围是{4x>10}.

X+2>0,

x-1>0,

{x-1*1,

(x>-2,

得卜>1,

(工-2,

.'.x>yJ=LX^I,

：.x的取值范围是{xlx>l且x#2}.

【方法小结】在求解对数形式表达式中参数的取值范围时，应根据对数中的底数和真

数满足的要求列出不等式组，进而求解即可.

【针对训练】求下列各式中X的取值范围.

(l)10g(2.r-l)(X+2);

⑵log(/+i)(-3x+8).

X+2>0,

2%-1>0,解得x>|且

{2x-l。1,

/1.

故X的取值范围是［卜>之且X41}.

(2)因为底数x2+l大于0且不等于1,

所以中0.

又因为-3x+8>0,所以

综上可知，xg且#0.

故x的取值范围是{%卜〈称且无不0).

精讲2：对数与指数的关系

【问题1】若2三3,g)X=2,则x的值分别是多少？

【答案】用log23表示满足2工=3的x,用log±2表示满足(§*=2的x,因此2*=3的解

为X=log23,G)=2的解为x=log£

【问题2】怎样理解对数式的意义？

【答案】“三角度”理解对数式的意义.

角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在位0,且中1,N>0时才有意义.

角度二：对数式log“N也可以看作一种运算，是在已知d=N求6的前提下提出的.

角度三：log“N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也

不可认为是log“与N的乘积.

【抽象概括】

当a>0,且存1时，〃=N=x=logaN.前者叫指数式，后者叫对数式.

(1)对数的概念中出现了两个等式：指数式炉="和对数式AlogJV.这两个等式是等价

的，它们之间的关系如下：

根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可以将对数式化成指数式.

(2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：

名称

式子

aXN

指数式d=N底数指数幕

对数式X=10gqN底数对数真数

【学以致用】

【例2】将下列对数式化成指数式或指数式化成对数式.

-2

(1)53=125；(2)g)=16；(3)log|8=-3；(4)log3^=-3.

【方法指导】根据*=Nu>logaN=0(〃>0,且中1,N>0)求解.

3

【解析】(1)V5=125,.,.log5125=3.

(2)VQ)2=16,；.logn6=-2.

(3)Vlog|8=-3,

1-1

⑷•・Tog3/-3,.•.3-3吟.

【方法小结】指数式与对数式互化的方法

(1)将指数式化为对数式，只需要将募作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对

数式；

(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为募，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

【针对训练】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

(1)3智

(2)logi27=-3；

3

(3)log近64=6.

【解析】(l)log3》2.

⑵(J..

(3)(Vx)-6=64.

精讲3：对数的基本性质

【问题1】若3工=o,0“=-1,则这样的》存在吗？

【答案】..PX),(丁>0,.•.满足3工=0,QZ-1的x都不存在，因此我们说0和负数

没有对数.

【问题2】为什么零和负数没有对数？

【答案】由对数的定义，〃=N(a>0,且存1),则总有N>0,所以转化为对数式

X=logaN时，不存在N40的情况.

【问题3］你能推出对数恒等式小gaN=N(〃>0,且中1,N>0)吗?

【答案】因为炉=N,所以x=log〃N,代入户=N可得ai°gaN=N.

【抽象概括】

1.对数的性质

性质1负数和零没有对数

性质21的对数是0,即logj=0（a>0,且存1）

性质3底数的对数是L即loga〃=l（a>0,且好1）

2.性质的拓展

lSaNr>

对数恒等式：a°=N,logfla=x（«0>且

【学以致用】

［例3］求下列各式中x的值.

（l）log2（logu）=0；

1

⑵log（叵1）药=x；

⑶210g25=尤

【方法指导】合理运用题中提供的信息，结合对数的性质、对数与指数的关系求解.

【解析】⑴•.」Og2（log4X）=0，

/.log4X=20=L.*.x=41=4.

（2）；log（g）忌1r，，4-1广焉=V2-1,

（3）'."2log25=x,Iog25=log2x,；.x=5.

【方法小结】此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决

问题.“log〃N=0=N=l；log〃N=l今N=a”使用频繁，应在理解的基础上牢记.

【针对训练】（1）若log3（lgx）=0,则x的值等于.

（2）方程21嗝*=；的解是.

【解析】（1）由log3（lg%）=0得lgx=30=l,.・・x=10.

（2）*.*2log3X=2-2,log3X=-2,.\x=3'2=^.

【答案】（1）10;（2）昌

（10分钟）

探究：利用指数式与对数式的互化求值

【例4】求下列各式中x的值:

2

(l)log64X=--;(2)logx8=6；(3)lg100=x；

⑷如e2=x；(5)log(&)卷=x.

【方法指导】要求对数的值，设对数为某一未知数，先将对数式化为指数式，再利用

指数幕的运算性质求解.

(l)x=64-3=(43)-3=4-2=—.

16

1111

(2)因为x6=8,所以X=(X6)6=8e=(23)6=25=V2.

(3)因为18=100=102,所以广2.

(4)由-Ine2=x,得-x=lne2,即e-x=e2,

所以x=-2.

(5)因为log(.)焉=x,

所以(&)三

所以x=l.

【探究小结】指数式*=N(a＞。，且时1)与对数式b=logaN(a＞。，且存1，N＞0)之间是

一种等价关系.已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式.

【针对训练】求下列各式中x的值.

⑴log%27吟3⑵2logkg

(3)x=log27^;(4)x=logil6.

97

【解析】(1)由log%27=|,可得％5=27,

.••二275=(33)5=32=9.

.2

(2)由log2X=-7-,可得

-1_1

⑶由X=log27-，可得27^=-,

・・・331=3-2,・・・信-:

(4)由x=logK6,可得(J=16,

：.2-r=24,：.x=-4.

(1分钟)

1.知识图谱：

2.数学思想、学科素养：转化法；数学运算、数学抽象；

3.常见误区：指数式与对数式的互化时混淆各字母分别在指数式和对数式中的位置;

易忽视对数式中底数与真数的范围.

(5分钟)

1.在6=l