1月大数据模拟卷02（广东专用）（解析版）高中数学

1月大数据精选模拟卷02（广东专用）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.若复数z=l-i,510|----1=(）

A.万B.2C.272D.4

【答案】A

【详解】

小1mz\—i—i~—i.

由z=1-i，仔----=----=-------=-1-i,

1-zii

则导=卜1一力=J(T)2+(-1)2=6,故选：A.

1-Z

2.设集合“=卜12—3x—4<0卜^={x||x|<l},则McN等于()

A.(-1,1]B.[-1,1)C.[0,1)D.(0,1]

【答案】A

【详解】

因为M=1x|x2-3x-4<oj=|x|(x-4)(x+l)<o|=1x|-l<x<4j,

N=卜料<1}=1x|-l<x<l|,

所以McN=(—1,1].

3.在△ABC中，点尸为AC中点，点。在上，且而=3反，则丽=()

1一1一1一1——

A.-AB+-ACB.一一AB--AC

4444

C.-AB--ACD.--AB+-AC

4444

【答案】B

【详解】

1

•.•点P为AC中点，，=

2

•.•赤=3反，.・丽-丽=3（。呵，

.♦.AD=-AB+-AC,

44

DP=AP-AD=-AC--AB--AC=--AB--AC,

24444

4.的展开式中的常数项为160,则。的值为（）

IX）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【详解】

、6

展开式的通项公式为CT=C；(GC)6T=。；尸(_1)，产2『

ax——7

令6—2r=0,解得厂=3,

所以Tr+y=C；*-3（_1）3=160,解得a=—2.

5.函数/"）=4（2'-2'）的图象大致为（）

丁+/

【答案】B

【详解】

/0=4（2-2'）的定义域为:

{X|XHO}关于原点对称,

X4+A?-4

2

4(2^-2v)-4(2v-2-x)

因为/(—X)=~f(x),所以/(%)是奇函数,

44-4

(r)+(r)X+X

图象关于原点对称，排除AC,

由/⑴=排除选项D,所以选项B正确,

1+1

6.已知〃<，〃<0,则下列不等式正确的是(

11

A.—<—B.m2>n2

nm

n

C.log“(-m)>log.(f)(0<a<1)D.]_

3

【答案】C

【详解】

由〃VV0,

得工〉,，故A错误;

nm

m2<n2,故B错误;

-n>-m>0，

又利用对数函数的单调性可知:

函数/(x)=log“x单调递减,

所以log“(-m)>logo(-ri),故C正确;

g(x)=K、

利用指数函数的单调性可知:单调递减,

7

所以(g)，故口错误.

7.已知抛物线C：产=2/7无(〃>0)的焦点为77,准线为/,过尸的直线交抛物线于4，B两点，作AM_U,

BN上l,垂足分别为M，N,若pV困=4,加F|=殍，则|AB|=()

1016

A.—B.4C.5D.—

33

【答案】D

【详解】

3

解：如图所不,

由题意知：/：x=—g,

设A（x.，X）,3（/,必），直线AB：x=my+-^,

则N（_5，y2），

丁=2Px

由VP，

x=my——

1•2

得：y2-2pmy-p2=0,

「•X+%=2p根，y%=一〃2，

...\MFf=/+y2=16,|阿=p2+£号，

04=（16"）仁一P1,

解得：P=2,

设抛物线准线/交x轴于K,

217T

贝ij|KF|=〃=2,在中，可得cos/M/K=z=Q，ZMFK=-

是等边三角形,

・，・tn=―—=4G

呜…+”亍

4

16

|A5|=x,+x+p=m(y+%)+2p=

2T

8.在数列｛/｝中，如果存在非零的常数T,使得％+7=%对于任意正整数”均成立，那么就称数列｛%｝为

周期数列，其中T叫做数列｛《,｝的周期.己知数列｛%｝满足七“2=区用一x"|(x”eN),若玉=1,x,>l,

Z=l,毛=纵。7°)，当数列｛七｝除去前三项之外的周期为3时，则数列｛当｝的前2020项的和S2020为

()

A.673B.678C.1350D.1351

【答案】D

【详解】

：%+2=氏+1—x,,|(x”GN),且｛七｝除去前三项之外的周期为3,

:.x6=|x5-x4|=|a-l|,x7=x4=1,

'.■Xy=|x6-x5|,Hpi=||a-l|-«|,可得即aNl,；.X6=aT，

•/xs=x5=a,且七=|七一玉,|，即,解得a=l,

七=1,vx5=|x4-x3\,x,>1,X3=2,

一「4=后一回即<1=3一司

可得=3，

x3-|x2-x]\'2=\X2-1|

S2020

则=玉+9+&+672(X4+/+x6)+x4

=1+3+2+672(1+1+0)+1=1351.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.空气质量指数AQ/是反映空气质量状况的指数，AQ/指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如

