专题11 有理数的乘法-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

第第⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）例1．（2023秋·云南红河·七年级统考期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据乘法分配律解答即可．【详解】A．；B．变形错误；C．；D．变形错误；显然A比C计算简单．故选A．【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键．例2．（2022秋·江西宜春·七年级统考期中）计算时，有以下两种方法．方法一：．方法二：．参考以上方法，计算：(1)；(2)．【答案】(1)40(2)6【分析】（1）逆用乘法的分配律计算即可；（2）利用乘法的分配律计算即可．【详解】（1）．（2）．【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键．例3．（2022·河南焦作·七年级校考期中）用简便方法计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)(3)0(4)【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；（4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可；【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．变式1．（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）计算，运算中运用的运算律为（

）．A．乘法交换律B．乘法分配律C．乘法结合律D．乘法交换律和乘法结合律【答案】D【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律．【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，故选D．【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键．变式2．（2022秋·广西七年级期中）计算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：（3）解：【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．变式3．（2022秋·重庆七年级期中）利用运算律做较简便的计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)0【分析】（1）将小数化为分数，再利用乘法结合律计算；（2）利用乘法分配律展开计算；（3）利用乘法分配律合并计算．【详解】（1）解：；（2）；（3）【点睛】本题主要考查了乘法运算律，解答的关键是掌握乘法结合律和分配律．考点5、有理数乘法的实际应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。例1．（2023春·广西南宁·七年级校考开学考试）定义一种新运算：，例如，那么的值为（）A．14 B． C．5 D．【答案】A【分析】根据题意列出算式，再进一步计算即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是理解题干中的新定义法则．例2．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款560元和640元；若合并付款，则她们总共只需付款___________元．【答案】996或1080/1080或996【分析】根据题意可知付款560元时，其实际标价为为560或700元，付款640元，实际标价为800元，分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可．【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560或560×=700（元），付款640元，实际标价为（元），如果一次购买标价（元）的商品应付款：（元）；如果一次购买标价（元）的商品应付款：（元）．故答案是：996或1080．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，注意顾客付款560元时，要分两种情况考虑：有可能原价就是560元，也有可能符合优惠②，此时的结论也会有差别，另外注意计算的准确性．例3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期中）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减(1)根据记录的数据可知该厂星期六生产自行车多少辆；(2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆；(3)产量最多的一天比产最最少的一天多生产自行车多少辆；(4)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)216辆(2)该厂本周实际生产1408辆(3)产量最多的一天比产量最低的一天多26辆(4)该厂工人这一周工资总额是70520元【分析】（1）计算平均每天产量与周六与计划出入的和；（2）先计算出该厂每天与计划出入的和，再加上一周的自行车计划产量；（3）最高一天的产量减最少一天的产量；（4）该厂一周工资=实际自行车产量超额自行车产量．【详解】（1）解：星期六生产自行车辆数：（辆）；（2）解：（辆）．答：该厂本周实际生产1408辆；（3）解：（辆）．答：产量最多的一天比产量最低的一天多26辆；（4）解：（元）．答：该厂工人这一周工资总额是70520元．【点睛】本题考查有理数运算在实际生活中的应用．认真审题，准确的列出式子是解题的关键．变式1．（2022秋·广西柳州·七年级统考阶段练习）存有酒精溶液容器的盖子不小心被打开了，第一天酒精蒸发了，第二天蒸发了剩下的，这时，容器内剩下的酒精占原来的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意列出算式，再进一步计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．变式2．（2023秋·湖南张家界·七年级统考期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（）A．﹣1 B．3 C．6 D．8【答案】A【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】第1次运算输出的结果为，第2次运算输出的结果为，第3次运算输出的结果为，第4次运算输出的结果为，第5次运算输出的结果为，第6次运算输出的结果为，第7次运算输出的结果为，第8次运算输出的结果为，归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以循环往复的，因为，所以第2020次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为，故选：A．【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．变式3．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）国庆期间，商场和商场同时做促销活动．商场的活动规则是全场一律折商场的活动规则如下表：购物金额优惠办法购物不超过200元按原价购买购物超过200元且不超过500元的部分按原价打9折购物超过500元的部分按原价打8折(1)小聪去商场购物元，按活动规则实际应付多少元；(2)小明准备购物元，请通过计算帮小明分析，该去哪个商场购买合算．【答案】(1)元(2)小明准备购物元，该去商场购买合算．【分析】（1）根据商场优惠方案列式计算即可；（2）根据两个商场优惠方案列式计算即可求解．【详解】（1）解：∵商场的活动规则是全场一律9.5折∴实际应付（元）（2）去商场，实际应付（元）去商场，实际应付（元）∵∴小明准备购物元，该去商场购买合算．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解商场优惠方案，列出算式是解题的关键．考点6、有理数乘法的新定义问题【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）已知为有理数，定义运算符号为※：当时，；当时，．则等于（

