专题28 菱形的性质与判定【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

专题28菱形的性质与判定【十四大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据菱形的性质求周长、角度、线段长、面积、坐标】 1【题型2菱形的判定定理的理解】 3【题型3证明四边形是菱形】 4【题型4根据菱形的性质与判定求线段长】 5【题型5根据菱形的性质与判定求角度】 6【题型6根据菱形的性质与判定求面积】 8【题型7根据菱形的性质与判定解决多结论问题】 9【题型8与菱形有关的新定义问题】 10【题型9与菱形有关的规律探究问题】 13【题型10与菱形有关的动点问题】 14【题型11菱形与一次函数综合】 15【题型12菱形与反比例函数综合】 17【题型13菱形与一次函数、反比例函数综合】 18【题型14菱形与二次函数综合】 20【知识点菱形的性质与判定】(1)定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。(2)菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。(3)菱形的判定一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。（4）菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半【题型1根据菱形的性质求周长、角度、线段长、面积、坐标】【例1】（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的边BO在x轴上，固定点B、O，把菱形沿箭头方向推，使点C落在y轴正半轴上点C'处，若∠COC'=30°，OC'=2，则点A的坐标为（

）

A．-3,1 B．-2,1 C．-3,3【变式1-1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC,CD于点E，F．若∠EAF=60°，则∠D的度数为．

【变式1-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．(1)求证：∠1=∠2；(2)若四边形ABCD是菱形且AB=2，∠ABC=120°，求四边形BEDF的面积．【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为线段AB、CD上一点，将菱形ABCD沿着EF翻折，翻折后A、D的对应点分别为A'、D'，A'D'与CD交于点G．已知AB=5,AE=1,sin∠ABC=35，若

【题型2菱形的判定定理的理解】【例2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90° D．BE平分∠DBC【变式2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-2】（2023·北京·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请添加一个与四边形ABCD对角线有关的条件，使四边形EFGH是菱形，则添为．【变式2-3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上出示了如图所示的任意四边形ABCD，E，F，G，H分别为ABA．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误【题型3证明四边形是菱形】【例3】（2023·湖南岳阳·统考二模）已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，BE平分∠ABC．请从以下三个条件：①AE=BF；②AB=EF；③

(1)你添加的条件是_______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明四边形ABFE为菱形．【变式3-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB∥CD，连接BC，请用尺规作图法，分别在AB，CD上求作E，F，连接CE，BF，使得四边形CEBF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，点F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，连接EG，

(1)求证：四边形AEGB是菱形；(2)若tan∠ABC=3，CD=8，【变式3-3】（2023·江西吉安·校考三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠C=30°，D是BC上的动点，以D为圆心，DC的长为半径作圆交AC于点E，F，G分别是AB，AE上的点，将△AFG沿FG折叠，点

(1)如图1，若CD=83-12，证明⊙D与直线(2)如图2，若⊙D经过点B，连接ED．①BE的长是；②判断四边形BFED的形状，并证明．【题型4根据菱形的性质与判定求线段长】【例4】（2023·浙江温州·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF(1)求证：CG=CE；(2)若AC=3cm，BC=4cm，求线段【变式4-1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，

(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD=4时，求EG的长．【变式4-2】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE=2，点F为线段BD上的一个动点，则EF+12BF的最小值为【变式4-3】（2023·广东惠州·统考二模）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．

(1)试判断四边形ECDG的形状，并加以证明；(2)连接ED交AC于点O，求证：DC(3)在（2）的条件下，若DG=6，AG=145，求【题型5根据菱形的性质与判定求角度】【例5】（2023·江苏泰州·统考二模）如图1，将Rt△ABC∠A=90°纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将△DEF沿DF折叠，点E落在点E'处，展开后如图2，BD、PF、DF、DP为图(1)求证：DP∥(2)若DE'落在DM的右侧，求∠C的范围；(3)是否存在∠C使得DE与∠MDC的角平分线重合，如存在，请求∠C的大小；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，▱ABCD中，AB=AD，点E是AB上一点，连接CE、DE，且BC=CE，若∠BCE=40°，则∠ADE=．【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，

(1)如图①，求证△AED≌(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（【变式5-3】（2023·安徽合肥·统考三模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，对角线BD平分∠ABC，BD=BC，E为BD上一点，且BA=BE，连接AC交BD于点F，G为BC上一点，满足BF=BG，连接EG交AC于点H，连接BH

(1)①求证：∠EHF=60°；②若H为EG中点，求证：AF(2)若AC平分∠DAB，请直接写出∠ECA与∠ACB【题型6根据菱形的性质与判定求面积】【例6】（2023·贵州遵义·统考一模）小明学习菱形时，对矩形ABCD进行了画图探究AD>AB，其作法和图形如下：①连接BD；②分别以点B，D为圆心，大于BD长的一半为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BD于点O，交AD于点E，交BC于点F；③连接BE，DF．(1)根据以上作法，判断四边形BFDE的形状，并说明理由；(2)若AB=4，AD=8，求四边形BFDE的面积．【变式6-1】（2023下·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，某同学剪了两条宽均为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（

）．A．3 B．23 C．36 D【变式6-2】（2023·广西玉林·统考模拟预测）在矩形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O，C作AM∥BD,CN∥BD，且AM=CN=BD，连接MN．(1)判断四边形AMNC的形状，并说明理由；(2)若AB=6,∠ACB=30°，求四边形AMNC的面积．【变式6-3】（2023下·广东珠海·八年级校考期中）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交

