广东省揭阳市张武帮中学2022-2023学年高一数学文联考试题含解析

广东省揭阳市张武帮中学2022-2023学年高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4参考答案：B【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．【解答】解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．2.已知，则的值是（

）A．

B．

C．2

D．－2参考答案：A3.函数的图象恒过定点________.参考答案：(2,-2)略4.已知全集

Z,那么等于(

)

参考答案：C略5.下面的函数中，周期为的偶函数是（

▲

）

A．

B.

C．

D．参考答案：C略6.如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()参考答案：C当a>0时，直线y＝ax的斜率k＝a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a>0，此时，选项A、B、C、D都不符合；当a<0时，直线y＝ax的斜率k＝a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a<0，只有选项C符合，故选C.7.若a,b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是（

）

A．平行

B．相交

C．b在α内

D．平行、相交或b在α内

参考答案：D8.已知平面向量=（3,1），=（x,-3），且⊥，则x等于（

）A．3

B.1

C.-1

D.-3参考答案：【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.B

解：=（3,1），=（x,-3），由⊥?3x+1×（-3）=0，即x=1．故选B．【思路点拨】由两向量垂直，直接用横坐标乘横坐标加纵坐标乘纵坐标等于0求解．9.若方程的解集为,方程的解集为,则的关系为（

）

参考答案：B10.（5分）若向半径为1的圆内随机撒一粒米，则它落到此圆的内接正方形的概率是（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 几何概型．专题： 计算题；概率与统计．分析： 首先确定正方形的面积在整个圆中占的比例，根据这个比例即可求出豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率．解答： 由题意，圆的面积为π，由勾股定理得圆内接正方形的边长，其面积为2，故豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是．故选：B．点评： 此题主要考查了几何概率、圆的面积求法以及正方形的特殊性质，求出两图形的面积是解决问题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数，有下列命题：①函数的图象关于轴对称；②函数的图象关于轴对称；③函数的最小值是0；④函数没有最大值；⑤函数在上是减函数，在上是增函数。其中正确命题的序号是___________________。参考答案：①③④略12.已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为________________.参考答案：13.函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，则=．参考答案：3【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由偶函数的定义域关于原点对称，可求a及b的值，然后把a及b的值代入函数f（x）进行计算即可【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，∴a=2a﹣2，解得a=2，由f（x）=f（﹣x）得，a﹣2b=0，即b=1，则f（x）=2x2+1．故=．故答案为3．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，解题中不要漏掉对函数的定义域关于原点对称的考虑14.若x>0，则函数的最小值是________．参考答案：215.若tanα=,则tan(α+)=

.参考答案：3略16.y=﹣x2+2ax+3在区间上为减函数．则a的取值范围为．参考答案：a≤2【考点】二次函数的性质．【分析】函数y=﹣x2+2ax+3的图象开口朝下，且以直线x=a为对称轴，由y=﹣x2+2ax+3在区间上为减函数，可得a的取值范围．【解答】解：函数y=﹣x2+2ax+3的图象开口朝下，且以直线x=a为对称轴，若y=﹣x2+2ax+3在区间上为减函数．则a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点为整点，若函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一阶整点函数的是．参考答案：①④【考点】函数的图象．【分析】根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，它只通过一个整点（0，0），故它是一阶整点函数；对于函数g（x）=x2，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h（x）=，当x=0，﹣1，﹣2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ（x）=lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数，故答案为：①④．【点评】本题主要考查新定义，函数的图象特征，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知=（2，3），=（﹣1，2）当k为何值时，（Ⅰ）k+与﹣3垂直？（Ⅱ）k+与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？参考答案：k+=k（2，3）+（﹣1，2）=（2k﹣1，3k+2），﹣3=（5，﹣3）（1）k+与﹣3垂直，得（k+）?（﹣3）=10k﹣5﹣9k﹣6=k﹣11=0，k=11（2）k+与﹣3平行，得15k+10=﹣6k+3，k=﹣此时kk+=（﹣，1），﹣3=（5，﹣3），所以方向相反．19.如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin20.定义对于两个量A和B，若A与B的取值范围相同，则称A和B能相互置换．例如f（x）=x+1，x∈和，易知f（x）和g（x）能相互置换．（1）已知f（x）=x2+bx+c对任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），又，判断a与b能否相互置换．（2）已知对于任意正数a，b，c，f（a），f（b），f（c）能构成三角形三边，又，若k与g（x）能相互置换，求m+n的值．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据定义，即函数的值域相同，由此即可判断；（2）利用三角形三边的性质，得f（a）+f（b）＞f（c），通过分类讨论求得到三边之间的关系不等式，解出不等式的解集，可得k的范围，利用函数的值域相同，即可函数的值域相同，【解答】解：（1）已知f（x）=x2+bx+c对任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），即x2+bx≥0，对任意x∈Z恒成立，∵，∴a∈∴a与b不能相互置换．（2）：∵x2+x+1＞0恒成立，f（a），f（b），f（c）为三角形三边，∴f（x）＞0恒成立，即x2+kx+1＞0（x≥0）恒成立x=0时，结论成立；x＞0时，﹣k＜x+，∵x＞0，∴x+≥2∴﹣k＜2∴k＞﹣2f（x）=1+（x＞0）由k＞﹣2①当k=1时，满足题意；②当k＞1时，f（x）∈（1，1+]，由题意知：1+1＞1+，∴1＜k＜4③当k＜1时，f（x）∈[，1），于是有2×＞1，∴1＞k＞﹣综上，实数k的取值范围为﹣＜k＜4．又，k与g（x）能相互置换，即g（x）的值域为，∵g（x）是单调递增函数，∴2m﹣=﹣，2n﹣=4，∴m=0，n=，∴m+n=．21.已知函数，.

（1）求函数的最小正周期，并求函数在上的单调递增区间；

（2）函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.参考答案：解：（1）

,,.即，

（2）由正弦的单调增区间可知：，解得，即在每个闭区间

单调递增（3）将函数y=2sinx的图象向左平移个单位，再将得到的函数图象上的所有的点的纵坐标不变横坐标缩短为原来的22.已知函数f（x）=x+．（1）求解不等式f（x）≥2x；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，求c的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）对x讨论，分x＞0，x＜0，由分式不等式的解法，即可得到解集；（2）由题意可得+x2+2m（x+）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即有（x+）2﹣2+2m（x+）≥0，令t=x+，2≤t≤，可得t2+2mt﹣2≥0，再由参数分离和函数的单调性，可得不等式的右边的最大值，可得m的范围；（3）可令t=f（x），则g（t）=0，即有方程t=f（x）有6个实根，作出f（x）的图象，可得当x＞0时，f（x）有最小值2，则方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，由二次方程实根分布解决方法，可得判别式大于0，g（2）大于0，对称轴大于2，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）f（x）≥2x，当x＞0时，x+≥2x，即有x﹣=≤0，解得0＜x≤1；当当x＜0时，x﹣≥2x，即为x+=≤0，解得x＜0．故原不等式的解集为{x|x≤1且x≠0}；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即为+x2+2m（x+）≥0在x∈[1，2]