表:

AQI指数值0~5051-100101-150151~200201-300>300

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

如图是某市12月1日〜20日AQ/指数变化趋势，则下列叙述正确的是()

5

A.这20天中AQ/指数值的中位数略高于100

B.这20天中的中度污染及以上的天数占工

3

C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好

【答案】AD

【详解】

对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100,

第11个数据约为120,因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确:

对B：这20天中，AQ/指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占工，故B错误；

4

对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6H开始至15II越来越差，故C错误；

对由折线图可知，上旬大部分AQ/指数在100以下，中旬AQ/指数大部分在100以匕故上旬空气

质量比中旬的要好.故D正确.

10.若a>0力>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的有（）

A.ah<\B.4a+4b<42

2221

C.a+h>2D.—a"F—b>2

【答案】ACD

【详解】

解：对于A,由基本不等式得，2=。+。22而则。6勺1，故A正确；

对J,B,令a=1,。=1时，Y[Q+，故+\[b<A/2不成'/->故B错误；

对于C,由A选项得所以/+/=3+加2-2。。=4-2次;22,故C正确;

21\

--

对于D,根据基本不等式的“1”的用法得人

。7

6

=2d1+y-j>—42>/2=—+y/2>2,故D正确；

221ab)222

11.已知函数/(x)=bin尤一cosx|(sinx+cosx),xeR,则()

A./(x)在上单调递增

B./(x)是周期函数，且周期为2兀

C./(x)有对称轴

D.函数g(x)=〃X)+1在(-71,71)上有且仅有一个零点

【答案】BCD

【详解】

(454)

当sinx>cosx时即［彳+2攵乃,-^-+2%乃J(左cZ),

/(x)=|sinx-cosx|(sinx+cosx)=(sinx-cosx)(sinx+cosx)

=sin2x-cos2x=-cos2x

3兀兀

当sinxKcosx时即x£----卜2k7i,—F2k7i(ZwZ),

_44J

/(x)=|sinx-cosx|(sinx+cosx)=(cosx-sinx)(sinx+cosx)

=cos2x-sin2x=cos2x，

_TC_,54_.

-cos2x,—h2kjv<x<---h2kji

所以/(X)=,?4(AeZ),

37r

cos2x,----F2k7r<x<——F22万

44

作出/(x)图象，如图

7

如图在上单调递减，故选项A不正确；

/（%）是周期函数，且周期为2兀，故选项B正确；

/（X）有对称轴，为x=：+E（keZ）,故选项C正确；

函数g（x）=/（x）+l在（-兀,兀）上有且仅有一个零点，为兀，故选项D正确，

12.（多选）如图，在正方体A8CO-中，A〃_L平面ABQ口垂足为“，则下面结论正确的

是（）

A.直线4"与该正方体各棱所成角相等

B.直线A”与该正方体各面所成角相等

C.垂直于直线4口的平面截该正方体，所得截面可能为五边形

D.过直线A"的平面截该正方体所得截面为平行四边形

【答案】ABD

【详解】

8

连接4C,根据正方体的体对角线与面对角线垂直，可得AC_LA旦，A.CLAD,即AC，平面ABQI,

所以直线4”与直线4c重:合，

对于选项A：直线AC与该正方体各棱所成角相等，均为arctana，所以直线A"与该正方体各棱所成

角相等，故选项A正确；

对于选项B：因为直线4c与该正方体各面所成角相等，均为arctan^Z，即直线A”与该正方体各面所

2

成角相等，故选项B正确；

对于选项C：垂直于直线4"的平面与平面Agq平行，截正方体45CO-A/iGR所得截面为三角形

或六边形，故选项C不正确；

对于选项D：过直线4C的平面截该正方体所得截面为％ACG为矩形，即过直线A"的平面截该正方体

所得截面为平行四边形，故选项D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=sinx+2cosx在点（下,一2）处的切线方程为.

【答案】x+y+2-〃=0

【详解】

由y=sinx+2cos%得y'=cosx—2sinx,

则曲线y=sinx+2cosx在点（不，一2）处的切线斜率为左=/仁"=cos万一2sin乃=一1,

因此所求切线方程为y+2=—（x—万），即x+y+2—万=（）.

