高中数学（理科）易错题之算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入

专题14算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入

易错点1忽略判断框内的条件

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入〃的值为9,则输出S的值为

【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=2i+2?+23+…+28+1+2+3+...+8=546,故输出S的值为

546.

【错因分析】解题过程错在循环是在仁10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S

+29+9.

【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算界21+2^+23+…+29+1+2+…+9=1067,故愉出S的值

为1067.

【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程

序框图运行的次数.

,易错点击

1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.

2.注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环

结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.

■.即时巩固

1.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

A.2B.4

C.6D.8

【答案】B

【解析】第一次循环，5=8,«=2;第二次循环，扉2,«=3;第三次循环，SM,«=4,故输出S的值为4,

故选B.

【名师点睛】本题考查循环结构的程序框图，考查考生的运算能力.一般以选择题或填空题的形式出现,

常考查循环结构的程序框图，循环体执行的次数是这类题的易错之处，考生应多加注意.当循环次数不多

时，可以逐次列举，力争不失分.

易错点2误将类比所得结论作为推理依据

供倒分M

2

己知“，々，。［，为，打,。?都是非零实数，不等式@三+bYx+cx<0,o2x+&X+C2<0的解集分

a,b,C.

别为则“」=7±=-”是"M=N”成立的.条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充

a,b-,C,

要”“既不充分又不必要”中的一种）.

CLbaa,hG

【错解】由上L=U=」知两个不等式同解，即“3=”=’”是“M=N”成立的充要条件.

。2b?c2a2b2c2

【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.

【试题解析】当“_=3=且时，可取q=4=q=L%=4=。2=-1,则Af=0,N=R,

故旦=*=

a[b、C]

当,M=N=0B寸，可取q=4=q=L%=Lb[=2,c?=3,则员工3工,，即

a?b、c?

M=N*包=且=2.

b、C]

综上知"曳=?=g■”是“AAN”成立的既不充分又不必要条件.

a[o'）C]

,易错点击

类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推

理则容易出现错误.

■,即时巩固

2.给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若〃，beR,则a-Z?=O=>a=Z?"类比推出“若a,beCf则。-尻0=。二8"；

②“若a,b,c,d£R,贝!J复数a+Z?i=c+di=〃=c,类比推出“若a,b,c,duQ,贝！Ja-\-by/2=c-\-dyf2=>a=c,

b=cT；

③若％,Z?GR,贝ija—比>0=a泌”类比推出“若a,beC,则。一。>0=。泌''.

其中类比结论正确的个数是

A.0B.1

C.2D.3

【答案】c

【解析】①②正确，③错误，因为两个复数如果不是实数，不能比较大小，故选C.

错点3小前提错误

,■--------------»»

侠（M分加

■^判断函数y=2H的单调性.

【错解】指数函数y=炉（。>1）是增函数，而y=2闵是指数函数，所以函数y=2凶是增函数.

【错因分析】错解中的小前提“y=2国是指数函数”是错误的，函数y=2区不是指数函数，而是一个分

段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论.

【试题解析】对于指数函数>=当a>1时是增函数，当0<a<l时是减函数，故当xe@+8）时,

>，=尸=不是增函数；当xe（Y,O］时，），=2'=（3工是减函数.

,易错点击

演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.

■,即时巩固

3.某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显

然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.非以上错误

【答案】C

【解析】•••大前提的形式是：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃

白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比不符合三段论推理形式，...推理

形式错误.

【名师点睛】演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此,

分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.

错点4反证法误区推理中未用到结论的反设

■_■

■._________»>

供幽分M

5已知实数0满足不等式(20+1)⑦+2)<0用反证法证明:关于X的方程2x+5-p2=0无实

数根.

【错解】假设方程三―2x+5-02=0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+l)⑦+2)<0,解得

-2<p<-1,而关于x的方程x2-2x+5-p2=0的根的判别式/=4(p2—4).