）A．5 B．1 C． D．10【答案】A【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值．【详解】故选：A【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．例2．（2023秋·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则________．【答案】【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：∵，∴，故答案为：2．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式1．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解．【详解】解：由题意，得：，∴；故选D．【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．变式2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算______________．【答案】【分析】根据新定义的含义可得，再计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是新定义运算，理解新定义的含义，再列出正确的运算式是解本题的关键．变式3．（2022秋·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）记符号表示不超过x的最大整数，如，，．(1)分别写出和的值；(2)计算：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用符号的意义解答即可；（2）利用符号的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可．【详解】（1），；（2）．【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的乘法法则，理解并熟练利用符号的意义是解题的关键．考点7、倒数的概念与运用【解题技巧】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．例1．（2023·广东惠州·校联考二模）的倒数是（

）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．【详解】解：的倒数是，故选：B．【点睛】本题考查倒数，熟知倒数的定义是解答的关键．例2．（2022秋·山东七年级期中）下列说法正确的是（

）A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1B．一个假分数的倒数一定小于本身C．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1D．如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1【答案】D【分析】利用特殊值分别分析再结合倒数的定义分析得出答案．【详解】A、因为1的倒数是1，1和1互为倒数，故说法错误；B、一个假分数的倒数小于或等于本身，故此选项错误；C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除1外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错误；D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为0的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了倒数的定义，利用特殊值分别分析是解题的关键．变式1．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）数的相反数为的倒数，则的值为（

）A．2022 B． C． D．【答案】D【分析】先求出的倒数，再求出倒数的相反数，可得a值．【详解】解：的倒数为，∴的相反数为a，即为，故选D．【点睛】本题考查了相反数和倒数，解题的关键是掌握各自的定义和求法．变式2．（2023·河北唐山·统考模拟预测）与互为倒数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据互为倒数的两数之积为1，进行判断即可．【详解】解：，∴的倒数为：；A、，不符合题意；B、，符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查有理数的运算，倒数．熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．变式3．（2023·河北沧州·校考三模）若，则下列说法正确的是（

）A．与互为倒数 B．与互为相反数 C．与相等 D．与相等【答案】A【分析】根据倒数的定义求解即可．【详解】解：∵，∴与互为倒数，故选A．【点睛】本题考查了倒数，熟知倒数是指两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数是解题的关键．A级（基础过关）1．（2023·天津河东·统考二模）计算的结果等于(

)A． B．2 C． D．15【答案】A【分析】按照有理数的乘法法则计算即可．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．【详解】解：原式，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．注意符号不要搞错．2．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）下列式子计算结果和相等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各个式子进行计算，再对计算结果进行比较即可得出答案．【详解】解：，，，，，下列式子计算结果和相等的是，故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）与实数的绝对值的积为的是（