(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)若AE=13，AD=24，试求四边形AEDF的面积．【题型7根据菱形的性质与判定解决多结论问题】【例7】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连结BE，分别交AC，AD于点F，G，连结OG，①OG=12AB②S四边形ODGF=S△ABF③由点A、BA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【变式7-1】（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有()①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=12AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②【变式7-2】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BE⊥AC，∠BAC的平分线AD交BE于点G，BO⊥AD于点O，交AC于点F，连接GF，DF．下列结论：①tan∠BAD=12；②四边形BDFG是菱形；③CE=(2+1)GE

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式7-3】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【题型8与菱形有关的新定义问题】【例8】（2023下·安徽六安·二模）阅读短文，解决问题定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”．例如：如图1，四边形AEFD为菱形，∠BAC与∠DAE重合，点F在BC上，则称菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”．如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AF平分∠BAC，交BC于点F，过点F作FD∥AC，EF∥AB．(1)求证：四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；(2)若AC＝12，FC＝26，求四边形AEFD的周长；(3)如图3，M、N分别是DF、AC的中点，连接MN．若MN＝3，求AD2＋CF2的值．【变式8-1】（2023·广西崇左·统考二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形【变式8-2】（2023·陕西渭南·统考二模）【定义新知】定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．(1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使得AB是邻余线，点E、F在格点上；【问题研究】(2)如图2，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB=20，AD=8，BC=4，∠ADC=135°，求CD的长；【问题解决】(3)如图3是某公园的一部分，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，点E在OC上，△BOC是一个人工湖，OQ是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若EM的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是EF的中点．已知BC=200米，AC=240米，CQ=60米，OE=2EC，且四边形BCEF始终是以BC为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出AB的中点N，连接EN，与OB、OQ的交点分别是点F和点【变式8-3】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．

(1)判断：一个内角为60°的菱形________等距四边形．（填“是”或“不是”）(2)如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形以A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为________．(3)如图，在海上A，B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令A，B两艇同时出发，A艇直接回到驻地O，B艇到C岛执行某项任务后回到驻地O（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知A，B，C三点到O点的距离相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度为65km【题型9与菱形有关的规律探究问题】【例9】（2023·贵州铜仁·校考一模）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以

【变式9-1】（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图，ΔABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C【变式9-2】（2023·四川广安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A=60°，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1【变式9-3】（2023·黑龙江绥化·三模）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．

【题型10与菱形有关的动点问题】【例10】（2023·河南周口·校考三模）如图，在菱形OABC中，∠BCO=60°，点C-3,0，点D在对角线BO上，且OD=2BD，点E是射线AO上一动点，连接DE,F为x轴上一点（F在DE左侧)，且∠EDF=60°，连接EF，当△DEF的周长最小时，点E的坐标为（

A．1,3 B．-1,-3 C．12【变式10-1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为．

【变式10-2】（2023·陕西咸阳·校考三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、

【变式10-3】（2023·江苏淮安·统考三模）如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，点E为CD边上一动点(不含端点)，射线AE交∠BCD外角平分线于点F，连接AC、BF，BF交AC于点H，交

(1)求出∠ACF的度数；(2)当CF=2时，求BF的长；(3)当E是CD中点时，试说明EF=1(4)在点E运动过程中，CGGE【题型11菱形与一次函数综合】【例11】（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,-533)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点

【变式11-1】（2023·山东青岛·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，都是菱形，点A1，A2，A3【变式11-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=6，BD=4，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，

(1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质；(3)根据图象直接写出当y≤4时t的取值范围．【变式11-3】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=-12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C(1)分别求出点A、B、C的坐标；(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；(3)在2的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标．【题型12菱形与反比例函数综合】【例12】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,C在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点，若点D1,1,AB=2

A．-4 B．4 C．-9 D．9【变式12-1】（2023·陕西商洛·统考一模）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在AB的延长线上，在∠CBE的角平分线上取一点F（含端点B），连接AF并过点C作AF所在直线的垂线，垂足为G．设线段AF的长为x，CG的长为y，y关于x的函数图象及有关数据如图2所示，点Q为图象的端点，则y=3时，BF＝【变式12-2】（2023·浙江湖州·统考一模）如图，菱形OABC中，对角线OB，AC相交于点M（4，m），反比例函数y＝k【变式12-3】（2023·山东济南·统考三模）如图1，菱形ABCD的边AB在平面直角坐标系中的x轴上，A-1,0，菱形对角线交于点M0,2，过点C的反比例函数y=kxx>0

(1)求点C的坐标和反比例函数y=k(2)如图2，连接OC，OE求出△COE的面积；(3)点P为y=kxx>0图像上的一动点，过点P做PH⊥x轴于点H，若点P使得△AOM和△BPH【题型13菱形与一次函数、反比例函数综合】【例13】（2023·江西鹰潭·统考二模）如图，一次函数y=-13x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=k

(1)求k的值；(2)连OP，AD，求证：四边形APOD是菱形．【变式13-1】（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4,0)，(4,m)，直线CD:y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于C，P(-8,-2)两点．则m

A．2 B．4 C．6 D．8【变式13-2】（2023·江苏连云港·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mxm>0的图像相交于A3,4，B-4,n

(1)求m和n的值；(2)若点Pe,f在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是(3)以AC为边在右侧作菱形ACDE．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象