•：-2<p<-i-,：.-<p2<4,.•./<0,即关于x的方程炉—2x+5-0?=o无实数根.

24

【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.学科&网

【试题解析】假设方程f―2龙+5—p2=0有实数根，则该方程的根的判别式4=4("—4)20,解

得2或。<—2①,而由己知实数p满足不等式(2p+l)⑦+2)<0,解得—2<。<一：②.

数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程三―2x+5-p2=o无实数根.

,易错点击

利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾,

则原命题成立.

■.即时巩固

4.用反证法证明某命题时，对结论“自然数。，6,c中恰有一个偶数”正确的反设是

A.自然数a,6,c中至少有两个偶数

B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数

C.自然数a,6,c都是奇数

D.自然数a,b,c都是偶数

【答案】B

【解析】“恰有一个偶数”的反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”，故选B.

错点5数学归纳法的应用误区—归纳假设只设不用

■-_____

侠侬1分斫

用数学归纳法证明：1+4+7+…+（3“-2）=；”（3"-l）（〃eN*）.

【错解】（1）当”=1时，左边=1,右边=1,左边=右边，等式成立.

*1

（2）假设当〃=左（左eN）时等式成立，即1+4+7+…+（3左—2）=耳左（3左—1）.

那么，当〃=左+1时，需证1+4+7+…+（3A—2）+[3（4+1）—2]=g（左+1）（3左+2）（*）.

由于等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前k+1项的和，所以左边=；（左+1）（1+3左+1）=

-（k+1）（3左+2）=右边，所以（*）式成立.

2

即〃=k+1时等式成立，

根据（1）和（2），可知等式对任何"eN*都成立.

【错因分析】错解在证明当〃=左+1等式成立时，没有用到归纳假设“当n=k（keN*）时等式成立“，故

不符合数学归纳法证题的要求.

【试题解析】（1）当〃=1时，左边=1,右边=1,左边=右边，等式成立.

*1

（2）假设当〃=左（左eN）时等式成立，即1+4+7+…+（3左—2）=万人（3左—1）.

那么，当〃…1时，1+4+7+--+（3…+[3（左+1）-2]=*31）+型+1）

111

=-（3k92+5k+2）=]（左+1）（3左+2）=2（4+1）[3（左+1）-1].

即当〃二左+1时等式成立.

根据（1）和（2）,可知等式对任何“eN*都成立.

,易错点击

判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被

应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的.

■,即时巩固

111]n

5.用数学归纳法证明:----+-----+-----+•••+(neN*).

2x44x66x82n(2n+2)4(〃+1)

【答案】见解析.

【解析】①当时,

左边=---------------=—,右边==—

2xlx(2xl+2)84x(1+1)8

左边=右边，所以等式成立.

②假设4CN)时等式成立，即有

1111k

-----1------1------1---1--------,

2x44x66x8-------2封2k+2)4(4+1)

则当左2+1时,----+----+----H----1-----------H--------------------

2x44x66x82k(,2k+2)2(左+1)[2(左+1)+2]

k1_封无+2)+1

4(4+1)4(4+1)(无+2)-4(t+lX-+2)

（k+1）2_k+1_k+1

~4（左+1XP+2）-4/+2）-4（左+1+1）

所以当户左+1时，等式也成立，

由①②可知，对于一切〃CN♦等式都成立.

错点6对复数的相关概念不理解出错

X_____,»

（典图1分M

设复数〃+历（〃，bGR）的模为贝！J（〃+bi）（tz—Z?i）

【错解】复数”+bi的模为A/片+1=,贝!Ja2~\~b2-y/3.X（a+历）（〃一bi）-a—&2i2=6z2+/?2=y/3,故（〃

+历）（a—bi）=JG.学科.网

【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z=a+bi的模

|0二1/+/,故应为d+/二3.

【试题分析】复数〃+为（a,/?£R）的模为+廿二J5,则〃2+层=3,则（〃+历）（Q—历）-a—（历）2=/

-b^a+b2^.

・易错点击

复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结

论.