）A．2023 B． C． D．【答案】D【分析】先求出的绝对值，再根据有理数乘法计算法则求解即可．【详解】解：，∵，∴与实数的绝对值的积为的是，故选D．【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．4．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）若，则（

）0A．> B．< C．= D．≥【答案】A【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即可．【详解】解：∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为0．5．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）下列算式中，积为正数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数”逐项判断即可求解．【详解】解：A.积为负，不合题意；B.积为正数，符合题意；C.积为0，不合题意；D.积为负数，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，熟知“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数”是解题关键．6．（2023·山东临沂·统考二模）的倒数的相反数是()A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据倒数的定义以及相反数的定义解答即可．只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数．【详解】解：的倒数是，的相反数是．∴的倒数的相反数是．故选：D．【点睛】本题主要考查了倒数以及相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．7．（2023春·福建福州·九年级校考期中）对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据倒数的定义解答即可．【详解】解：∵实数的倒数不存在，∴．故选：D．【点睛】本题考查倒数的定义：两个数的乘积是，则它们互为倒数，没有倒数．理解倒数的意义是解题的关键．8．（2022绵阳市·七年级假期作业）某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，九折优惠；（3）一次购买超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．某公司分两次在该供应商处购买原料，分别付款7800元和25200元．如果该公司把两次购买的原料改为一次购买的话，那么该公司一共可少付款（

）A．3360元 B．2780元 C．1460元 D．1360元【答案】D【分析】首先确定第二次购买时应付的钱数（打折前），计算出一次性购买时的金额，减去前两次购买时所花的钱数即可．【详解】解：如果购买金额是3万元，则实际付款是:30000×0.9=27000元>25200元；∴第二次购买的实际金额不超过3万，应享受9折优惠：25200÷0.9=28000，∴两次购买金额和是:7800+28000=35800元，如一次性购买则所付钱数是:30000×0.9+5800×0.8=31640元，∴可少付款7800+25200-31640=33000-31640=1360（元）．故选D．【点睛】本题主要考查分段付费问题，确定第二次购买时应付的钱数（打折前），是本题的解题关键．9．（2022·新安七年级月考）计算时，可以使运算简便的是()A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律【答案】B【分析】根据乘法分配律简便运算即可.【详解】用乘法分配律可简便运算，==-12+27-6=9故选B【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算技巧是解题的关键.10．（2022·山西吕梁·七年级期末）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23=276；图2表示的是123×24=2952．则图3表示的乘法算式是___．【答案】31×42=1302【分析】通过观察发现，从左到右是一个乘数的高位到个位，从下到上是另一个乘数的数高位到个位，由此可求解．【详解】解：31×42=1302，故答案为：31×42=1302．【点睛】本题考查有理数的乘法，通过观察所给的图形，结合乘法算式，找到运算规律是解题的关键．11．（2022秋·浙江·七年级统考开学考试）有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为________（填“正”或“负”或“零”）【答案】负【分析】由数轴判断出，，再确定和符号即可．【详解】解：由数轴知：，，∴和∴，即的符号为负故答案为：负．【点睛】本题考查了数轴上两个有理数大小以及有理数的乘法，明确负数乘以正数积小于0是解题的关键．12．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）已知，为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：当时，※，当时，※，计算：________．【答案】【分析】根据新定义，先计算和，再相减即可．【详解】∵，，∴，，∴，故答案为．【点睛】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，正确理解题目所给运算法则是解题的关键．13．（2022秋·七年级单元测试）计算：__________．【答案】【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．14．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据加法结合律以及加法交换律进行计算即可；（2）根据乘法分配律进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题考查有理数的混合运算以及相关运算律，熟练掌握相关运算法则以及运算律是解本题的关键．15．（2022秋·海南·七年级校考阶段练习）计算.(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据有理数的加减法进行计算即可求解；（2）根据有理数的加减法进行计算即可求解；（3）先根据有理数的乘法进行计算，然后计算减法即可求解；（4）根据乘法分配律进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．16．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：与标准重量偏差（单位：千克）0123袋数5103156(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？【答案】(1)5千克(2)9千克(3)元【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；（2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；（3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解【详解】（1）解：（千克），答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克（2）解：（千克），答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克（3）解：这30袋大米的总重量为（千克），食堂购进大米总共花了（元）．答：食堂购进大米总共花了元．【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键．B级（能力提升）1．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）对于，因数“3”增加1后，积的变化是（