14.已知平面向量工5满足同=1,W=2,且（M—X）_L万，则2与5的夹角为.

7[

【答案】-

3

【详解】

:.[a-bya=a~-ab=|«|2-|«|-|^|cos<J,^>=l-2cos<万,5>=0,

—•]—♦ri

cos<a,b>=—,又<M,/?>c[0,4],，<%/?>=一,即日与5的夹角为一.

2L」33

15.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人

9

民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支

援,则甲被选中的概率为.

【答案】4

【详解】

解：某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，

基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6个.

甲被选中包含的基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁）共3个，

31

甲被选中的概率为P~~2~~■

16.设抛物线y2=2px（〃>0）的焦点为尸（1,0）,准线为/,过焦点的直线交抛物线于A6两点，分别过

A6作/的垂线，垂足为C,。，若耳=4忸耳，则尸的面积为.

25

【答案】-5

4

【详解】

解：抛物线），2=2a（〃>0）的焦点为尸（1,0）,所以，=1,所以，=2,

如图所示，过点8作8M/〃，交直线AC于点

由抛物线的定义知|AFblAC\BF\=]BD\,且|AR|=4|3R|,

所以|AB|=5|BF|,

3

所以MM=g|AB|,怛陷=4怛目，

可知：ZAFx^ZBAM,

BM4

所以直线AB的斜率为k=tanNBAM=——=

AM3

4

设直线A8的方程为y=1（x-l），点A。，yj,B（X2,%）,

4,八

y——（x-1）17

由「3,消去y整理得4/—17X+4=0,所以西+々=一，

.lx4

25

所以|AB|=巷+X）+p=—,

4

10

254

所以|CD|=|AB\sinZBAM=-x-=5,

所以△CD厂的面积为，x5x2=5,

2

25

故答案为：号,5.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①acosB=Z?sinA,②k十及ac=a2+片，③sinB+cos8=后这三个条件中任选一个，补充

在下面的问题中，并解决该问题.

问题：已知AABC的内角A，B,C的对边分别为。，b,c,△ABC的面积为2,a=2,求b.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【详解】

若选择①acos3=bsinA,由正弦定理得sinAcosB=sinBsin4.

因为sinA#0,所以cos3=sin8，tanB=1.

因为Be(O,7i),所以8=1.

S.ABc=；acsinB=2，

因为a=2,sin8=—>所以c=2\/2.

由余弦定理得〃=a2+c2=2accosB=4+8-8&x』l=4，

2

所以b=2.

II

若选择②b2+缶c="+c,2,由余弦定理cosB=.

2ac2

因为Be（0,7i）,所以8=?.

SAABC=gacsin8=2,

因为a=2,sinB=2,所以C=2J5.

2

由余弦定理得b2=a2+c2=2accos8=4+8-872x—=4.

2

所以匕=2.

若选择③sinB+cosB=血，由和角公式得血5皿（8+弓）=血，

所以sin（8+；]=l.

因为Be（O,兀），则8+

ITIT7T

所以8+—=一，所以8=—.

424

SJBC=gacsin8=2,

因为a=2，sinB=—,所以°=2夜.

2

由余弦定理得〃=〃+/=2accos8=4+8—8及xl=4，

2

所以b=2.

18.已知数列｛2｝的前〃项和S“满足S"=加J"，数列｛bg3与｝是公差为一1的等差数列，4=L

(1)求数列｛4｝,｛4｝的通项公式;

(2)设c“=%”+]+b2n+｝,求数列｛q,｝的前〃项和Tn.

【详解】

12

31一〃/曰S],a=1

（1）由s“得见

S,,-Sn_i,n>2

c3-1.

当〃=1时,G=E=-y-=1，

当〃22时,an=S“一S_=3〃_2,所以〃=1满足〃22时的情况,

n]22

所以4=3〃-2,

因为logsd=log,Z?!-=l—〃，所以a=3「"

(2)因为%=%用+与用=3(2〃+1)—2+A。"叫=6〃+1+(J

1

所以<=(7+6〃+1)〃।§二，所以=3/+4〃+:11I

9"

19.如图所示，四棱锥S—ABCD中，AB//CD,AD±DC，CD=2AD=2AB=4,SA=SB=SD=^-

（1）求证：8C_L平面S8D；

（2）若点M是线段SC上的动点，平面与平面S3。所成锐二面角的余弦值为叵，求40.