邦特别提醒

1.判定复数是实数，仅注重虚部等于。是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.

2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都

是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.

3.两个虚数不能比较大小.

4.利用复数相等a+Z?i=c+di列方程时，注意〃，b,c,d£R的前提条件.

5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若4,z2ec,z；+z；=O,就不

能推出Zi=Z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.

■■即时巩固

6.若复数z满足2z+叁32,其中i为虚数单位，则2=

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.—1—2i

【答案】B

——3a—3

【解析】通性通法:设z=a+历（〃，/?£R）,则z=〃-bi,故2z+z=2（〃+历）+〃一bi=3。+历二3一2i,所以《，

b=-2

<2=1

解得〈，所以z=l—2i,故选B.

b=-2

光速解法:设z="+bi(a,6GR),由复数的性质可得z+z=2a,故2z+z=(z+z)+z,故2z+z的虚部就

是z的虚部，实部是z的实部的3倍，故z=l-2i,选B.

【名师点睛】本题考查复数的概念、加法运算、复数相等等知识，意在考查考生基本的运算能力.常以选

择题的形式考查，考生必定得分的题目之一.

，纠错笔记》

一、算法初步

1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.

2.在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；

若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的

步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.

3.循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来

编写程序.

4.关于赋值语句，有以下几点需要注意：

(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=加是错误的.

(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x,

表示用x的值替代变量y的原先的取值，不能改写为广匕因为后者表示用y的值替代变量%的值.

(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.

二、推理与证明

1.常见的类比、归纳推理及求解策略

(1)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类

对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，

如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.

(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个

体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.

2.利用综合法、分析法证明问题的策略

(1)综合法的证明步骤如下：①分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、

定理等；②转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合

适的证法可以简化解题过程.

(2)分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直

到获得一个显而易见的命题即可.

（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与

综合法，即从“欲知”想“已知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条

件和结论的途径.

3.用反证法证明不等式要把握的三点

（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面.

（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.

（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与己知事实矛盾等，且推导

出的矛盾必须是明显的.

4.反证法的一般步骤

用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定

原命题）的过程.这个过程包括下面三个步骤

（1）反设一假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真

（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾

（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立

即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.

5.应用数学归纳法的常见策略

（1）应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由〃%到〃=%+1时等

式两边变化的项.

（2）应用数学归纳法证明不等式，关键是由“来成立证〃泉+1时也成立.在归纳假设后应用比较法、

综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧.

（3）应用数学归纳法解决“归纳一猜想一证明"，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合

情推理发现结论，然后再证明结论的正确性.

三、数系的扩充与复数的引入

1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.

2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减

法相结合.

3.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集

合及平面向量是一一对应关系，即

一,一•对应

复数之=a+历---------->复平面内的点Z（a.b）

~~,对应—>

——f平面向量OZ

4.复数运算常用的性质：

(1)①(l±i)2二±③；②二i,二二-i.

1-i1+i

(2)设口二—+——i,则①IW=1；②1+口+①J。；③①二co?.

22

(3)in+in+1+in+2+in+3=0(几£N*).

l+2i_

1.复数2-i

A.1+»B.1-i

C.iD.-i

【答案】C

【解析】因为王1=空燮也=£±i±—=i±i=£!±理出==故选c.

2-i(2-i)(2+i)52-i("i)(2+i)5,人心

z+2_

2.已知复数z=-1+i,则z2+z

A.-1B.1

C.-iD.i

【答案】A

z+2_1+i

【解析】由题意得z2+z=-2i-l+i=-i-l,z+2=l+i,所以z?+z，忆_1.选A.

3.在下列命题中，正确命题的个数是

①两个复数不能比较大小；

②复数z=i-1对应的点在第四象限;

③若(/_1)+(%2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1；

④若(Z]-z2)2+(z2-z3)2=。，则Z1=z2-z3.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】Z1=1>°=Z2,所以两个复数不能比较大小错误，①错误;复数z=i-1对应的点(-1,1)在第二象

f公-1=0

限，②错误;若(公-1)+(X2+3x+2)i是纯虚数，则卜2+3工+2力0,解得x=1,即③错误;当

22

Zi=U2=0/3=-1时乌-z2)+(z2-z3)=。，即④错误;所以正确命题的个数是0.选A.