）A．增加3 B．增加4 C．减少3 D．减少4【答案】D【分析】根据因数因数积，分别计算和当因数“3”增加1后的积，再比较即可求解．【详解】解：，当因数“3”增加1后，积为：，，积的变化是：减少4，故选：D．【点睛】本题考查了有理数乘法问题的应用，注意灵活应用因数和积的关系解答即可．2．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）若，则的值可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可以写成，再利用乘法分配律即可得到结果．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查乘法分配律、有理数的乘法，掌握是解题的关键．3．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）从，，，2，7，3这六个数中取其中3个不同的数作为因数，则积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数的乘法法则解决此题．【详解】解：根据有理数的乘法法则，从，，，2，7，3这六个数中取个不同的数，，，此时积为，故选：C．【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．4．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期末）已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（

）A． B．5 C．9 D．5或【答案】D【分析】因为14的整数因数只有，，，，四个不相等的整数相乘等于14，所以这四个数只可能是，，中的四个数，然后分情况求出它们的和即可．【详解】解：∵14的整数因数只有，，，，四个不相等的整数相乘等于14，∴这四个数可能是1，，2，或1，，，7，∴或，即它们的和等于5或，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是分析出14的整数因数有哪些．5．（2023·四川成都·统考二模）下列各数中，倒数是它本身的数是（

）A．1 B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根据倒数的定义可进行求解．【详解】解：倒数是它本身的数是1；故选A．【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．6．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（）A．28 B．62 C．367 D．334【答案】C【分析】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解．【详解】解：由题意得．故选：C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系．7．（2022秋·浙江·七年级校考期中）定义新运算“*”为：，则当时，计算的结果为_____．【答案】8【分析】利用定义计算即可．【详解】解：∵，∴故答案为：8．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，能够读懂新定义并按照定义进行计算是解题关键．8．（2023·山东临沂·统考一模）已知，，则，的大小关系是______．【答案】/【分析】根据有理数的乘法法则得出，即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算中的符号问题是解题的关键．9．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）若有四个不同的正整数，，，满足，那么的值是________．【答案】2023【分析】若和的值分别取，则与的值为，依此可求，，，，再代入计算即可求解．【详解】解：∵，，，表示4个不同的正整数，且，∴、、、四个数的值可分别取为，1，，2，∴，∴，∴，故答案为：2023．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，判断出相乘的积是4的四个因数是解题的关键，也是本题的难点．10．（2023·湖北宜昌·校考一模）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______．【答案】9【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解．【详解】解：根据“每登高1km气温的变化量为”知：攀登后，气温变化量为：下降为负，所以下降，故答案为：9．【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．11．（2022秋·成都市·七年级期中）用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．【答案】3【分析】先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．【详解】，，，，，，由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），则的个位数字与的个位数字相同，因为，其个位数字是3，所以的个位数字是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知算式“”．(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为，则嘉嘉把“5”错写成了________；(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？【答案】(1)3(2)比原题的正确结果大11【分析】（1）将数字“5”改成空格，采用有理数的运算可以得到结果．（2）重新计算得结果，再作差运算得到结果．【详解】（1）所以把“5”错写成了“3”（2）原题正确结果，淇淇的结果：，，所以结果比原题的正确结果大11．【点睛】本题采用灵活的形式进行有理数的混合运算，须小心审题，看清题目的要求，正确提取信息和计算是解题的关键．13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：星期一二三四五六日每斤价格相对于标准价格（元）+3售出斤数2035103015550(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售价10元；为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．【答案】(1)六；15(2)这一周超市出售此种百香果盈利135元(3)选择方式一购买更省钱【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；（2）计算总进价和总售价，比较即可；（3）计算两种购买方式，比较得结论．【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是（元）．故答案为：六；15．（2）解：（元），（元），（元）；答：这一周超市出售此种百香果盈利135元．（3）解：方式一：（元），方式二：（元），∵，∴选择方式一购买更省钱．【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．14．（2022秋·山东菏泽·七年级统考阶段练习）用简便方法计算(1)(2).【答案】(1)；(2)99900.【分析】（1）将写成，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将写成，再利用乘法分配律的逆运算进行计算即可求得结果.【详解】解：(1)；(2)原式.【点睛】此题考查有理数的乘法分配律及其逆运算，（1）中将带分数拆分成与其相近的整数加减其它分数表示的方法，再根据乘法分配律计算很简便；（2）中要将每组乘法中的一个因式写成同一个数的形式，再利用乘法分配律的逆运算进行运算，以达到简便的目的.15．（2022·吉林初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可；（3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可．【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6（2）（3）∵新运算∴运用加法加法交换律可得：假设，则=3×4-3=9=4×3-4=8∴不能用交换律．【点睛】本题考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识．C级（培优拓展）1．（2022·福建泉州·七年级校考阶段练习）若，，则，按从小到大的顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据负数与负数，正数与正数比较大小的法则进行解答即可【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：A【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键2．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）若，试求应满足的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据绝对值都是非负数，再由，可得、为异号，或、有一个为0，或同时为0，即当时，成立．【详解】∵，∴、为异号，或、有一个为0，或同时为0，即当时，成立故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值具有非负性，进而分析即可．3．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，数轴上点A、B、C、D所表示的数分别是a、b、c、d，若，，则原点的位置在（