29

【详解】

解：(1)证明：因为AB〃C£>,AD±DC，AB=AD=2^

所以BD=26，BC=2丘，

乂因为CD=4,所以。。2=3。2+3。2,

故BCLBD,

取的中点。，连接。4，OS,

13

因为SA=SB=S£>=指，

所以SO,80,ASOB冬ASOA,

所以S0_LQ4,

因为OAnOB=O,所以SO,平面ABCD，

所以BCLSO，

又因为SOcBD=O,所以3CL平面S8D.

(2)如图，以A为原点，分别以A。，和垂直平面A8CO的方向

为》,)，z轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz,

X

则A（0，0,0）,8（0,2,0）,C（2,4,0）,。（2,0,0）,S（l.1,2）,

设西=）无（0W2W1）,则“（2-44-3/1,24）,

由（1）得平面S3。的一个法向量为万心=（2,2,0）,

设n-（x,y,z）为平面ABM的一个法向量，

A8=（0,2,0）,血=（2-;1,4-3424）

n-AB=0,

由V

[ii-AM=0,

12y=0,

得4

[（2-/l）x+（4-32）y+2/lz=0,

不妨取方=（220,>1-2）.

设平面SBD与平面ABM所成的二面角为。，

▼,八ri-BC4A

所以c°E丽=2&a储+（"2）2

14

立I病

，522—42+4129

整体得6万+4—1=0,解得4=』或/1=—,（舍去）,

32

所以而=（g,3,g）,丽=后+9+[=当^.

20.为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随

机抽取A型和8型设备各100台，得到如下频率分布直方图:

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表:

超过2500小时不超过2500小时总计

A型

8型

总计

根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？

（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台,

其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望:

（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设

备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计）,4型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，

A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应

选择哪种型号的设备，请说明理由.

15

n^ad-bey

参考公式：K2,n-a+b+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(Z>+d)

参考数据:

P(K”)0.0500.0100.001

攵03.8416.63510.828

【详解】

解：(1)由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有100x(0.()(X)6+0.(X)05+().(X)03)x500=70台,

则A型不超过2500小时的有30台，同理，8型超过250()小时的有

100x(0.(X)06+().(X)()3+0.0001)x500=5()台，则8型不超过2500小时的有50台.

列联表如下:

超过2500小时不超过2500小时总计

A型7030100

8型5050100

总计12080200

因为/-200x(70x50-30x50)2

»8.333>6.635，

-100x100x120x80

所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.

(2)由(I)和分层抽样的定义可知A型设备有3台，8型设备有5台,

所以X的取值可能为0，1,2,3,

P")年啧唳=1)罕。

21

P(X=2)=与CC—15，P(X=3)=VL」i

'，C；56'7Cl56

所以X的分布列为

X0123

16

515151

P

28285656

所以E（X）=Ox上+lx"+2x"+3X-L=2.

\）282856568

（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：

A型设备每台更换的概率为0.3,所以10台A型设备估计要更换3台；

B型设备每台更换的概率为0.5,所以10台B型设备估计要更换5台，

选择A型设备的总费用y=（10+3）xl+10x2x0.75x2500xl（r*=16.75（万元），

选择8型设备的总费用%=（10+5）x0.6+10x6x0.75x2500x1（）7=20.25（万元），

所以选择A型设备.

21.已知椭圆C：二+4=1（。＞力＞（））的焦距为2百，过左顶点且斜率为巫的直线和以椭圆的右顶

a2b215

点A为圆心，短半轴为半径的圆相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作两条互相垂直的直线AM和AN,分别交椭圆。于M，N两点，问X轴上是否存在一

定点。，使得NMQA=NNQA成立，若存在，则求出该定点。，若不存在，请说明理由.

【详解】

（1）设右焦点（。,0），右顶点A（a,0）,

因为2c=26，所以c=＞/3，

因为椭圆的左顶点（一a,。），

故直线方程为y="5（x+a）,即x-JFy+a=0,

a+a,,3

由题导知7~二=b,~-h-=3>

Vl+15a

解得。=2,b=T,

所以椭圆的方程为工+尸=1.

4-

（2）由（1）可知右顶点A（2,0）,且过点A的直线AM和AN的斜率存在且不为0,

17

设直线AM和AN的方程分别为y=H%-2)和y=—£(x—2),设N(x,y),

KNN

y=k^x-2)

联立《2,得(1+4/)*2一16及2%+16公一4=0,

二r+>2=1

14

因为直线AM和椭圆C交于A，M两点,

16公一48P-2

所以2与