4.若复数z满足(遂+i)z=3i(i为虚数单位)，则z的共轨复数为

A.V2+iB.V2-iC.1-阴D.1+距

【答案】C

3i「

L—=——=1+J2i,_L

【解析】由(#+i)z=3^z=M+i所以z=l-®.

(1+》

5.已知i是虚数单位，则复数2=万丁的虚部是

A.-1B.1

C.-tD.i

【答案】B

【解析】由题可得,2」答=若抵=-1+i.所以复数的虚部是1.故选B.

6.已知i为虚数单位，且(1+i)z=-1,则复数z对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

111./11\

【解析】：(1+i)z=-I,：/=~T+i=~2+2\z对应的点是「词，复数z对应的点位于第二象限.

7.已知复数z=(l+2i)(a+i)(a为实数J为虚数单位)的实部与虚部相等，则|z|=

A.5B.5"

C.3#D.50

【答案】B

【解析】因为z=(l+2i)(a+i)=a-2+(2a+l)i的实部与虚部相等，

所以Q_2=2a+1,则Q=-3,

所以z=-5-5i,

则|z|=5^/2

2

8.下面关于复数z=F^的四个命题:Pi"z|=2;

P2：z的共轨复数2在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1);

「3：Z的虚部为/；

2

p4：z=-21

其中的真命题是

A.P2，P3B.P【P2C.P2，P4D.P3，P4

【答案】c

【解析】z=-y-=-1+i,则

-1—1

Pi：|z|=V2;

P2：z的共柜复数2=-1-i在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)；

Pa：z的虚部为1；

p^z2=-2i.

故真命题是.，以.选C.

9.执行如图所示的程序框图，若输入的。为24,c为5,输出的数为3,则b有可能为

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】因为输出的儿0=3,所以方=叱3,因为户24,所以匕=27,则匕=22,满足条件所以匕=17满足条件，所以

-12.故选B.

Ill1

—F—+—+…d------

10.若下图，给出的是计算24620值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是

A.i>10B.i〈10C.i>20D.i<20

【答案】A

1

【解析】由题意,i的值是从1开始，且执行5=、+区由输出结果得i>10时满足条件.故选A.

11.习近平总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”:0,2,4

,8,12…来源于〈乾坤谱〉中对〈易传>“

大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾

经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n项和的程序框图.执行该程序框图，输入m=l

。,则输出的$=天一

天三

天五

地六

天七

・・・・♦•••地/I

天九

••地卜

大衍图

A.100B.140

C.190D.250

【答案】C

【解析】由题意得:程序的功能是计算当输入“10时S的值:

计算可得

5=Z-(8+24+48+80)+-2(4+16+36+64+100)=190

故选

-2(8+24+48+80)+2-(4+16+36+64+100)=190,C.

12.如图所示的程序输出结果为的血=1320,则判断框中应填

A.i>9B.i>10C.210D.i<9

【答案】B

【解析】按照程序框图执行如下:sam=Li=12-sum=12,i=11-,sum=12x11=132t=10.

因为输出的结果为5戈加=132,

故此时判断条件应为:i210.

13.宋元时期数学名著〈算学启蒙〉中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹

何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5,2，则输出的九=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

一515,15

5H=—,b—44

【解析】由题可得，因为Q=5力=2,有"=1以=22=4.因为2不成立，所以

151545,454545135,135

n=2,a=——H---------力=8,——<8——H-----------,b-----<16

24=4因为4不成立，所以九=3,a=48=8=16,因为8不成立，所以

135135405,405

4,a=------F----------,b-----<32

后816=16=32.因为16成立，所以输出几=4.故选C.

