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文档简介
第第页第1.1章数与式 1.1.1绝对值初中要求1.借助数轴理解绝对值的意义,掌握求绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数)高中要求1会求含绝对值的方程与不等式;2理解含绝对值的函数.1.绝对值的概念在数轴上,一个数所对的点与原点的距离叫做该数的绝对值.绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即|a|=2.绝对值的性质(1)a≥0,a≥a,(2)a=b⇔a=b(3)a2=|a(4)三角不等式:a+b≤a+|b|,当且仅当a,b3.解含绝对值的不等式|x|<a(a>0)的解集是−a<x<a.|x|>a(a>0)的解集是x<−a或【题型1】绝对值的几何意义【典题1】若x−y−22+2x+y−3=0,则x=解析依题意可得,x−y−2=02x+y−3=0,解得x=53【典题2】同学们都知道,|7-(-4)|表示7与-4之差的绝对值,实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对的两点之间的距离.|7-4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索:
(1)求|7−(−4)|=.
(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x−(−6)|+|x−2|=8这样的整数是.
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x−1|+|x−5|是否有最小值?如果有写出最小值请尝试说明理由.如果没有也要请尝试说明理由.解析(1)|7-(-4)|=11;故答案是:11;
(2)式子|x−(−6)|+|x−2|=8可理解为:在数轴上,某点到-6所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为8,
所以满足条件的整数x可为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,
故答案为:-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2.
(3)有最小值.最小值为4,
理由是:∵|x−1|+|x−5|理解为,在数轴上表示x到1和5的距离之和,
∴当x在1与5间的线段上(即1≤x≤5)时:
变式练习1.若x+y−2与|x−y−4|互为相反数,则2x−y=.答案7解析依题意得x+y−2=0x−y−4=0,解得x=3y=−1,则2.a、b、c三个数在数轴上位置如图所示,且|a|=|b|
(1)求出a、b、c各数的绝对值;
(2)比较a,−a、−c的大小;
(3)化简|a+b|+|a−b|+|a+c|+|b−c|.答案(1)-c(2)-a<a<-c(3)-2c解析(1)∵从数轴可知:c<b<0<a,∴|a|=a,|b|=−b,|c|=−c;
(2)∵从数轴可知:c<b<0<a,|c|>|a|,∴−a<a<−c;
(3)根据题意得:a+b=0,a−b>0,a+c<0,b−c>0,3.设a=|x+1|,b=|x−1|,c=|x+3|,求a+2b+c的最小值。答案6解析|x+1|+2|x-1|+|x+3|表示x到-1、-3的距离以及到1的距离的2倍之和,
所以当x在-1和1之间时,它们的距离之和最小,
此时a+2b+c=6;
故答案为:6.【题型2】解含绝对值的方程【典题1】解方程:2x−1=x+1解析当x≥12时,方程可化为2x−1=x+1,解得当x<12时,方程可化为1−2x=x+1,解得综上,原方程的解为x=2或x=0.【典题2】方程x2−3|x|+2=0A.1B.2C.3D.4解析当x≥0时,方程化为x2−3x+2=0,解得x=1或x=2,均符合当x<0时,方程化为x2+3x+2=0,解得x=−1或x=−2,均符合故方程的解是x=1,x=2,x=−1或x=−2,有4个解,故选变式练习1.解方程:x−3=2答案x=5或x=1解析当x≥3时,方程可化为x−3=2,解得x=5>3;(注意解x=5要检验是否符合前提x≥3)当x<3时,方程可化为3−x=2,解得x=1<3;综上,原方程的解为x=5或x=1.2.解方程:2x−1=x+1答案x=2或x=0解析当x≥12时,方程可化为2x−1=x+1,解得当x<12时,方程可化为1−2x=x+1,解得综上,原方程的解为x=2或x=0.3.解方程:x−1+解析当x≥1时,方程化为x−1+x+2=5,解得x=2>1,符合条件;(注意解x=2要检验是否符合前提x≥1)当−2<x<1时,方程化为1−x+x+2≠5,无解;当x≤−2时,方程化为1−x−x−2=5,解得x=−3<−2,符合条件;综上,原方程的解为x=2或x=−3.