）A．点A的左边 B．线段上 C．线段上 D．线段上【答案】D【分析】根据数轴上点A、B、C、D的位置得出，结合，得出，或，，再结合可得出原点的位置在线段上．【详解】∵，，∴，或，，∵，∴，，∴原点的位置在线段上．故选：D．【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上点的特点及有理数的乘法法则是解题的关键．4．（2022秋·浙江·七年级期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（）A．40 B．53 C．60 D．70【答案】B【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值．【详解】∵四个互不相同的正整数，满足，∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，，解得：，则．故选：B．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________．【答案】2或3或【分析】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可.【详解】解：如图2所示，由题意得，，∵都是自然数，且，∴，∴，∴；如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或，当时，符合题意，此时的乘积为；当时，符合题意；，此时的乘积为；故答案为：2或3；或【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解．6．（2022秋·广西南宁·七年级校考阶段练习）若“”表示一种新运算，规定，则______．【答案】【分析】根据新运算可得，再代入，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴．故答案为：【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．7．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．【答案】1575【分析】根据乘法法则，当偶数个负数相乘时积为正，当奇数个负数相乘时积为负，即可解决最大积和最小积的问题．【详解】解：任取两个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，故答案为：15，，75，．【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的乘法，解题关键要掌握有理数的大小比较、有理数的乘法法则．8．（2022秋·重庆·七年级期末）对于正整数n，阶乘符号表示从n到1的整数的乘积（例如：），则满足方程的N的值为_______．【答案】10【分析】根据阶乘符号表示从n到1的整数的乘积，进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号表示从n到1的整数的乘积，进行计算是解题的关键．9．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）（1）观察下面的运算过程，写出或补全每步运算的依据．计算：．解：（减去一个数，等于加上这个数的①）（加法交换律）（②）（同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加）．（绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值③的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）（2）计算：．解法1：；解法2：．对比两种解法，思考并回答以下问题：从运算顺序上比较，解法1是④；解法2是先去括号，然后再相加减；解法2用到的运算律是⑤，其中运算更