14.用秦九韶方法求多项式/0)=12+35汽-8/+79/+6/+5好+3/在％=-4的值时『2的值为

A.34B.220

C.-845D.3392

【答案】A

［解析］因为fO)=((((((3x+5)x+6)x+79A-8)久+35)x+12,因为x=-4,所以%=3,%=-7,v2=34

故选A.

15.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小

组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三

人按数学成绩由高到低排列，正确的是

A.甲、乙、丙B.甲、丙、乙

C.乙、甲、丙D.丙、甲、乙

【答案】B

【解析】甲和三人中的第3小组那位不一样,说明甲不在第3小组;三人中第3小组那位比乙分数高:说明

乙不在第3组，说明丙在第3组，又第3组成绩低于第1组,大于乙，这时可得乙为第2组,甲为第1组，那么

成绩从高到低为:甲、丙、乙，故选B.

16.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指〈孙子算经》中记载的算筹，古代是用算

筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表

示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，

个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是

।L,则1227用算筹表示为

IIIIIIIIIIIIHITnmim螟式

一=三三三上』情式

中同台代的口器勒叫

A.」一二HB.一II二九

c.I—…D,J="」1

【答案】B

【解析】由题意得千位的1用算筹表示为“一”选B.

17.周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，

下面是关于他们各自在做的事情的一些判断：

①甲不在看书，也不在写信；

②乙不在写信，也不在听音乐；

③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；

④丙不在看书，也不在写信.

已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是

A.玩游戏B.写信C.听音乐D.看书

【答案】D

【解析】由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在听音乐时，丙在玩游

戏；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信.

可列表如下：

可列表如下：

当甲玩游戏时，则乙在看书，如表2.

看书写信听音乐玩游戏

甲XX△

乙△XX

丙XX△

T△

故选D.

18.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他

三人的成绩.然后，甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰

好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是

A.甲没过关B.乙没过关

C.丙过关D.丁过关

【答案】B

【解析】因为甲说:我们四人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;所以四人级有且只有

两人过关.两不过关,又因为，丙说:甲乙丁恰好有一人过关,不过关的情况有三种可能:甲乙、甲丁、乙丁,

根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关,可见乙丙丁中有两人不过关，不过关的可

能的情况有三种:乙丙、丙丁、乙丁，结合以上六种得况，同时成立的是乙丁不过关，所以一定正确的结论

是乙没过关，故选B.

X1X2X3

—〉b--,c—

19.若久1，久2,久3e（°，+8）,设。=久2=彳3=4,则a,瓦C的值

A.至多有一个不大于1B.至少有一个不大于1

C.都大于1D.都小于1

【答案】B

【解析】假设a，"的值都大于1,则abc>l,

/比2x3

这与。儿=久2x3久1=1矛盾，

假设不成立，即a，瓦c的值至少有一个不大于1.

20.在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位（如1与

2,2与3）上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置

上，则4号位置上坐的是

/h*小方小马小张小李小周

体育兴趣快球.网球.足球，推球放球,棒球,击创,网潭,修球,排球,跆拳道•击

爱好羽毛球胎季道乒乓球足球羽毛球剑，自行车

A.小方B.小张

C.小周D.小马

【答案】A

【解析】由题可得,因为小林坐在1号位置上:根据相邻座位的人有共同的体育兴趣爱好，所以2号位置上

坐小马的话，则3号位置只能坐小李，所以6号位置只能坐小张手斤以4号位要与3、5号位置有共同的兴

趣爱好，则只能是小方.故选A.

21.祖晒是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理:“嘉势既同事，则积不

容异”.这里的“幕”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水

平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线

x2y2

-----=l（a>0,b>0）

型冷却塔是曲线b2与直线久=o,y=o和y=b所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得,

如图所示.试应用祖眶原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为.