【题型3】解含绝对值的不等式【典题1】解不等式3x+1解析由−2<3x+1<2解得−1<x<13【典题2】解不等式2x−1<x+2解析不等式可化为2x−1≥02x−1<x+2或2x−1<01−2x<x+2,解得12故不等式的解集是{x|−1【典题3】解不等式x−1>|x+2|解析两边平方得,x−12∴x−12>x+22故不等式的解集是{x|x<−1变式练习1.不等式x−2<3的解集是解析当x≥2时,则不等式可化为x−2<3,解得x<5,又x≥2,∴2≤x<5;当x<2时,则不等式可化为2−x<3,解得x>−1,又x<2,∴−1<x<2;(此处解题过程采取x≥2x−2<3或x<2综上,可得不等式的解集是{x|−1<x<5}.2.若关于x的不等式kx−1≤5的解集是−3≤x≤2,则k的值是答案−2解析kx−1≤5⇒−5≤kx−1≤5⇒−4≤kx≤6由于解集是−3≤x≤2,所以k=−2.3.解不等式x−1<x+2解析不等式可化为x−1≥0x−1<x+2或x−1<01−x<x+2,解得x≥1或故不等式的解集是{x|x>−1【题型4】含绝对值的函数对于自变量x不同的取值范围有不同的解析式,这样的函数叫做分段函数.比如狄利克雷函数函数y=【典题1】画y=x+1解析y=x+1y=x+1+2x−3变式练习1.对于任意实数x,若不等式|x+1|−|x−2|>k恒成立,则k的取值范围是.答案k≤−3.解析|x+1|−|x−2|表示x与−1,2对应点的距离之差,画数轴易得当x≥2时,其值等于3;当x≤−1时,其值等于−3;当−1<x<2时,其值在−3和3之间;则|x+1|−|x−2|的最小值是−3,故k≤−3.1.下列叙述正确的是()A.若a=b,则a=bC.若a<b,则a<b答案D解析当a=2,b=−2时A错误;当a=−3,b=2时B错误;当a=0,2.以下不等式中,与不等式1−xA.1−x≤±3C.−3≤1−x≤3答案D3.方程x2−2A.1B.2C.3D.4答案B解析当x≥0时,方程化为x2−2x−3=0,解得x=−1(舍去)或当x<0时,方程化为x2+2x−3=0,有一个正根一个负根,故方程的解是2个解,故选B.4.a,b,c是∆ABC的三边,化简a+b−c+a−b−c=答案2b解析a+b−c+5.计算a|a|+b|b|+答案0或±4解析当a、b、c、中有一个数为负数时,其值为0;当a、b、c、中有两个数为负数时,其值为0;当a、b、c、中三个数都为负数时,其值为−4;当a、b、c、中三个数都为正数时,其值为4.综上所述,答案为:0或±4.6.当x=x+2时,则代数式2x答案−10解析当x≥0时,x=x+2,方程无解;当x<0,−x=x+2,解得则2x7.方程|x−4|+x−4=0的解的个数是个.答案无数解析当x≥4时,方程化为x−4+x−4=0,解得x=4,符合;当x<4时,方程化为4−x+x−4=0⇒0=0,该方程有无数个解;故方程的解是x≤4,有无数个.8.不等式x−1>2的解集是答案{x|x>3解析x−1>2⇒x−1>2或x−1<−2⇒x>3或x<−1故不等式的解集是{x|x>39.解方程:x−1+答案x=53解析当x≥1时,方程化为x−1+2x+1=5,解得x=5当−12<x<1时,方程化为1−x+2x+1=5,解得x=3当x≤−12时,方程化为1−x−2x−1=5,解得综上,原方程的解为x=53或10.解不等式:|x−1|+|x−3|>4.答案{x|x<0或x>4}解析由x−1=0,得x=1;由x−3=0,得x=3;①若x<1,不等式可变为−(x−1)−(x−3)>4,即−2x+4>4>4,解得x<0,又x<1,∴x<0②若1≤x<3,不等式可变为(x−1)−(x−3)>4,即1>4,∴不存在满足条件的x;③若x≥3,不等式可变为(x−1)+(x−3)>4,即2x−4>4,解得x>4.又x≥3,∴x>4.综上所述,原不等式的解集为{x|x<0或x>4}.11.画出分段函数y=x+2解析y=x+2由图可知函数y=x+2+x−3的最小值为512.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是;表示-3和2两点之间的距离是;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.
(2)如果|x+1|=3,那么x=;
(3)若|a-3|=2,|b+2|=1,且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B,则A、B两点间的最大距离是,最小距离是.
(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间,则|a+4|+|a-2|=.答案(1)3,5;(2)2或-4(3)8,2(4)6.
解析(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是:4-1=3;表示-3和2两点之间的距离是:2-(-3)=5,故答案为:3,5;
(2)|x+1|=3,
x+1=3
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