Ana^b

【答案］M

【解析】如图点3在双曲线上，令4（%，%）刻苦一笔=1；而点B在双曲线的渐近线上，可得8（警,先）；

求得如图所示圆环的面积S=MxJ-（等『X（（等）'+°2-（V）2>7m2ma*;由祖唬原理可知:此冷

加塔的体积/=%+V^=na2b+^na2b=

22.学校艺术节对同一类的4BC。四项参赛作品，只评一项一等奖,在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对

这四项参赛作品预测如下：

甲说:必作品获得一等奖”；乙说:“C作品获得一等奖”

丙说广心刀两项作品未获得一等奖”丁说:“4或。作品获得一等奖”

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是.

【答案】C

【解析】若4获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的，与已知矛盾;若B获得一等奖,则四人的话是错误的，与

已知矛盾;若C获得一等奖,则乙、丙的话是对的，满足题意;所以获得一等奖的作品是C

23.“求方程+（?=1的解”有如下解题思路:设““"曰+1），则八幻在R上单调递减，且f（2）=l,所以

原方程有唯一解久=2.类比上述解题思路，不等式--（久+2）>（久+2成-/的解集是.

【答案】(-8,_l)U(2,+8)

【解析】*6_(X+2)>(久+2)3_尤2可化为1+刀2>(%+2)3+(X4-2),

构造函数/'(*)=/+X,则f(x)在R上单调递增，

所以原不等式等价于f(')>fix+2),则公>X+2,

所以x<-1或久>2,故不等式的解集为(-8,-1)u(2,+8).

24.已知，观察下列不等式：

--------->晒Q2a3

Q］+_______

-------------2晒a2a3a4

+。3+…+册

照此规律，当neN+522)时，n-.

［答案］晒。2”4

【解析】由题意:知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数，即几个数算术平均数不小于

它们的几何平均数,归纳推测当几eN+(n>2)时，…岂］陪西，故答案为丑/F

25.如图甲所示,在直角三角形ABC中,4；1AB,ZD_LBC,D是垂足，则有Z1B2=BD•BC,该结论称为射影定理,如

图乙所示，在三棱锥A-BCD中/D_L平面ABC/。，平面BCD,。为垂足，且。在ABCD内，类比直角三角形中

的射影定理，则有.

h

BD

图甲图乙

【答案］S/BC=SABCO-S&BCD

【解析】结论:S/C=SABCO-SABCD.

证明如下:

A.

在ABCD内，延长DO交BC于瓦连接AE,

：A£>_L平面ABC,8Cu平面ABC,

：.BCLAD,

同理可得方Cl/。，

'.'AD.AO是平面AOD内的相交直线，

...5C1平面AOD,

•二4£、DEu平面.40D,

.,.AE13C目DE13C,

\"AAED中E41.”>/01DE,

..•根据题中的已知结论相A^=EO-ED,

两边都乘以(：左)2得©8C-钻y=QBC-E。)•&BC-ED).

：AE.EO、石。分另!|是△ABC、ABCO、△38的边BC的高线,

111

.SMBC=53C/E，SABCO=—BC-EO,S^BCD=-BC-ED

；.有S/BC=SABCO$xBCD,

故答案为:S/C=SARCO・SABCD.

26.已知2%+四分别求的)出1)次-1)+/(2)/-2)t/(3),然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

【答案】见解析

1

(x)=----------

【解析】已知/2、+&,

1_卜11+1_M

所以汽0)"1)=2。+招2】+隹2{_1)忧2)=2-1+”22+V22,

1.+」_=也

X-2)+/(3)=2-2+V223+722,

A/2

归纳猜想一般性结论：A-x)+/(l+x)=2.

证明如下：A-

11_2X1_.y/2-2z+l_V2-2X+1_V2

x+x+1x+x+1

x)+fix+l)=2-+^22+^2l+V2-224-^/22、+】+亚次(次A+l)2

]

r[S=­CLn—(—)n1+2(九

27.已知数列｛%｝的前几项和n2为正整数).

(1)令%=2%%求证数列｛勾｝是等差数列，并求数列｛册｝的通项公式；